(完整word版)數(shù)列求和方法(帶例題和練習(xí)題)

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦(完整word版)數(shù)列求和方法(帶例題和練習(xí)題)數(shù)列的求和

數(shù)列求和主要思路：

1．求數(shù)列的和注重辦法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．求和過程中注重分類研究思想的運(yùn)用；3．轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；數(shù)列求和的常用辦法

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的辦法.1、等差數(shù)列求和公式：dnnnaaanSnn2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比數(shù)列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

qqqaaq

qaqnaSnn

n

3、11123(1)

2

n

nkSknnn==

=+++++=+∑L

…4、

222221

1

123(1)(21)6n

nkSknnnn===++++=++∑L

5、2

3

3

3

3

3

1

(1)1232n

nknnSkn=+??

===++++=????∑L公式法求和注重事項(xiàng)（1）弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)n的值；

（2）等比數(shù)列公比q未知時，運(yùn)用前n項(xiàng)和公式要分類。例1．求和2

2

1-++++nx

xxΛ(0,2≠≥xn)

二、錯位相減法求和

這種辦法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的辦法，這種辦法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分離是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

例2．求和：1

32)12(7531--+???++++=nnxnxxxS

例3．求數(shù)列

??????,2

2,,26,24,2232nn

前n項(xiàng)的和.三、倒序相加法

假如一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列前n項(xiàng)和即可用倒序相加發(fā)，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是此法推導(dǎo)的

例4．求ο

ο

ο

ο

ο

89sin88sin3sin2sin1sin2

2

2

2

2++???+++的值

例4變式訓(xùn)練1：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.例4變式訓(xùn)練2：數(shù)列{an}：nnnaaaaaa-====++12321,2,3,1，求S2022.

例4變式訓(xùn)練3：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若103231365logloglog,9aaaaa+???++=求的值.

四、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分離求和，再將其合并即可.

例5．已知數(shù)列{}na的通項(xiàng)公式321n

nan=+-，求數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和nS。

例5變式訓(xùn)練1：求3

211

1111111111個n???+???+++之和.例5變式訓(xùn)練2：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：13,24,35,,(2),nn???+LL；

例6．求數(shù)列的前n項(xiàng)和：231

,,71,41,

1112-+???+++-na

aan，…

五、裂項(xiàng)相消法：

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的詳細(xì)應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，終于達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）

111)1(1+-=+nnnn

（2）

1111

()(2)22nnnn=-++（3）

)

121

121(21)12)(12(1+--=+-nnnn

若為等差數(shù)列，公差為d，則

；

（4

=（5）)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

nnnnnan(6)])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

nnnnnnnan

(7)n

n

nnnnnnSnnnnnnnnna2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=-則

)()1(nfnfan-+=

例7．求數(shù)列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11nn的前n項(xiàng)和.

例8．在數(shù)列{an}中，1

1211++

???++++=

nn

nnan，又12+?=nnnaab，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.例8變式訓(xùn)練1：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：

1111,,,,,132435(2)

nn???+LL；參考答案：

例2解：1x≠時

132)12(7531--+???++++=nnxnxxxS………①

設(shè)n

nxnxxxxxS)12(7531432-+???++++=……….②（設(shè)制錯位）

①－②得n

nnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432--+???+++++=--（錯位相減）

nnnxnx

xxSx)12(1121)1(1

?+=--

∴2

1)

1()

1()12()12(xxxnxnSnnn-+++--=+1x=時略

例3解：由題可知，{

nn22}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{n21}的通項(xiàng)之積設(shè)nnn

S2226242232+???+++=…………………①

14322

226242221++???+++=nnn

S………………②（設(shè)制錯位）①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-nnnn

S（錯位相減）

1122212+=nnn

∴12

2

4-+-=nnnS

例4．解：設(shè)ο

ο

ο

ο

ο

89sin88sin3sin2sin1sin2

2

2

2

2

++???+++=S………….①

將①式右邊反序得

ο

οοοο1sin2sin3sin88sin89sin22222+++???++=S…………..②（倒序）又由于1cossin),90cos(sin2

2

=+-=xxxxο

①+②得（反序相加）

)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222οοοοοο++???++++=S＝89

∴S＝44.5

例4變式訓(xùn)練1：解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵)180cos(cosο

ο

ο

nn--=（找特別性質(zhì)項(xiàng)）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）

＝0

例4變式訓(xùn)練2：解：設(shè)S2022＝2022321aaaa+???+++

由nnnaaaaaa-====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=aaa

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====aaaaaa

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++kkkkkkaaaaaa

∵0665646362616=+++++++++++kkkkkkaaaaaa（找特別性質(zhì)項(xiàng)）∴S2022＝2022321aaaa+???+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++kkkaaaaaaaaaa

2022202220001999199819941993)(aaaaaaa+++++???+++???+

＝2022202220001999aaaa+++＝46362616+++++++kkkkaaaa＝5

例4變式訓(xùn)練3：解：設(shè)1032313logloglogaaaSn+???++=

由等比數(shù)列的性質(zhì)qpnmaaaaqpnm=?+=+（找特別性質(zhì)項(xiàng)）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)NMNMaaa?=+logloglog得

)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn++???++++=（合并求和）

＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa?+???+?+?＝9log9log9log333+???++

＝10

例5．略

例5變式訓(xùn)練1：解：因?yàn)?110(91

99999111111

1

-=????=

???kkk43421321個個（找通項(xiàng)及特征）

∴3

211

1111111111個n???+???+++＝

)110(91

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n（分組求和）＝

)1111(91)10101010(911

3214434421個nn+???+++-+???+++＝9

110)110(1091n

n?

＝

)91010(81

1

1nn--+例5變式訓(xùn)練2：∵2(2)2nnnn+=+，

∴nS222(123=+++(2)

)2(123n++?+++…)n+(1)(27)

6

nnn++=

例6．解：設(shè))231

()71()41(

)11(12-++???++++++=-na

aaSnn將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-na

aaSnn（分組）當(dāng)a＝1時，2)13(nnnSn-+=＝2)13(n

n+（分組求和）

當(dāng)1≠a時，2)13(1111nna

aSnn-+--=＝2)13(11nnaaan

-+

例7．解：設(shè)nnnnan-+=++=

111（裂項(xiàng)）則1

13

212

11+++???+++

+=

nnSn（裂項(xiàng)求和）

＝)1()23()12(nn-++???+-+-＝11-+n

例8．解：∵2

11211nnnnnan=++???++++=

∴)11

1(82

122+-=+?=nnnnbn（裂項(xiàng)）

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

)]1

11(

)41

31()3121()211[(8+-+???+-+-+-=nnSn（裂項(xiàng)求和）＝)111(8+-n＝

1

8+nn

例8變式訓(xùn)練1：∵

1111

()(2)22

nnnn=-++，

∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn=-+-+-++-+L1111(1)2212

nn=+--++．

數(shù)列求和練習(xí)

一、挑選題

1．設(shè)

{}na是公差不為0的等差數(shù)列,12a=且136,,aaa成等比數(shù)列,則{}na的前n項(xiàng)和nS=

（）

A．2744

nn

+B．2533

nn+C．2324

nn

+D．2nn+

2．等比數(shù)列

{}na的前n項(xiàng)和為nS,且41a,22a,3a成等差數(shù)列?若1a=1,則4S=

（）

A．7

B．8

C．15

D．16

3．?dāng)?shù)列1111

1,2,3,4

24816，……的前n項(xiàng)和為

（）

A．2122nnn++

B．2122nnn+-+

C．21122nnn+-++

D．21122

nnn++-+

4．已知等差數(shù)列{}na中,10795=-+aaa,記nnaaaS+++=Λ21,則13S的值為

（）

A．130

B．260

C．156

D．168

5．等差數(shù)列

{}na的前n項(xiàng)和為nS,已知2

110mmm

aaa-++-=,2138mS-=,則m=（）

A．38

B．20

C．10

D．9

6．等差數(shù)列是5,Λ7

4

3,724

中,第n項(xiàng)到n+6項(xiàng)的和為nT,則當(dāng)nT最小時,n的值為（）

A．6

B．4

C．5

D．3

7．等差數(shù)列{}na中，nS是其前n項(xiàng)和，12022a=，

20222022

220222022

SS-=，則2022S的值為()2022A-()2022B()2022C-()2022D

8．將二進(jìn)制數(shù)()

16

11112

L14243轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制是

（）

A．1722-

B．1622-

C．1621-

D．1521-

9．設(shè)等比數(shù)列}{na的前n項(xiàng)和為nS,且0nS≠*

()nN∈,則下列等式成立的是

（）

A．23nnnSSS+=

B．

223nn

nn

SSSS=C．

223nnnnnnnSSSSSSS-=--D．2232nnn

nnnn

SSSSSSS-=--

10．已知二次函數(shù)1)12()1(2

++-+=xnxnny，當(dāng)n依次取10,,4,3,2,1???時，其圖像在x軸上所截得

的線段的長度的總和為（）

A．1

B．

11

10

C．

11

12D．

12

1111．?dāng)?shù)列???+???+++???+++,2221,,221,21,12

2

n

的前n項(xiàng)和=nS

（）

A．n

2

B．nn

-2

C．nn-+1

2

D．221

--+nn

12．等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分離為Sn與Ｔn，對一切自然數(shù)n，都有

nnTS=132+nn

，則5

5ba等于()

A．

3

2B．

14

9C．

31

20D．

17

1113．?dāng)?shù)列{}na的通項(xiàng)公式是1

1++=

nnan，若前n項(xiàng)的和為10，則項(xiàng)數(shù)n為

（）

A．11

B．99

C．120

D．12114．已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，則q的取值范圍是

（）

A．)2

5

1,

0(+B．]1,2

1

5(

-C．)2

5

1,

1[+D．)2

5

1,215(

+-15．?dāng)?shù)列{

231

2

++nn}的前n項(xiàng)和為（）

A．4212++nn

B．2

212+-nn

C．

4

2+nn

D．

2

21

+-nn

二、填空題

16．等差數(shù)列{na}前n項(xiàng)和為nS?已知1ma-+1ma+-2m

a

=0,21mS-=38,則m=_______

17．已知1)11(=，f，且對隨意正整數(shù)nm、若knmf=)(，，則1)1(+=+knmf，，則

=)10001(，f_____________。

18．?dāng)?shù)列}{na中，100221)

1(12,1S，aaaan

nn則且-+=-==+=__________.

19．列{an}的通項(xiàng)公式是an=1-2n,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{n

Sn}的11項(xiàng)和為_____

20．?dāng)?shù)列{}na的前n項(xiàng)和242

+-=nnSn，則

=+++1021aaaΛ．

21．已知等差數(shù)列{}na的前n次和為ns，且2510,55SS==，則過點(diǎn)),(nanP和),2(2++nanQ（*

Nn-∈）

的直線方向向量的坐標(biāo)可以是_____________．

22．已知數(shù)列

{}na的前n項(xiàng)和212nSnn=-，則數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和nT=

23．在數(shù)列,2

,11211,}{1

+=++++++=

nnnnnaabnnnnaa又中K則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為；24．在等差數(shù)列

{}na中,nS是其前n項(xiàng)的和,且12a=,

20222022

220222022SS-=,則數(shù)列1nS??????

的前n項(xiàng)的和是__________?

25．在小時候，我們就用手指練習(xí)過數(shù)數(shù).一個小伴侶按如圖所示的規(guī)章

練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2022時對應(yīng)的指頭是。

(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指).

三、解答題26．設(shè)等差數(shù)列

{}na的前n項(xiàng)和為nS

,若

15a=-,且它的前11項(xiàng)的平均值是5.

(1)求等差數(shù)列的公差d;

(2)求使0nS>成立的最小正整數(shù)n.

27．已知數(shù)列{}na是等差數(shù)列，且355,9aa==，nS是數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和．

(Ⅰ)求數(shù)列{}na的通項(xiàng)公式na及前n項(xiàng)和nS；(Ⅱ)若數(shù)列{}nb

滿足nb=

，且nT是數(shù)列{}nb的前n項(xiàng)和，求nb與nT．

28．已知正項(xiàng)數(shù)列}{na中，前n項(xiàng)和8

)2(2

+=nnaS。

（1）求證：數(shù)列}{na是等差數(shù)列；（2）若302

1

-=

nnab，求數(shù)列}{nb的前n項(xiàng)和nT的最小值。29．在等比數(shù)列{an}中，)(0*

Nnan∈>，公比)1,0(∈q，且252825351=++aaaaaa，a3與a5的等比中

項(xiàng)為2。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)nnab2log=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)

n

SSSn+++Λ212

1最大時，求n的值。30．已知等差數(shù)列0,1}{1>=daan公差的首項(xiàng)，且其次項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分離是一個等比數(shù)列的第

二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng).（1）求數(shù)列}{na的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),,),()

3(121*tbbbSNnanbnnnn是否存在最大的整數(shù)+++=∈+=

Λ使得對隨意的

tt

Snn求出若存在總成立均有,?36

>

；若不存在，請說明理由.

專題24數(shù)列求和參考答案

一、挑選題

1．A

2．C

3．C

4．A

5．C

6．C

7．C

8．C

9．D10．B11．D12．B

13．C14．D

15．C

二、填空題16．1017．100018．2600

19．-6620．6621．2

22．()

()

221216,12727,nnnnnNTnnnnN

+

+?-≤≤∈?

=?-+≥∈??23．18+nn24．1nn+25．食指

三、解答題

26．解:(1)6

121116115,

51111

aaaaaa+++=-===LQ61

261

aad-∴=

=-(2)∵()211602

nnnSnadnn-=+

=->

∴6n>且*nN∈,∴使0nS>成立的最小正整數(shù)n為7

27．解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{}na的公差為d，由題意可知：31512549

aadaad=+=??

=+=?,解得:11,2ad==∴1(1)12(1)21naandnn=+-=+-=-21()(121).22

nnaannn

Sn++-=

==(Ⅱ

)111

(1)1nbnnnn=

==-

++Q123111111111()()()()1.122334111

nn

Tbbbbnnnnn=+++???+=-+-+-+???+-=-=+++∴

28．解：（1）當(dāng)2≥n時，()()2

1218

28

2+-

+=

-=--nnnnnaaSSa，

收拾得：()()0411=--+--nnnnaaaa，∵數(shù)列}{na是正項(xiàng)數(shù)列，∴01≠+-nnaa，