７.４正切函數的圖像與性質 課件（共20張PPT）

高一數學（滬教版2020必修第二冊）第7章三角函數７.４正切函數的圖像與性質７．４正切函數的圖像與性質由正切的定義可知，對于任意一個給定的實數

，只要

，都有唯一確定的正切值

與之對應．按照這個對應關系所建立的函數叫做正切函數，表示為

．正切函數的定義域是

．下面我們探討正切函數的圖像和性質

1正切函數的圖像我們知道，正切值

可以用角a的終邊所在直線與直線

的交點的縱坐標表示（圖７-４-１）．類似于作正弦函數圖像的方法，利用單位圓并結合描點法我們可以作出

的大致圖像（圖７-４-２）．因為

，所以函數

當

時的圖像與…的圖像形狀一樣，只需將后者圖像的位置向右平移就可得到；同理，函數時的圖像與

的圖像形狀也一樣，只需將后者圖像的位置向左平移π、２π、…就可得到．這樣，就可以得到函數

的整個圖像（圖７-４-３）．因為

的定義域是其圖像由無窮多支曲線所組成，它們被直線所隔開．正切函數的性質（１）周期性由誘導公式

可知，正切函數是周期函數，

均是它的周期，π是它的最小正周期．（２）值域

由正切函數

的定義可以得到，正切函數

的值域是實數集R，它既沒有最大值，也沒有最小值．（３）奇偶性

由誘導公式

可知，正切函數

是奇函數．因此，其圖像關于坐標原點對稱（４）單調性

由于正切函數是以π為最小正周期的函數，可以先在區(qū)間上研究正切函數的單調性．對于區(qū)間

中的任意給定的滿足

的實數

有由

易知

于是

且由上式就有

，即

從而正切函數

在區(qū)間

上是嚴格增函數．又因為正切函數是以π為最小正周期的周期函數，所以正切函數

在區(qū)間

上

是嚴格增函數．例１

求函數

的定義域和單調區(qū)間由正切的定義，該函數的自變量

滿足解所以，該函數的定義域為由正切函數的單調性可知，當

時，即

時，函數是嚴格增函數因此，函數

的單調增區(qū)間是例２

求函數

的最小正周期解

記

有可知函數

的一個正周期此外，

也是函數

的最小正周期．事實上，令

原來的函數可改寫為

，其以t為自變量的最小正周期為π．返回到

變量，因

故原來函數的最小正周期為課本練習練習７．４１．寫出滿足

的所有α的集合．２．比較下列各組數的大小，并說明理由：３．求函數

的定義域，并寫出其單調區(qū)間隨堂檢測1、求函數f(x)＝tan|x|的定義域與值域，并作其圖像。當x≥0時，函數y＝tan|x|在y軸右側的圖像即為y＝tanx的圖像不變；x<0時，y＝tan|x|在y軸左側的圖像為y＝tanx在y軸右側的圖像關于y軸對稱的圖像，如圖所示（實線部分）；2、根據正切函數的圖像，寫出tanx≥－1的解集．【解析】作出y＝tanx及y＝－1的圖像，如下圖．所以，滿足此不等式的x的集合為：3、畫出函數y＝|tanx|的圖像，并根據圖像判斷其單調區(qū)間和奇偶性．【解析】由函數y＝|tanx|得根據正切函數圖像的特點作出函數的圖像，如圖所示．由圖像可知，函數y＝|tanx|是偶函數．（2）判斷f(x)＝sinx＋tanx的奇偶性；又因為，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以，它是奇函數；5、已知f(x)＝－atanx(a≠0).（2）求f(x)的最小正周期；（3）求f(x)的單調區(qū)間；所以，f(－x)＝－atan(－x)＝atanx＝－f(x)