揚中市重點中學2022-2023學年高三下學期數學測試7（教師版）

揚中市重點中學2022-2023學年高三下學期數學測試7教師版姓名一?單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．函數的定義域為（D）A．B．C．D．2．已知a，b，c∈R，函數f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（A）A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝03．為深入貫徹實施黨中央布置的“精準扶貧”計劃，某地方黨委政府決定從4名男黨員干部和3名女黨員干部中選取3人參加西部扶貧，若選出的3人中既有男黨員干部又有女黨員干部，則不同的選取方案共有A.60種 B.34種 C.31種 D.30種（D）4．已知函數，若為銳角且，則的值為（D）A．B．C．D．5．已知兩個隨機變量，其中，若，且，則（D）A. B. C. D.6．已知，則的值為（B）A. B.0 C.1 D.27．已知等差數列的公差為2，前n項和為，且，，成等比數列.令，數列的前n項和為，若對于，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（A）A. B. C. D.8．若對一切正實數恒成立，則實數的取值范圍是（B）A. B. C. D.【詳解】設，則恒成立，由，令，則恒成立，所以為增函數，令得，當時，，當時，；所以在遞減，在遞增，故在處取得最小值，故最小值，因為，則所以恒成立，得，又因為（當且僅當時等號成立）；所以即.故選：B二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網，其中、、、是道路網中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止.則下列說法正確的是（BCD）A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經過到達處的方法有種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為10．已知數列的前n項和為Sn，，若存在兩項，，使得，則（BD）A.數列為等差數列 B.數列為等比數列C. D.為定值11．已知橢圓的焦距為，焦點為、，長軸的端點為、，點是橢圓上異于長軸端點的一點，橢圓的離心率為，則下列說法正確的是（ABD）A．若的周長為，則橢圓的方程為B．若的面積最大時，，則C．若橢圓上存在點使，則D．以為直徑的圓與以為直徑的圓內切12．在棱長為1的正方體中，下列結論正確的是（ABD）A.異面直線與所成的角為 B.是平面的一個法向量C.二面角的正切值為D.正方體的外接球的體積為三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.13．小明的投籃命中率為，各次投籃命中與否相互獨立.他連續(xù)投籃三次，設隨機變量X表示三次投籃命中的次數，則___________；____________.14.已知數列的前項和為，且滿足，．的通項公式為15．已知存在，使得成立，則實數的取值范圍是_____．16．如圖，在平面四邊形中，，，，，則的值為______.四?解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．在①，且；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且______（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍（如果選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分）17．解：（1）若選①：，且，所以，所以．又，所以，所以，所以．若選②：由正弦定理得，因為，所以，即．由，，所以，所以.若選③：由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.（2）因為是銳角三角形，，所以，且，得由正弦定理得，所以因為，所以，所以，所以，即得取值范圍是．【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角函數的性質．在同時出現(xiàn)邊角關系時常常利用正弦定理進行邊角轉化，化邊為角或化角為邊，需根據已知等式進行判斷，目的是變形后易于求解．18．在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側面底面ABCD，，．（1）若PB的中點為E，求證：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．18．解：（1）如圖，取PC的中點F，連接EF，DF，，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，，，且，且，四邊形ADFE是平行四邊形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．（2）若是中點，作，由底面ABCD為直角梯形且，，，由側面底面ABCD，面面，面，∴在面ABCD的投影在直線上，又PB與底面ABCD所成的角為60°，∴PB與底面ABCD所成角的平面角，則△為等邊三角形.∴以為原點，、、為x、y、z軸建空間直角坐標系，如下圖示：∴、、、，則，，，設平面BDP的法向量，則，取，得，設平面PCD的法向量，則，取，得，設平面PCD與平面PBD的夾角為，則，平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值為．19．已知數列中，（1）求證：是等比數列，求數列的通項公式；（2）已知：數列，滿足；①求數列的前n項和；②記集合若M中含有5個元素，求實數λ的取值范圍.19．解：（1）證明：，且，∴是首項為4，公比為4的等比數列.∴，；（2）解：①由題意結合（1）有，則，，兩式相減有，∴②化簡，設，，所以當時單調遞增，在時單調遞減，所以…，又，，因為M中只有5個元素，根據上述單調性的分析可知，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.20．每年的3月12日是植樹節(jié)，某公司為了動員職工積極參加植樹造林，在植樹節(jié)期間開展植樹有獎活動，設有甲、乙兩個摸獎箱，每箱內各有8個大小質地完全相同的球，甲箱內有3個紅球，5個黃球，乙箱內有3個紅球，4個黃球，1個黑球，摸獎環(huán)節(jié)安排在植樹活動結束后，每位植樹者植樹每滿25棵獲得一次甲箱內摸獎機會，植樹每滿40棵獲得一次乙箱內摸獎機會，摸獎者每次摸兩個球后放回原箱，摸得兩個紅球獎50元，兩球顏色不同獎20元，摸得兩黃球則沒有獎金，為體現(xiàn)公平性，植樹總數低于80棵的員工，只能選擇甲、乙兩個摸獎箱中的一個進行摸獎；植樹總數不低于80棵的員工，可自由搭配甲、乙兩箱內的摸獎次數．（1）經統(tǒng)計，該公司此次植樹活動共有200名員工參加，且植樹棵數近似服從正態(tài)分布，請估計植樹的棵數在區(qū)間內的人數（結果四舍五入取整數）；（2）某位植樹者獲得一次甲箱內摸獎機會，設中獎金額為隨機變量（單位：元），求的分布列；（3）某人植樹90棵，有三種摸獎方法，方法一：甲箱內摸獎三次；方法二：乙箱內摸獎兩次；方法三：甲箱內摸獎兩次，乙箱內摸獎一次．請問：這位植樹者選哪種方法所得獎金的期望值最大．附：若，則，．20．解：（1）由題意知，，所以，估計植樹的棵樹在區(qū)間內的人數是68人．（2）隨機變量的所有可能取值為0，20，50，則，，，所以的分布列為：02050（3）方法一：甲箱內摸獎三次，由（2）得E，所以，即方法一所得獎金的數學期望是．方法二：乙箱內摸獎兩次，在乙箱中摸獎一次，設中獎金額為隨機變量，則隨機變量的所有可能取值為0，20，50，則，，，所以的分布列為：02050所以，所以，即方法二所得獎金的數學期望是．方法三：甲箱內摸獎兩次，乙箱內摸獎一次．，即方法三所得獎金的數學期望是，因為，所以選方法三所得獎金的期望值最大．【點睛】求離散型隨機變量的分布列，應按以下三個步驟進行：（1）明確離散型隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；（2）利用概率的有關知識求出隨機變量每個取值的概率；（3）按規(guī)范形式寫出分布列并用分布列的性質進行檢驗.21．已知橢圓的長軸長為4，焦距為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過動點的直線交軸與點，交于點(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點.（?。┰O直線的斜率分別為，證明為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值.21．解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c.由題意知，所以.所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）（?。┰O，由M(0,m)，可得所以直線PM的斜率，直線QM的斜率.此時.所以為定值–3.（ⅱ）設.直線PA的方程為y=kx+m，直線QB的方程為y=–3kx+m.聯(lián)立整理得.由，可得，所以.同理.所以，，所以由，可知k>0，所以，等號當且僅當時取得.此時，即，符號題意.所以直線AB的斜率的最小值為.【考點】橢圓的標準方程及其幾何性質，直線與橢圓的位置關系，基本不等式【名師點睛】本題對考生的計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關系，確定橢圓（圓錐曲線）的方程是基礎，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應用一元二次方程根與系數的關系，得到關于參數的解析式或方程是關鍵，易錯點是對復雜式子的變形能力不足，導致錯誤百出..本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力及分析問題、解決問題的能力等.22．已知函數f（x）＝aln（x+1），g（x）＝xex（x＞﹣1）．（1）當a＝1時，證明：f（x）≤x≤g（x）；（2）設函數F（x）＝f（x）﹣g（x），若F（x）有極值，且極值為正數，求實數a的取值范圍．22．解：（1）證明：當a＝1時，f（x）＝ln（x+1），令h（x）＝ln（x+1）﹣x，∴，令h'（x）＝0，得x＝0，且當﹣1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，∴h（x）≤h（0）＝0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x，即f（x）≤x，令G（x）＝xex﹣x＝x（ex﹣1），當﹣1＜x＜0時，G（x）＞0，當x≥0時，G（x）≥0，∴當x＞﹣1時，G（x）≥0，即g（x）≥x，∴f（x）≤x≤g（x）．（2）F（x）＝aln（x+1）﹣xex，，當a≤0時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減，F(xiàn)（x）無極值，舍去；當a＞0時，令φ（x）＝a﹣（x+1）2ex，φ'（x）＝﹣（x+1）（x+3）ex＜0，∴φ（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減，注意到φ（﹣1）＝a＞0，φ（a）＝a﹣（a+1）2ea＜a﹣a（a+1）2＜0，∴存在唯一的x0∈（﹣1，a），使φ（x0）＝0，，且當﹣1＜x＜x0時，φ（x）＞0，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增；當x＞x0時，φ（