圖形變換的矩陣方法

圖形變換的矩陣方法第一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二該向量集合實際上就是一個矩陣。如果這些點代表一個空間圖形的頂點，也就是說，我們可以用矩陣來描述（表示）空間中的圖形。§1概述一、空間圖形的矩陣表示若用一個行向量[x1

x2…xn

]表示n維空間中一個點坐標(biāo)，那么n維空間中m個點坐標(biāo)就可以表示為一個向量集合：第二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

對于二維空間，用表示圖形(其中xi

yi是頂點坐標(biāo)）。

例：如圖所示的△ABC，用矩陣表示為

C(3,1)A(1,1)B(3,3)二、圖形變換是指對圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、投影（透視）等變換。圖形變換的實質(zhì)是改變圖形的各個頂點的坐標(biāo)。第三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

因此，圖形變換可以通過對表示圖形坐標(biāo)的矩陣進(jìn)行運算來實現(xiàn)，稱為矩陣變換法。矩陣變換法的一般形式：·

=

本章討論的問題：如何利用變換矩陣實現(xiàn)對二維、三維圖形的各種變換。第四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二§2二維圖形變換

分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。

二維基本變換：比例變換（縮放）、對稱變換、錯切變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換。

二維組合變換：由多種基本變換組合而成的變換。一、二維基本變換

矩陣變換法的形式為：·

=

第五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

通過對變換矩陣

T中各元素的不同取值，可以實現(xiàn)各種不同的二維基本變換。㈠比例變換（縮放變換）變換矩陣：

設(shè)二維平面的一個點坐標(biāo)為[x

y]，對其進(jìn)行矩陣變換：變換后該點的坐標(biāo)為：第六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈠比例變換（縮放變換）其中，a為x方向的縮放因子，d為y方向的縮放因子。根據(jù)a、d取值的不同，分為幾種情況：⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當(dāng)a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大ABC例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為設(shè)，對△ABC進(jìn)行變換：A′B′C′第七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當(dāng)a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當(dāng)0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮小ABC例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為設(shè)，對△ABC進(jìn)行變換：A′B′C′第八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當(dāng)a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當(dāng)0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮?、钱?dāng)a=d=1，圖形不發(fā)生變化圖形不變的變換稱之為恒等變換。⒉當(dāng)a≠d，圖形產(chǎn)生畸變第九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二，對□ABCD進(jìn)行變換：㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當(dāng)a≠d，圖形產(chǎn)生畸變例：設(shè)正方形ABCD的矩陣為設(shè)ABCDA′B′C′D′第十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當(dāng)a≠d，圖形產(chǎn)生畸變有幾種特殊情況：

⑴當(dāng)a、d之一為1，圖形沿單方向放大或縮小

a=1，d≠1，圖形沿y方向放大或縮??；

d=1，a≠1，圖形沿x方向放大或縮小。⑵當(dāng)a、d之一為0，圖形變換為x軸或y軸上的線段

a＝0，d≠0，圖形變換為y軸上的線段；

d＝0，a≠0，圖形變換為x軸上的線段。⑶當(dāng)a、d均為0，圖形壓縮為一點（即原點）第十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈡對稱變換包括三類：對坐標(biāo)軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標(biāo)原點的對稱變換。

⒈對坐標(biāo)軸的對稱變換⑴對x軸的對稱變換規(guī)則：x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)取反。例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′第十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈡對稱變換包括三類：對坐標(biāo)軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標(biāo)原點的對稱變換。

⒈對坐標(biāo)軸的對稱變換⑴對x軸的對稱變換⑵對y軸的對稱變換規(guī)則：y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)取反。例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′第十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈡對稱變換包括三類：對坐標(biāo)軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標(biāo)原點的對稱變換。

⒈對坐標(biāo)軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換⑴對直線y=x的對稱變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)互換。例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC第十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈡對稱變換包括三類：對坐標(biāo)軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標(biāo)原點的對稱變換。

⒈對坐標(biāo)軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換⑴對直線y=x的對稱變換⑵對直線y=－x的對稱變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)互換并取反。例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC第十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈡對稱變換包括三類：對坐標(biāo)軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標(biāo)原點的對稱變換。

⒈對坐標(biāo)軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換⑴對直線y=x的對稱變換⑵對直線y=－x的對稱變換⑶對任意直線的對稱變換屬于一種組合變換，需要用多種基本變換組合完成。第十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈡對稱變換包括三類：對坐標(biāo)軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標(biāo)原點的對稱變換。

⒈對坐標(biāo)軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換⒊對坐標(biāo)原點的對稱變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)均取反。例：設(shè)△ABC對應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC第十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切其中：c～錯切系數(shù)。

cy～沿x方向的錯切量（x坐標(biāo)沿x方向的移動量）。cy>0，沿＋x方向錯切（移動）；

cy<0，沿－x方向錯切（移動）；

c=0即cy=0，不錯切（恒等變換）。第十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切例：設(shè)矩形ABCD對應(yīng)的矩陣為設(shè)T中的c＝2，對矩形ABCD進(jìn)行變換：ABCDD′A′B′C′第十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切變換特點：①變換后點的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)平移了cy；②平行于x軸的直線變換后仍平行于x軸；③平行于y軸的直線變換后，y=0的點不動(不動點)，y≠0的點沿x方向平移了cy，形成與y軸夾角為θ的直線，且tgθ＝cy/y＝c。ABCDD′A′B′C′cyy第二十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切其中：b～錯切系數(shù)。

bx～沿y方向的錯切量（y坐標(biāo)沿y方向的移動量）。bx>0，沿＋y方向錯切（移動）；

bx<0，沿－y方向錯切（移動）；

b=0即bx=0，不錯切（恒等變換）。第二十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切例：設(shè)矩形ABCD對應(yīng)的矩陣為設(shè)T中的b＝－2，對矩形ABCD進(jìn)行變換：D′A′B′C′ABCD第二十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二D′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切變換特點：①變換后點的x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)平移了bx；②平行于y軸的直線變換后仍平行于y軸；③平行于x軸的直線變換后，x=0的點不動(不動點)，x≠0的點沿y方向平移了bx，形成與x軸夾角為θ的直線，且tgθ＝bx/x＝b。bxx第二十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈣旋轉(zhuǎn)變換二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)。并規(guī)定：①逆時針方向旋轉(zhuǎn)時角度θ取正值；②順時針方向旋轉(zhuǎn)時角度θ取負(fù)值。注意：繞非原點的任意一點的旋轉(zhuǎn)變換屬于組合變換。第二十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二㈣旋轉(zhuǎn)變換二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)。并規(guī)定：①逆時針方向旋轉(zhuǎn)時角度θ取正值；②順時針方向旋轉(zhuǎn)時角度θ取負(fù)值。設(shè)θ=30°例：設(shè)矩形ABCD對應(yīng)的矩陣為ABCDD′A′B′C′旋轉(zhuǎn)變換后的矩陣為第二十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉(zhuǎn)變換四種基本變換進(jìn)行小結(jié)：變換矩陣的一般形式為

比例變換當(dāng)a=d，圖形等比例縮放對稱變換對坐標(biāo)軸的對稱變換對直線的對稱變換對坐標(biāo)原點的對稱變換

當(dāng)a≠d，圖形畸變第二十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉(zhuǎn)變換四種基本變換進(jìn)行小結(jié)：變換矩陣的一般形式為

錯切變換沿x方向錯切旋轉(zhuǎn)變換

沿y方向錯切第二十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

（五）齊次坐標(biāo)表示法和平移變換1.齊次坐標(biāo)表示法在變換矩陣

的條件下，討論了平面圖形的比例、對稱和旋轉(zhuǎn)變換，為何沒有討論圖形的平移變換呢？原因是T不具備對圖形進(jìn)行平移變換的功能。欲想實現(xiàn)平面圖形的平移，那么圖形上任意一點的坐標(biāo)，平移前后的必須滿足：第二十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二從矩陣的乘法可知，要想得到那么，平移變換應(yīng)具有如下形式：令：，，則有為了得到第二十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

由上可知，把向量[xy]

改寫為[xy1]，就可進(jìn)行平移變換了。在此將[xy1]稱為平面坐標(biāo)點[xy]的齊次坐標(biāo)表示法。一般情況下：用n+1維向量表示n維向量，第n+1個分量取為常數(shù)（齊次項）的表示方法為齊次坐標(biāo)表示法。

標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法：若齊次項為1，則為標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法。第三十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

變換矩陣，其中l(wèi)、m為平移參數(shù)。2.平移變換

對任意一點[xy1]，則[xy1]·=[x+l

y+m]

（注意：形式上與[xy1]并不統(tǒng)一）。一般將變換矩陣擴(kuò)充為T3×3，使其具備更多的功能，它的一般形式為：第三十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二(比例、對稱、錯切和旋轉(zhuǎn)變換)(透視變換)(全比例變換)(平移變換)相應(yīng)的平移矩陣：，

引入

后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標(biāo)形式統(tǒng)一。第三十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

如果坐標(biāo)變換結(jié)果是非標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示，應(yīng)將其化為標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)表示。方法是所有項都除以齊次項。如：由此可知，當(dāng)：(全比例縮小)；(全比例放大)；(縮至原點)。第三十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二二、二維組合變換在圖形變換中，往往需要一些比基本變換更復(fù)雜的變換。我們稱由多個二維基本變換組成的復(fù)雜變換為二維組合變換（二維基本變換的級聯(lián)）。已經(jīng)證明：任何二維組合變換均可分解為多個基本變換的乘積。二維組合變換矩陣T＝T1×T2×…×Tm（Ti是基本變換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進(jìn)行二維組合變換的關(guān)鍵問題是求T（m個基本變換矩陣）。

下面通過兩個例子介紹組合變換：

⒈繞坐標(biāo)原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換第三十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二θθ⒈繞坐標(biāo)原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換可分解為：P(x0

y0)ABCDA′B′C′D′

⑴平移變換使旋轉(zhuǎn)中心P平移到坐標(biāo)原點。P(00)A′B′C′D′A′B′C′D′⑵旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)θ角。第三十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⒈繞坐標(biāo)原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換可分解為：P(x0

y0)ABCD⑶平移變換使旋轉(zhuǎn)中心P回到原來的位置。θP(00)A′B′C′D′

組合變換矩陣T＝T1·T2·T3A′B′C′D′P(x0

y0)第三十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二2.對任意直線的對稱變換設(shè)直線方程為：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，直線在x軸上的截距為－C/A，在y軸上的截距為－C/B,直線與x軸的夾角α=arctg(－A/B)?？煞纸鉃椋孩牌揭谱儞Q沿x軸方向平移C/A，使直線通過坐標(biāo)原點。A′B′C′ABC－C/B－C/A第三十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑵旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)-α角，使直線與x軸重合。⑶對x軸進(jìn)行對稱變換⑷旋轉(zhuǎn)變換

繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)+α角。

第三十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑸平移變換沿x方向平移－C/A，使直線回到原位置。

因此，對任意直線的對稱變換矩陣T＝T1·T2·T3·T4·T5，即：第三十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

二維組合變換

1.繞坐標(biāo)原點以外的任意一點的旋轉(zhuǎn)變換。

2.對任意直線的對稱變換。注意：

1.二維組合變換可分解為多個二維基本變換，組合變換矩陣是基本變換矩陣的乘積；

2.分解時，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯一。第四十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二§3三維圖形變換

三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴(kuò)展，因此，它和二維圖形變換類似。仿照二維圖形變換，用四維齊次坐標(biāo)[x

y

z1]表示三維空間的點[x

y

z]，其變換形式為：三維基本變換（比例、對稱、錯切、旋轉(zhuǎn)）透視變換平移變換全比例變換第四十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二一、三維基本變換

1.比例變換

當(dāng)

a=e=j≠1，各向等比例縮放a=e=j=1，恒等變換a≠e≠j，各向縮放比例不同，產(chǎn)生形變(畸變)0<s<1，全比例放大；s>1，全比例縮小;s<0，對原點的對稱加比例變換說明：全比例變換也是一種比例變換。第四十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二2.錯切變換（錯切變形）沿x軸：沿x軸含y錯切，沿x軸含z錯切沿y軸：沿y軸含x錯切，沿y軸含z錯切沿z軸：沿z軸含x錯切，沿z軸含y錯切⑴沿x軸含y錯切

變換前變換后第四十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑴沿x軸含y錯切

變換前變換后

若把三維物體發(fā)生錯切的表面稱為錯切面，那么可知：變換后特點：①沿x軸含y錯切是使錯切面沿x軸移動并離開y軸，移動量為dy，但不離開z軸；②錯切面的y、z坐標(biāo)不變。第四十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑵沿x軸含z錯切：特點：①沿x軸含z錯切是使錯切面沿x軸移動并離開z軸，但不離開y軸；②錯切面的y、z坐標(biāo)不變。變換前變換后xozy第四十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑶沿y軸含x錯切：特點：①沿y軸含x錯切是使錯切面沿y軸移動并離開x軸，但不離開z軸；②錯切面的x、z坐標(biāo)不變。錯切后錯切前xyz第四十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑷沿y軸含z錯切特點：①沿y軸含z錯切是使錯切面沿y軸移動并離開z軸，但不離開x軸；②錯切面的x、z坐標(biāo)不變。錯切后錯切前xyz第四十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑸沿z軸含x錯切特點：①沿z軸含x錯切是使錯切面沿z軸移動并離開x軸，但不離開y軸；②錯切面的x、y坐標(biāo)不變。錯切后錯切前xyz第四十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑹沿z軸含y錯切：特點：①沿z軸含y錯切是使錯切面沿z軸移動并離開y軸，但不離開x軸；②錯切面的x、y坐標(biāo)不變。錯切后錯切前xyz第四十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二3.對稱變換對坐標(biāo)原點的對稱變換對坐標(biāo)軸的對稱變換：x軸、y軸、z軸。對坐標(biāo)平面的對稱變換：xoy平面、xoz平面、yoz平面。⑴對坐標(biāo)原點的對稱變換

規(guī)則：x、y、z坐標(biāo)取反。⑵對坐標(biāo)軸的對稱變換①對x軸的對稱變換xyz第五十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二規(guī)則：x坐標(biāo)不變，y、z坐標(biāo)取反。②對y軸的對稱變換：規(guī)則：y坐標(biāo)不變，x、z坐標(biāo)取反。xyz第五十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二xyz③對z軸的對稱變換規(guī)則：z坐標(biāo)不變，x、y坐標(biāo)取反。⑶對坐標(biāo)平面的對稱變換①對xoy平面的對稱變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)不變，z坐標(biāo)取反。第五十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二②對xoz平面的對稱變換規(guī)則：x、z坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)取反。③對yoz平面的對稱變換規(guī)則：y、z坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)取反。第五十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二5.旋轉(zhuǎn)變換

三維旋轉(zhuǎn)變換是指物體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ角，θ角的正負(fù)按右手規(guī)則確定。拇指指向坐標(biāo)軸的正向，其余四指指向正θ角方向。

⑴繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角特點：x坐標(biāo)不變，y、z坐標(biāo)改變。4.平移變換第五十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二⑵繞y軸旋轉(zhuǎn)θ角

特點：y坐標(biāo)不變，x、z坐標(biāo)改變。⑶繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角

特點：z坐標(biāo)不變，x、y坐標(biāo)改變。第五十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

三維基本變換小結(jié)：

比例變換（全比例變換）

錯切變換：沿x軸(含y,含z)、沿y軸(含x,含z)、沿z軸(含x,含y)。

對稱變換：對原點、對坐標(biāo)軸(x軸,y軸,

z軸)、對坐標(biāo)平面(xoy平面,xoz平面,

yoz平面)。

旋轉(zhuǎn)變換：x軸、y軸、z軸。二、三維組合變換與二維組合變換類似，它是多個三維基本變換的有序組合；其組合變換矩陣是三維基本變換矩陣的乘積。具體的例子可參考教材p115。第五十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二三、三維投影變換將三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

根據(jù)投影中心（視點）與投影平面之間距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影。距離無窮大時為平行投影；距離有限時為透視投影。第五十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

投影方向垂直于投影平面時稱為正平行投影，投影方向不垂直于投影平面時稱為斜平行投影。

正投影是指視點分別位于三維物體的正前方、正側(cè)面、正上方所形成的投影視圖，也稱為三視圖。第五十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

使正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上稱為軸側(cè)投影。根據(jù)軸向變形系數(shù)，軸側(cè)投影可分為等軸側(cè)、二軸側(cè)、三軸側(cè)、等等。第五十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

投影形成的二維圖形中不平行的線延長后將匯聚于一點，稱之為滅點。根據(jù)滅點的個數(shù)，透視投影可分為一點透視、二點透視、三點透視。第六十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二第六十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)第六十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

⒈正投影變換

包括正視、側(cè)視、俯視三種投影方式。

⑴正視投影視點位于物體的正前方，向xoz坐標(biāo)平面進(jìn)行投影。空間物體各頂點的y坐標(biāo)變?yōu)?

，

x、z坐標(biāo)不變。1-1對xoz平面投影xyz第六十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

⑵側(cè)視投影視點位于物體的正側(cè)面，向yoz坐標(biāo)平面進(jìn)行投影。各點的x坐標(biāo)變?yōu)?，

y、z坐標(biāo)不變。

考慮繪圖時的統(tǒng)一性，將圖形繪在同一個坐標(biāo)平面上，作如下處理：

①將yoz平面上的側(cè)視圖繞z軸旋轉(zhuǎn)90度。②為了與xoz平面上已有的正視圖保持一定的間距，再沿x軸平移-l（l>0）。

1-2對yoz平面投影xyz1-2對yoz平面投影最終圖形旋轉(zhuǎn)平移前xyz第六十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二因此側(cè)視投影的變換矩陣為：yoz投影變換繞z旋轉(zhuǎn)90o沿x平移變換第六十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

，⑶俯視投影視點位于物體的正上方，向xoy坐標(biāo)平面進(jìn)行投影。各點的z坐標(biāo)變?yōu)?，

x、y坐標(biāo)不變。

考慮繪圖時的統(tǒng)一性，將圖形繪在同一個坐標(biāo)平面上，作如下處理：1-3對xoy平面投影xyz

①將xoy平面上的俯視圖繞x軸旋轉(zhuǎn)-90度。②為了與xoz平面上已有的圖形保持一定的間距，再沿z軸平移-n（n>0）。第六十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二xoy投影變換繞x旋轉(zhuǎn)-90o沿z平移變換因此俯視投影的變換矩陣為：第六十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)第六十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二2.軸測投影變換使正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上稱為軸側(cè)投影。包括正軸側(cè)投影和斜軸側(cè)投影兩種方式。

⑴正軸測投影變換該變換是使物體先繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角，再繞x軸旋轉(zhuǎn)-φ(φ>0)角，最后向xoz平面投影。因此，其變換矩陣為三個基本變換矩陣的乘積：繞z軸旋轉(zhuǎn)繞x軸旋轉(zhuǎn)向xoz面投影第六十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

例：設(shè)、，對單位立方體進(jìn)行正軸測投影變換。單位正方體各頂點齊次坐標(biāo)矩陣：xyzABCDEFGH第七十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二xyABCDEFGHzA′單位立方體正軸測投影xB′zC′D′G′E′F′H′第七十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二xyABCDEFGHzA′單位立方體正軸測投影xB′zC′D′G′E′F′H′

軸側(cè)投影的圖形會產(chǎn)生形變，形變程度用變形系數(shù)衡量。各軸的軸向變形系數(shù)如下：

根據(jù)軸向變形系數(shù)之間的關(guān)系，軸側(cè)投影可分為等軸側(cè)、二軸側(cè)等投影方式。第七十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

①正等軸測投影：由ηx=ηy=ηz

可求得θ=45o、ψ=35o16’，代入正軸測投影變換矩陣T正，得：當(dāng)ηx=ηy=ηz

時xyABCDEFGHz單位立方體正等軸測投影xz第七十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

②正二軸測投影：由ηx=2ηy=ηz

可求得θ=20o42’、ψ=19o28’，代入正軸測投影變換矩陣T正，得：當(dāng)ηx=2ηy=ηz

時xyABCDEFGHz單位立方體正二軸測投影xzo第七十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二2.軸測投影變換

⑴正軸測投影變換

⑵斜軸測投影變換如何將正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上呢？該變換是使物體先沿x含y錯切，再沿z含y錯切，最后向xoz平面投影。因此，其變換矩陣也是三個基本變換矩陣的乘積：第七十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二

在變換矩陣T斜中，當(dāng)d、f取不同的值時可得到各種不同的斜軸側(cè)透視圖：

同樣，斜軸側(cè)投影的圖形也會產(chǎn)生形變。各軸的軸向變形系數(shù)如下：

根據(jù)軸向變形系數(shù)之間的關(guān)系，斜軸側(cè)投影也可分為斜等軸側(cè)、斜二軸側(cè)(常用形式)等投影方式。（a）d=1，f=1；（b）d=1，f=-1；（c）d=-1，f=-1；（d）d=-1，f=1第七十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二①斜二軸測投影：

由ηx=2ηy=ηz

可求得d=f

=

±0.354，代入斜軸測投影變換矩陣T斜，得：當(dāng)ηx=2ηy=ηz

時第七十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)第七十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期二3.透視投影變換

對于一個空間物體，若用軸測投影，物