第三章-季節(jié)ARIMA模型

PAGE2PAGE1第三章季節(jié)時(shí)間序列模型在某些時(shí)間序列中，存在明顯的周期性變化。這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度、周度等變化）或其他一些固有因素引起的。這類序列稱為季節(jié)性序列。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，季節(jié)性序列更是隨處可見。如季度時(shí)間序列、月度時(shí)間序列、周度時(shí)間序列等。處理季節(jié)性時(shí)間序列只用以上介紹的方法是不夠的。描述這類序列的模型之一是季節(jié)時(shí)間序列模型(seasonalARIMAmodel)，用SARIMA表示。較早文獻(xiàn)也稱其為乘積季節(jié)模型（multiplicativeseasonalmodel）。3.1季節(jié)時(shí)間序列模型的建立設(shè)季節(jié)性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的變化周期為s，則通常時(shí)間間隔為s的觀測值之間存著一定的相關(guān)關(guān)系。1、季節(jié)差分：消除季節(jié)單位根與非季節(jié)時(shí)間序列模型一樣，當(dāng)存在季節(jié)單位根時(shí)，即季節(jié)性時(shí)間序列yt=yt–s+ut,則首先用季節(jié)差分的方法消除季節(jié)單位根，即yt-yt–s.季節(jié)差分算子定義為，s=1-Ls也稱為s階差分，則對yt進(jìn)行一次季節(jié)差分表示為syt=(1-Ls)yt=yt-yt-s若非平穩(wěn)季節(jié)性時(shí)間序列存在D個(gè)季節(jié)單位根，則需要進(jìn)行D次季節(jié)差分之后才能轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的序列。即sDyt=(1-Ls)Dyt2、季節(jié)自回歸算子與移動平均算子：描述季節(jié)相關(guān)性類比一般的時(shí)間序列模型，序列xt=sDyt中含有季節(jié)自相關(guān)和移動平均成份意味著，即sDyt可以建立關(guān)于周期為s的P階自回歸Q階移動平均季節(jié)時(shí)間序列模型。P(Ls)sDyt=Q(Ls)ut(2.60)其中P(Ls)=(1-1Ls-2L2s-PLPs)稱為季節(jié)自回歸算子;Q(Ls)=(1+1Ls+2L2s+QLPs)稱為季節(jié)移動平均算子（注意季節(jié)自回歸項(xiàng)和季節(jié)移動平均項(xiàng)的表示方法，例如P、Q等于2時(shí)，滯后算子應(yīng)為(Ls)1=Ls，(Ls)2=L2s）。對于上述模型，相當(dāng)于假定ut是平穩(wěn)的、非自相關(guān)的。以上模型把序列中的季節(jié)單位根、季節(jié)相關(guān)成份描述完了，那么如果ut是我們前面描述的ARIMA(p,q)過程呢？或者說中還含有單位根以及一般的自回歸、移動平均成份呢？3、季節(jié)時(shí)間序列模型的一般形式：乘積季節(jié)模型當(dāng)ut非平穩(wěn)且存在ARMA成分時(shí)，則可以把ut描述為p(L)dut=q(L)vt(2.61)其中vt為白噪聲過程，p,q分別表示非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大階數(shù)，d表示ut的一階（非季節(jié)）差分次數(shù)。由上式得ut=p-1(L)-dq(L)vt(2.62)把(2.62)式代入(2.60)式，于是得到季節(jié)時(shí)間序列模型的一般表達(dá)式。p(L)P(Ls)(dsDyt)=q(L)Q(Ls)vt(2.63)其中下標(biāo)P,Q,p,q分別表示季節(jié)與非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大滯后階數(shù)，d,D分別表示非季節(jié)和季節(jié)性差分次數(shù)。上式稱作(p,d,q)(P,D,Q)s階季節(jié)時(shí)間序列模型或乘積季節(jié)模型。當(dāng)協(xié)方差平穩(wěn)序列dsDyt含有均值μ等確定性成分時(shí)（通常如此），上述模型表示為，p(L)P(Ls)(dsDyt-μ)=q(L)Q(Ls)vt(2.64)保證（dsDyt）具有平穩(wěn)性的條件是p(L)P(Ls)=0的所有根在單位圓外；保證（dsDyt）具有可逆性的條件是q(L)Q(Ls)=0的所有根在單位圓外。當(dāng)P=D=Q=0時(shí)，SARIMA模型退化為ARIMA模型；從這個(gè)意義上說，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。當(dāng)P=D=Q=p=q=d=0時(shí)，SARIMA模型退化為白噪聲模型。(1,1,1)(1,1,1)12階月度SARIMA模型表達(dá)為(1-1L)(1-1L12)12yt=(1+1L)(1+1L12)vt(2.65)12yt具有平穩(wěn)性的條件是1<1，1<1，12yt具有可逆性的條件是1<1，1<1。3.2季節(jié)時(shí)間序列模型的識別建立SARIMA模型，（1）首先要確定d,D。通過差分和季節(jié)差分把原序列變換為一個(gè)平穩(wěn)的序列。令xt=dsDyt存在一般單位根時(shí)相應(yīng)相關(guān)圖的呈緩慢線性衰減。存在季節(jié)單位根的特征是相應(yīng)的相關(guān)圖中s整數(shù)倍時(shí)點(diǎn)上的值呈緩慢衰減。（2）然后用xt建立p(L)P(Ls)xt=q(L)Q(Ls)vt模型?；騪(L)P(Ls)(xt–μ)=q(L)Q(Ls)vt模型。以相關(guān)圖和偏相關(guān)圖為例，如果相關(guān)圖和偏相關(guān)圖在變化周期s的整數(shù)倍時(shí)點(diǎn)上出現(xiàn)絕對值相當(dāng)大的峰值或衰減變化，就可以認(rèn)為該時(shí)間序列可以用SARIMA模型描述。對乘積季節(jié)模型的季節(jié)階數(shù)，即周期長度s的識別可以通過對實(shí)際問題的分析、時(shí)間序列圖以及時(shí)間序列的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖分析得到。（3）用對數(shù)的季節(jié)時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模時(shí)通常D不會大于1，P和Q不會大于3。3.3季節(jié)時(shí)間序列模型的估計(jì)、檢驗(yàn)與預(yù)測設(shè)有季節(jié)時(shí)間序列Yt，為了消除其異方差，并線性化，首先對其取對數(shù)，令yt=log(Yt)，則變量12yt在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示（這樣表示的好處是EViews可以直接預(yù)測到Y(jié)）。其他取對數(shù)及差分的Eviews命令如下表，命令數(shù)學(xué)表達(dá)式含義d(Y)(1-L)Y對Y進(jìn)行一次差分d(Y,n)(1-L)nY對Y進(jìn)行n次差分d(Y,n,s)(1-L)n(1-Ls)Y對Y進(jìn)行n次差分和一次季節(jié)差分dlog(Y)(1-L)log(Y)對Y取自然對數(shù)后進(jìn)行一次差分dlog(Y,n)(1-L)nlog(Y)對Y取自然對數(shù)后進(jìn)行n次差分dlog(Y,n,s)(1-L)n(1-Ls)log(Y)對Y取自然對數(shù)后進(jìn)行n次差分和一次季節(jié)差分則上述(2.65)式的EViews估計(jì)命令是DLOG(Y,1,12)AR(1)SAR(12)MA(1)SMA(12)(0,1,1)(0,1,1)12階月度SARIMA模型表達(dá)為12yt=(1+1L)(1+1L12)vt(2.66)(2.66)式的EViews估計(jì)命令是DLOG(Y,1,12)MA(1)SMA(12)由(2.66)式得12yt=(1+1L)(1+1L12)vt=vt+1Lvt+1L12vt+11L13vt=vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13(2.67)(2.67)式也可以用如下的EViews命令估計(jì)DLOG(Y,1,12)MA(1)MA(12)MA(13)上述估計(jì)命令對應(yīng)的模型表達(dá)式是12yt=vt+1vt–1+12vt–12+13vt–13這是一個(gè)非季節(jié)模型表達(dá)式。以上兩個(gè)EViews估計(jì)命令都是估計(jì)MA(13)模型。注意：唯一不同點(diǎn)是上式對vt–13的系數(shù)沒有約束，而對季節(jié)模型來說，相當(dāng)于增加了一個(gè)約束條件，13=11。運(yùn)用(2.67)式進(jìn)行預(yù)測，12yt=vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13而DD12yt=D(yt–yt-12)=Dyt–Dyt-12=yt–yt-1+yt-12–yt–13在這個(gè)例子中，用于預(yù)測模型的最終形式是yt=yt-1+yt-12–yt–13+vt+1vt–1+1vt–12+11vt–13(2.68)從上式可以看出SARIMA模型可以展開為帶有約束的ARIMA模型。乘積季節(jié)模型參數(shù)的估計(jì)、檢驗(yàn)與前面介紹的估計(jì)、檢驗(yàn)方法相同。利用乘積季節(jié)模型預(yù)測也與上面介紹的預(yù)測方法類似。3.4季節(jié)時(shí)間序列建模案例案例1：（文件名：5b2c3）北京市1978:1~1989:11社會商品零售額月度數(shù)據(jù)（yt，單位：億元人民幣）曲線見圖2.32，數(shù)據(jù)見表2.3。yt與時(shí)間呈指數(shù)關(guān)系且存在遞增型異方差。對數(shù)的社會商品零售額月度數(shù)據(jù)（Lnyt）曲線見圖2.33。Lnyt與時(shí)間近似呈線性關(guān)系（異方差問題也得到抑制）。圖2.32yt圖2.33Lnyt通過Lnyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（見圖2.34）可以看到Lnyt是一個(gè)非平穩(wěn)序列（相關(guān)圖衰減很慢）且Lnyt與其12倍數(shù)的滯后期存在自回歸關(guān)系。圖2.34Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上）對Lnyt進(jìn)行一階差分，得Lnyt（圖2.35）。圖2.36是對Lnyt進(jìn)行2次一階差分的結(jié)果，序列2Lnyt是過度差分序列。從Lnyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.37）可以看到，通過差分Lnyt的平穩(wěn)性得到很大改進(jìn)，但與其12倍數(shù)的滯后期存在顯著的自相關(guān)關(guān)系。圖2.35Lnyt圖2.362Lnyt圖2.37Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上）對Lnyt進(jìn)行一次季節(jié)性差分（或12階差分），得12Lnyt（圖2.38）。從12Lnyt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.39）可以看到12Lnyt仍然是非平穩(wěn)的。圖2.3812Lnyt，（EViews：DLOG(Y,0,12)）圖2.3912Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上）對Lnyt進(jìn)行一階差分和一階季節(jié)性差分，得12Lnyt（見圖2.40）。從xt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（見圖2.41）可以看到12Lnyt近似為一個(gè)平穩(wěn)過程。圖2.4012Lnyt=xt，（EViews：DLOG(Y,1,12)）圖2.4112Lnyt的相關(guān)圖（下）和偏相關(guān)圖（上）從圖中觀察，發(fā)現(xiàn)12Lnyt序列不含有均值。用1978:1~1989:11期間數(shù)據(jù)，估計(jì)yt的(1,1,1)(1,1,0)12階季節(jié)時(shí)間序列模型(加入SMA(12)項(xiàng)發(fā)現(xiàn)其參數(shù)不顯著)，EViews估計(jì)命令是DLOG(Y,1,12)AR(1)SAR(12)MA(1)EViews輸出結(jié)果見圖2.42。圖2.42EViews估計(jì)結(jié)果根據(jù)EViews輸出結(jié)果寫表達(dá)式。(1+0.5924L)(1+0.4093L12)12Lnyt=(1+0.4734L)vt(2.69)(-4.5)(-5.4)(2.9)R2=0.33,s.e.=0.146,Q36=15.5,20.05(36-2-1)=44注意：（1）仔細(xì)對照（2.69）式和圖2.42輸出結(jié)果，不要把自回歸系數(shù)估計(jì)值的符號寫錯(cuò)。通過自回歸特征根倒數(shù)-0.59可知，把表達(dá)式中的算子寫作(1+0.5924L)是正確的。通過移動平均特征根倒數(shù)-0.47可知，把表達(dá)式中的算子寫作(1+0.4734L)是正確的。（2）表達(dá)式中，季節(jié)和非季節(jié)因子（特征多項(xiàng)式）之間是相乘關(guān)系。（3）在EViews估計(jì)命令中把變量寫作DLOG(Y,1,12)的好處是可以直接對yt和12Lnyt預(yù)測。模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖如圖2.43。圖2.43模型殘差序列的相關(guān)與偏相關(guān)圖對于12Lnyt來，模型參數(shù)全部有顯著性，Q36=15.5<20.05(36-2-1)=44。兩種檢驗(yàn)通過。見輸出結(jié)果（2.42），對于12Lnyt，模型共有14個(gè)特征根。圖2.44D12DLnyt的實(shí)際與預(yù)測序列圖2.45yt的實(shí)際與預(yù)測序列對1989年第12月份yt進(jìn)行樣本外1期預(yù)測，結(jié)果如圖2.46。圖2.46EViews預(yù)測結(jié)果相對預(yù)測誤差是==0.076另外，用1978:1~1989:11期間數(shù)據(jù)估計(jì)EViews(0,1,1)(0,1,1)12模型發(fā)現(xiàn)，該模型也是一個(gè)可以選用的模型。表2.3北京市社會商品零售額（yt）月度數(shù)據(jù)（單位：億元人民幣，1978:1~1989:12）年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt1978:01134.31980:06168.21982:11205.81985:04343.41987:09499.51978:02119.41980:07163.51982:12248.21985:05341.21987:10505.21978:03128.31980:08161.61983:01243.21985:06346.01987:11518.71978:04126.41980:09172.91983:02217.51985:07329.91987:12617.91978:05128.81980:10166.51983:03226.21985:08328.11988:01570.71978:06127.81980:11175.21983:04223.51985:09358.21988:02561.31978:07121.11980:12197.71983:05221.01985:10358.41988:03570.41978:08118.41981:01212.11983:06220.51985:11376.61988:04567.91978:09125.71981:02177.91983:07205.81985:12451.01988:05570.91978:10123.61981:03182.91983:08206.91986:01412.01988:06603.91978:11128.51981:04184.21983:09218.81986:02374.51988:07591.81978:12145.21981:05184.01983:10216.01986:03390.01988:08636.21979:01164.71981:06182.41983:11235.01986:04387.01988:09674.51979:02126.21981:07175.61983:12282.01986:05389.81988:10647.71979:03143.71981:08172.01984:01268.41986:06397.71988:11640.51979:04143.71981:09184.91984:02227.61986:07381.41988:12804.21979:05145.51981:10184.71984:03248.61986:08386.91989:01694.31979:06143.71981:11195.11984:04247.01986:09429.81989:02673.81979:07138.41981:12224.81984:05249.91986:10428.81989:03718.71979:08136.71982:01233.61984:06253.11986:11444.41989:04690.31979:09145.51982:02182.01984:07245.51986:12527.71989:05676.61979:10150.71982:03206.61984:08249.61987:01478.31989:06665.81979:11149.01982:04202.21984:09272.31987:02442.41989:07642.21979:12164.71982:05201.71984:10278.71987:03461.41989:08638.91980:01190.31982:06202.61984:11299.41987:04458.21989:09674.11980:02174.91982:07192.81984:12366.31987:05458.21989:10652.71980:03163.21982:08186.21985:01364.81987:06468.51989:11641.91980:04168.41982:09199.31985:02349.11987:07454.51989:12734.11980:05168.61982:10198.21985:03359.11987:08458.9案例2香港季節(jié)GDPt數(shù)據(jù)的擬合（季節(jié)時(shí)間序列模型，file：HongKong）1980:1~2002:3年香港季度GDPt序列曲線見圖2.27（數(shù)據(jù)見表2.4，單位：港元）。1980~1997年GDPt隨時(shí)間呈指數(shù)增長。1997年由于遭受東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，1998~2002年底GDPt總量幾乎沒有增長。另一個(gè)特征是GDPt隨時(shí)間呈遞增型異方差。所以，用對數(shù)的季度GDPt數(shù)據(jù)（LnGDPt，曲線見圖2.48）建立季節(jié)時(shí)間序列模型。圖2.47GDPt圖2.48LnGDPt通過LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.49）可以看到LnGDPt是一個(gè)非平穩(wěn)序列（相關(guān)圖衰減得很慢）。圖2.49LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖對LnGDPt進(jìn)行一階差分，得LnGDPt（見圖2.50）。LnGDPt的平穩(wěn)性得到很大改進(jìn)，2LnGDPt顯然是過度差分序列（圖2.52）。但其季節(jié)因素影響還很大。從LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（圖2.51）也可以明顯地看到這個(gè)特征。若對LnGDPt直接進(jìn)行一次季節(jié)差分（四階差分），得4LnGDPt見圖2.53。其波動性也很大。相關(guān)圖和偏相關(guān)圖見圖2.54。圖2.50LnGDPt,（s.d.=0.062）圖2.51LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖圖2.522LnGDPt,（s.d.=0.062）圖2.534LnGDPt,（s.d.=0.076）圖2.544LnGDPt的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖在LnGDPt的基礎(chǔ)上進(jìn)行一階季節(jié)差分，或在4LnGDPt基礎(chǔ)上進(jìn)行一階非季節(jié)差分，得4LnGDPt（圖2.55）。其相關(guān)圖和偏相關(guān)圖見圖2.56。4LnGDPt中已經(jīng)基本消除了季節(jié)變化因素。在4LnGDPt的基礎(chǔ)上建立時(shí)間序列模型。圖2.554LnGDPt,（s.d.=0.029）圖2.564LnGDPt的相關(guān)和偏相關(guān)圖通過對4LnGDPt的相關(guān)和偏相關(guān)圖分析，應(yīng)該建立(2,1,2)(1,1,1)4模型。EViews估計(jì)命令是DLOG(GDP,1,4)CAR(1)AR(2)SAR(4)MA(1)MA(2)SMA(4)用1980:1~2002:3的數(shù)據(jù)得估計(jì)結(jié)果如下（EViews輸出結(jié)果如圖2.57）：(1-1.20L+0.66L2)(1-0.33L4)(4LnGDPt+0.0023)=(1-1.16L+0.97L2)(1-0.95L4)vt(14.4)(-8.8)(2.8)(-2.45)(-55.9)(86.1)(-32.8)R2=0.57,F=16.1,Q36=19.3,20.05(36-3-3)=43.8圖2.57EViews估計(jì)結(jié)果圖2.57模型(2.99)誤差項(xiàng)的相關(guān)和偏相關(guān)圖注意：（1）不要把自回歸系數(shù)估計(jì)值的符號寫錯(cuò)。不要把均值（-0.0023）項(xiàng)表達(dá)錯(cuò)。EViews仍然是對(4LnGDPt+0.0023)建立(2,1,2)(1,1,1)4階季節(jié)時(shí)間序列模型，而不是對4LnGDPt建立季節(jié)時(shí)間序列模型。（2）季節(jié)和非季節(jié)因子之間是相乘關(guān)系。（3）在EViews估計(jì)命令中把變量寫作DLOG(GDP,1,4)，好處是預(yù)測時(shí)可直接預(yù)測GDPt，也可以預(yù)測4LnGDPt。模型參數(shù)全部有顯著性，Q36=19.6<20.05(36-3-3-1)=42.6。兩種檢驗(yàn)通過。依據(jù)輸出結(jié)果，對于4LnGDPt，模型共有12個(gè)特征根。4個(gè)實(shí)根，8個(gè)復(fù)根。圖2.584LnGDPt的實(shí)際與預(yù)測序列圖2.59GDPt的實(shí)際與預(yù)測序列對2002年第4季度GDPt進(jìn)行樣本外1期預(yù)測，結(jié)果如下：相對預(yù)測誤差是==0.006表2.4香港季度GDPt數(shù)據(jù)（1980:1~2002:4，單位：港元）年：月GDPt/1011年：月GDPt/1011年：月GDPt/1011年：月GDPt/10111980:10.314891985:40.709511991:31.805801997:23.323351980:20.345051986:10.691081991:41.867221997:33.515011980:30.376411986:2