2023年全國新高考Ⅱ卷（新課標Ⅱ）高考數(shù)學試卷真題（含答案逐題解析）

數(shù)學試題第數(shù)學試題第#頁(共5頁)數(shù)學試題第1頁（共5頁）數(shù)學試題第1頁（共5頁）絕密★啟用前試卷類型：A絕密★啟用前2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標II卷）本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1.2.3.4.本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1.2.3.4.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效?？忌仨毐３执痤}卡的整潔?？荚嚱Y(jié)朿后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.在復平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應的點位于1.第一象限第二象限第三象限第四象限第一象限第二象限第三象限第四象限2.A.2B.1D.13.B.C心種C.D.C皿種若f(x)=(x+a)\n^-為偶函數(shù)，則2x+lA.-1B.0C.\_A.-1B.0C.\_2D.1已知橢圓C：y+y設(shè)集合A={0,—.},8={1@-2,2。一2},某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調(diào)査，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果有=l的左焦點和右焦點分別為月和％,直線y=x+m與設(shè)集合A={0,—.},8={1@-2,2。一2},某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調(diào)査，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果有兩點，若的面積是4F0B的兩倍，則兩點，若的面積是4F0B的兩倍，則6.己知函數(shù)f(x)=ae,-\nx在區(qū)間(1,2)±單調(diào)遞增，則a的最小值為A.e2B.e C.廣D.e'27.已知。為銳角，l+y/5mil.acosa= ，則sin—=4 2A.8b. c.m8 4D.妥48.記S”為等比數(shù)列｛外｝的前〃項和，若S」=-5,S6=21S2,則簽=A.120B.85 C.-85D.-120二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分。已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，A8為底面直徑，￡4PB=120。，PA=2,點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45。，則該圓錐的體積為冗該圓錐的側(cè)面積為4媯AC=2很△0C的面積為設(shè)O為坐標原點，直線y=-V3U-l)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，且與C交于M,N兩點，/為C的準線，則p=2|MN|=：以MN為直徑的圓與，相切△O"為等腰三角形若函數(shù)/(x)=aln.v+-+4(?*0)既有極大值也有極小值，貝4xx~bc>0 B.ab>0 C.b2+Sac>0D.ac<0在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0＜a＜l),收到0的概率為1-。；發(fā)送1時，收到0的概率為以0＜夕＜1),收到1的概率為1-/7.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0,1,則譯碼為1).釆用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-0)(1”)2采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為陽_時釆用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為伙1-再+(1-0)3當0＜。＜0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.己知向量a,b^^.\a-b\=＞j3,\a+b^2a-b\,貝ij|b|= . 底面邊長為4的正四棱錐平行于其底面的平而所截，截去一個地面邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為 .15.已知直線x-吋+1=0與OC：(x-l)2+r=4交于48兩點，寫出滿足“MBC面積為|”

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(10分)記C的內(nèi)角人，B,C的對邊分別為a,b,c,己知面積為J5,D為BC的中點，且AD=1.⑴若ZQC嚀求球;(2)若屏+c2=8,求',c.（12分）巳知｛%｝為等差數(shù)列，bn=-疽’巳知｛%｝為等差數(shù)列，bn=-16.和，3,=32,7；16.求｛《』的通項公式；證明：當〃>5時，Tn>Sn.(12分)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)患病者 未患病者利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為g(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.(1)當漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c?和誤診率q(c)；(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(C.當cc[95,105],求/(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.(12分)如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,(1)證明：BCLDA-.BD」CD,ZADB=AADC=60°,E為BC(1)證明：BCLDA-.（2）點F滿足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.（12分）己知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-2底0）,離心率為打.（1） 求C的方程：（2） 記C的左、右頂點分別為4，A.過點（-4,0）的直線與C的左支交于8,N兩點，M在第二象限，直線與直線例交于P,證明：點P在定直線上.（12分）⑴證明：當0〈x<l時，x-x2<sinA<x：（2）已知函數(shù)f（x）=cosax-ln（l-x2）,若x=0是/'（x）的極大值點，求。的取值范圍.數(shù)學試題第5頁（共5頁）

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(新課標II卷)(適用地區(qū)：重慶遼寧海南安徽云南吉林黑龍江山西)注意事項:答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.答非選擇題時，必須使用0.5亳米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.在復平面內(nèi)，(1+3i)(3-i)對應的點位于A.第一象限【答案】AA.第一象限【答案】AB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】(l+3i)(3-i)=6+8i,故對應的點在第一象限，選A.設(shè)集合A={0,-a}fB=(l,a-2,2a-2),若AjB,則.=A.2B.A.2B.1D.【答案】B【解析】若。一2=0,則。=2,此時J={0,-2),5={1,0,2},不滿足題意；若2。一2=0,則。=1,此時J= 8={1,—1,0},滿足題意.故選B.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調(diào)査，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有A.篇.CA.篇.C盅D廠20廠40D?JooPoo「廠如廠30J山00—200【答案】D【解析】根據(jù)按比例分配的分層抽樣可知初中部抽40人，高中部抽20人，故選D.4若公)=(5血訪為偶函數(shù)，則心A.B.0A.B.0D.1【答案】BA.e2【答案】CB.eA.e2【答案】CB.eC.e-'D.e~2【解析】發(fā)現(xiàn)g(x)=ln^-4是奇函數(shù)，而f(x)=(x+a)g(x)為偶函數(shù)，有2x+l/(-■^)=(-X+a)g(-x)=-(-X+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x),故x-Q=x+a,貝i"=0,選B.r25.己知橢圓y+/=l的左、右焦點分別為鳥禹，直線y=x^m與C交于1、B兩點,若△048的面積是△凡48的面積的2倍，則協(xié)=【解析】由依題意可知s、g=2s△財，設(shè)橢圓y+/=1的左、右焦點分別為鳥,％到直線y=x+m的距離分別為外％,且-2<m<0,所以有^\AB\^=^\AB\-d2,即4=2%，將《=匕華坦，%='十型代入上式解得m=-馬,故選Cv2 V2 3己知函數(shù)f(x)=ae-\nx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為【解析】由題意可知f\x)=ae-^在區(qū)間(1,2)上恒成立，即。乂』，設(shè)g(、)=xe、,則在xe(l,2)±恒有g(shù)G)=(x+l)e則在xe(l,2)±恒有g(shù)G)=(x+l)e、＞0,所以g(同頑=g(l)=e,則即矽e、矽e、故選C.巳知。為銳角，cosa=l+",則sin—=4 2A.淄 B.Q8 8【答案】D【解析】由半角公式謂號=上筍解得，C.些 D.土匝4 4sin—="I,故選D.2 4記&等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S’=-5,$=21S2,S8=A.120 B.85 C.-85 D.-120【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S2,^-S2,^-S4成等比數(shù)列，因此(S4-S2)2=52(S6-54),將S4=-5,^=21S2代入上式解得S2=-l(舍)或9,此時S6=—,由等比數(shù)列性質(zhì)可知4 4S4-S2,^-S4,^-S6^等比數(shù)列，解得&=-85,故選C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知圓錐的頂點為F底面圓心為O,AB為底面的直徑，乙4所=120°,AP=2t點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O=45°,則A.該圓錐的體積為7T B.該圓錐的側(cè)面積為4岳C.AC=2y/2 D.APAC的面積為【答案】AC【解析】由ZJPB=120°,AP=2可知，底面直徑AB=2yf3f高PO=1,故該圓錐的體積為開，所以A對：該圓錐的側(cè)面積為2扁,所以B錯?連接C8,取NC中點為Q,連接QO,PQ,易證二面角P-AC-O=45°的平面角為ZPQO=45°,所以QO=PO=1,PQ=y[i,所以BC=2,所以AC=2y/2,故C對；S△以c=；4C?FQ=2,故D錯.設(shè)。為坐標原點，直線y=-y/3(x-1)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，且與C交于M、N兩點，，為C的準線，則

8p=2 B.\MN\=-C.以枷為直徑的圓與，相切 D.△OM7V為等腰三角形【答案】AC【解析】直線y=-y/3(x-1)與工軸的交點為(1,0)可知，拋物線的焦點的坐標為(1,0),所以p=2,故A選項正確；由kMN=-^3可知直線MV的傾斜角為120°,所以\MN\=2p\MN\=2p=16sin2120°__3,故B選項錯誤.過點M作準線/的垂線，交I于點、M',過故N作準線/的垂線，交I于點、N。并取枷的中點為點P,過點P作準線，的垂線，交］于點P',連接心、NP',由拋物線的定義知MF=MM，,NF=NN‘，所以\MN\=I枷‘|+\NNf\f所以由梯形的中位線可知PP，=|(|枷1+\NNf\)=!\MN\,所以PP=MP=PN,所以以MV為直徑的圓與/相切，故C對，由圖觀察可知，顯然不是等腰三角形，故D錯.若函數(shù)/x=Qlnx+—+"(GH0)既有極大值又有極小值則:XXA.bc>0BA.bc>0B?ab>0C.臚+8">0D.ac<0△〉△〉0玉+工2>0，即>0【答案】BCD【解析】由題可知/X的定義域為(0,+8),fX = 2「2c,由xxx2x函數(shù)/X既有極大值又有極小值，則X在(0,+8)上有兩個不等實根，令h(x)=ax2-bx-2c,則人(x)在(0,+8)上有兩個不等實根，所以b2+8ac>0->0 ，所以<a^>0ab2+Sac>0ab>0 ,所以力與。同號，。與。異號，故況VO,所以Aac<0錯誤，B正確，C正確，D正確.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立，發(fā)送0時，收到1的概率為Q(OVQV1),收到0的概率為1—Q；發(fā)送1時，收到0的概率為/?(OV0V1)收到1的概率為1—乃.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時，收到的信號即為譯碼:三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1一。)(1一。)2采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為乃(1一/?)2采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1—0)2+(1—/?)3當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則釆用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于釆用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】AB選項由相互獨立的積事件的概率乘法公式可知為對；C選項三次傳輸譯碼為1,則可能是三次全部譯為1,或者有兩次譯為1,則概率為^/3(1-/3)2+(1-/?)3,故C選項錯誤，針對D選項：可以采用特值法或者作差發(fā)計算.三次傳輸方式譯為0的概率：C^a(l-a)2+(l-a)3,單次傳輸譯為。的概率為：1一。，而Ua(l—a)2+(1-a)3一(1一a)=(1—a)a(l-2a)>0,所以D對.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.己知向量口,力滿足\a-b\=y/3f\a+b\=\2a-b\,則回= . 【答案】73【解析】由|a+*|=|2a一6|,得a2=2ab；由一b\=>j3，得a2-2ab+b2=3t即臚=3,\b\=>/3?底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為【答案】28【解析】方法一由棱臺性質(zhì)可知，上下兩個底面相似比為1：2,故截后棱臺的體高為3,上底面為邊長為2的正方形，下底面為邊長為4的正方形，代入棱臺體積公式得： K=|x3x(22+42+V22x42)=28.方法二由題意易求正四棱錐高為6,谿=%|校推一右、四棱粧=：x4x4x6-：x2x2x3=28.己知直線x-my+\=Q與0C:(x-l)2+/=4交于《，8兩點，寫岀滿足“△如C面積為的m的一個值為 5【答案】±2或土」(任寫一個)2【解析】方法一由題可知ec為腰長為8的等腰三角形，設(shè)其頂角為。，TOC\o"1-5"\h\z=—x2x2xsin^,解得sin^=—>解AABC可得：tan—=—,圓心C到直線wc2 5 22x-my+\=0的距離為夠，代入點線距公式可得：m= (任填一個值即可).1 Q方法二由x-叫+1=0恒過定點(-1,0),又C(l,0),S^c=-x2x\yB|=-,所以Q 11 1 11O 11Q 1Q|知=普代入圓的方程得十?或工8=-§所以B(罰或或8(虧91O 1或3(—￡,—代入直線方程得m=±2或m=±上.55 2己知函數(shù)f(x)=sin(cox+(p)f如圖刀,3是直線y=!與曲線y=/(x)的兩個交點，\o"CurrentDocument"若\AB\=\則/(k)= . 6

【答案】一丑2【解析】設(shè)刀（玉,=）,B（x2,^-）,則口叫+仞=￡,球2+0=蘭，又工2一玉=￡，所以刃=4，2 2 6 6 6由曲線、=/（、）過（亨?,（）），所以4x號?+仞=2丸，即仞=-亨，所以f（x）=sin（4x--^）,八冗）=sin（4兀一亨）=sin（-號）=一季四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（12分）記△/13C的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為q,b,c,已知三角形△4SC的面積為點D為BC的中點，且AD=1.(2)若b2+c2= 求(2)若b2+c2= 求8和c.【答案】(1)tan3=手;(2b=c=2.【解析】（1）方法一:正弦定理+余弦定理由題意可知必*=—acsinB=2-^3,故acsinB=2>/3 ①,又在△血中，有爲=謂風"心：得,烏譯,故兩T②;代入①式得宀.在SDB中，由余弦定理得AB2=c2=BD2+AD2-2?。?0cos亍,有c2=l2+22-2xlx2cos-y=5+2=7,得c=$2”x2一訪>0,AB2+AD2-BD2”x2一訪>0,2ABAD故Be(0,-),有sinB=尊，tan^=—.2 2>/7 5方法二:余弦定理因AD為MBC的中線，故SMBC=2SMDC=2x^x^x\xsin6Q°=^-a=^3t故。=4,在中，由余弦定理知b2=12+22-2xlx2xcos60°=3,進一步在中，c2=AB2=I2+22-2xlx2xcosl20°=7,在辺C中有，cosg=/+f2=7+籍_3=g>o,2ca2<7x42』7故Be(0,—),有sin3= ,tanB=—2 2/7 5(2)在△ABC,由中線長公式可得bi+c2=2(AD2+BD2),得44+8)2=4,知BD=43^a=2yf3.由S=—Z>csinA和b2+c2—a2=26ccosJ得，S=—(Z>2+c2-a2)tanJ,代入有tanJ=->/3<0>得Ae(—,7r),有A=—2 3又S寸csi"有虹4.由Z>2+c2=8^0Z)c=4?得b=c=2.方法三(1)因為SMBC=2Smdc=2x?x：xlxsin60°=~^~a=>/3所以：a=4f在MOC中由余弦定理得：62=l2+22-2xlx2xcos60°=3在如。中c2=J52=l2+22-2xlx2xcosl20°=7在M3C中c2+^2—b27+16—3 5 . [ 777V3cos8= =——r= =―, smB=VI-cosB=—尸2ca2V7x4 2V7 2V7因此：tanB=5(2)在中由中線長公式得：(2/￡>)2+灰?2=2(泌2+力。2),即22+a2=2(Z)2+c2)=16,因而a2=12又Sg=?bcsin/=右,因而bcsin刀=2>/J又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,即12=8-2況cos),因而becosA=-2因而有tanA=-y/3=>cosA=be=4,又臚+c?+2Z,c=8+8=16=(Z>+c)2臚+決一&=8—8=0=(b_c)2故可得b=c=218.(12分){%}為等差數(shù)列，bn=<記18.(12分){%}為等差數(shù)列，bn=<$4=32,弓=16.（1） 求｛%｝的通項公式；（2） 證明：當n>5時，Tn>Sn.【答案】（1）%=2〃+3；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)｛%｝的首項為％,公差為d,由S4=32得4q+6d=32又b[=%_6,b2=2a2=2q+2d,b3=（^-6=at+3d-6所以％=40+4d-12=16,即%+d=74a.+6d=32,a,=5,由｛ ,r得h所以％=2膈3.[%+d=7 d=2 〃\2n-\n為奇數(shù)，（2）由（1）知bn=\4〃+6,〃為偶數(shù).當n=2k（A:eN*）時，7；=&（—1）+*（；一1）乂4+14&+"（?1）乂8=5?+7&S〃=2kx5+⑵雄卜/妃=4A2+8〃 2T「SL好一k=k（kf當n>5即&>2時，k（k-\）>Ot所以T〃>S/當n=2k-\（%eN*）時，7；=0+1）（_1）+（』；1）七4+14&+四？1）乂8=6〃+11&-1S〃=（2A:+1）x5+^^^x2=4A：2+12A+5T〃_S〃=2好-k-6=@k+3）（kf當n>5即《>2時，（24+3）（4-2）>0,所以Tn>Sn.證畢.（12分）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

頻率聽頻率聽利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判為陰性的概率，記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為0(C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)平均分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.⑴當p(c)=0.5%時，求臨界值C和誤診率0(c)；(2)設(shè)函數(shù)./Xc)=p(c)+g(c)，當ce[95,105]時，求/(c)的鮮析式，并求/(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.【答案】(1)c=97.5,0(c)=3.5%;(2)0.012【解析】(1)由題意當p(c)=0.5%時，c=97.5，此時q(c)=0，°'x5+0.002x5=0.035=3.5%(2)當cg[95,100),p(c)=~95x0.002,q{c)=1~Cx0.01+0.01當cg[100,105),p(c)=5x0.002+'一；°°x0.012,q(c)=】°：一°x0.002?.?加=<-0.0016c+0.172,ce[95,100)?.?加=<0.002c-0.188,cg[100,105]所以，當c=100時/(c)取最小值，最小值為/(100)=0.012.(12分)在三棱錐4"CD中，DA=DB=DC,BD丄CD,zL4DB=^ADC=60°f己知E為BC的中點.(1)證明：BCLDAx(2)點戶滿足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

D【答案】(1)略；(2)VI3【解析】方法一(1)證明：連接AE.DE,設(shè)DA=DB=DC=eZADB=』DC=6Q°，所以△ADB3ADC,因此AB=AC=e又因為BE=CE,所以AELBC,同理龐丄3C,又4EC\DE=E,-y所以5C丄平面ADE,又ADU平面人DE,所以BCLAD.-y(2)解：由DA=DB=DC=eZBDC=9Q°，由(1)DEIBC,AB=AC=g，則DE=BE=CE=AE=l,可得AE2^-DE2=AD\因此AEA.DE,由(1)AE'BC,又DEC\BC=E,所以AE1.平面8DC.因此以E為原點，分別以E。、EB、E4為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標系，則￡)(1,0,。)，4(0,。,1)，頊0,0,0)，8(0,1,0),因為EF=DA=(-W^&=(0,0,—1)，所以瓦=(一1,1,0)，岳=(0,1,_1)，JF=(-1,0,0)，設(shè)平面ABD?平面/3F的法向量分別是m=(x,y,z)?n=(a,/?,c)?

m-DB=—x-^-y=O 一 _所以 取工=1，則以=(1,1,1)，同理〃=(0,1,1)，m-AB=y—z=Om-n設(shè)平面如與平面依的夾角"則渤=兩=石亦2 76m-n設(shè)平面如與平面依的夾角"則渤=兩=石亦2 76T所以血。=乎即二面角。-加T的正弦值為孚方法二（1）證明：連接SE、DE,???DB=DC,E為BC的中點:.DE」BC?.?DB=DC,ZADB=ZADC=60°,DA為公共邊:.Z\ADB^/\ADC:.AB=AC,：.AELBC,又AEC)DE=EME,DEu平面ADE以3C丄平面刀龐，故BC丄AD.(2)不妨設(shè)DA=DB=DC=2f得AB=AC=2,BC=2皿，DE=知，在直角Rt^AEB中，得AE鄧,所以AE2+DE2=AD2^即AEXDE.又AEXBC,DEC\BC=E,BC,DE<=平面BCD,所以姦'丄平面BCD.如圖以E為原點，分別以MXEB、EA為x、y.z軸建立空間直角坐標系，則E(0,0,0),A(0,0,72),D(>/2,0,0),8(0,^2,0)，又￡F=5^=(-V2,0,V2),得F(S0,⑤,又AB=(0,72,-扼),DB=(-皿,s/2,0),BF=(-&-&血)設(shè)平面ZX48的法向量m=（x,*,z）,則'n?DB=Sx+也設(shè)平面ZX48的法向量m=（x,*,z）,則'n?AB=\[2y-V2z=0同理可得平面ABF的一個法向量m=（0,1,1）,—?— L設(shè)平面ZM8與平面刀砂'的夾角為們則|cos<9|=|mn設(shè)平面ZM8與平面刀砂'的夾角為們則|cos<9|=|所以sin^=—,故二面角D-AB-F的正弦值為曳.3 321.（12分）雙曲線C中心為坐標原點，左焦點鳥（一2遙,0）,離心率為⑴求C的方程（2）記C得左、右頂點分別為撾點B（T,0）的直線與C的左支交于M,N兩點，M在第二象限，直線肱與俱交于P,證明：P在定直線上.y^2y^2<°方法一:【解析】（1）由題意c=2\/5,e=>/5=—,則a=2,b2=16a雙曲線為員一比=1.416（2）設(shè)過點B的直線x=。，一4,聯(lián)立雙曲線得（4廠一1）J?_32）+48=0a2/ 4R _o則凹+*2=喬二，"2=冋’則矽習=4,；_「設(shè)直線的廣七也=三三1設(shè)直線叫2：‘一巧=*一乂2,Y1X|+2 y2x2-2聯(lián)立得消去y得仁二蘭+1）凹=（七五+1加，%,+2x2-2一代入韋達定理的工=一1,即P在直線工=一1上4 16=1,（2）①當lly軸時，不符合題意.②設(shè)直線l:x=ty-4,M{x^yx\N(x2,y2)tP(xQ9yQ).x=ty-4聯(lián)立方程組即八2y2則(4f2一1)^2一320+48=0, =I14164產(chǎn)_1#0?.?直線與雙曲線的左支有兩個交點，即 A>0，則32t 48又vMA,與M?2相交于點P，則＜ x0+2x,+2=凡一2 上(工2-2)以(。2-6)V。=*2況+2*2(羽+2)*2(必一2)A：。_2x2-2 。，2-6功_0淳2一6（*|+力）+6卜2 _3即工0=_1；球2-2必 "l*2-2力所以點P在定直線x=-l±.方法三(1)由題意c=2打，e= ,則a=2,Z)2=16a雙曲線為—-^-=1416⑵設(shè)過點B的直線y=《（x+4）,聯(lián)立雙曲線得（4-k2）、2一8號工一16-16號=0 則…=善，xE=T60"4一爐5 5 5 9Axrx2+2(xi+x2)=-4?即(玉+a)(*2+5)=a(*)設(shè)直線移1.—=X+2設(shè)直線%上=工_2yxx}+2 y2Xo-2 聯(lián)立得消去y得：（二；）（砂4）=（二）（『4），即蘭=若畿普代入（*）式，化簡得9 1( ——)(x2+4)x+2 (x,+2)(x2+4) 4x2+1022 (-