專題03等式與不等式的性質(zhì)

專題03等式與不等式的性質(zhì)【命題方向名目】命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題方向二：比擬數(shù)〔式〕的大小與比擬法證明不等式命題方向三：不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍命題方向四：不等式的綜合問題命題方向五：糖水不等式【2024年高考猜測】2024年仍將與集合運算結(jié)合重點考查一元二次不等式解法與分段函數(shù)不等式的解法，根本不等式多在解析幾何、函數(shù)最值中考查，難度為根底題或中檔題．【學(xué)問點總結(jié)】1、兩個實數(shù)比擬大小的方法作差法2、等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：假如，那么；性質(zhì)2傳遞性：假如，那；性質(zhì)3可加〔咸〕性：假如，那么；性質(zhì)4可乘性：假如，那么；性質(zhì)5可除性：假如，那．3、不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：；性質(zhì)2傳遞性：；性質(zhì)3可加性：；性質(zhì)4可乘性：；性質(zhì)5同向可加性：；性質(zhì)6同向同正可乘性：；性質(zhì)7同正可乘方性：．【方法技巧與總結(jié)】1、假設(shè)，且2、假設(shè)；假設(shè)【典例例題】命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用【通性通解總結(jié)】1、推斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．2、充分利用根本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行推斷．3、小題可以用特別值法做快速推斷．例1．〔2023·北京·人大附中校考模擬猜測〕假設(shè)實數(shù)、滿意，那么以下不等式中成立的是〔

〕A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，，所以，故D正確；當(dāng)，時，，但，，，故A，B，C錯誤.應(yīng)選：D.例2．〔2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬猜測〕假設(shè)，，，且，那么以下不等式肯定成立的是〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】假設(shè)，，，滿意，但，，不成立，A選項錯誤；，，那么有，即，B選項正確；，當(dāng)時，不成立，C選項錯誤；當(dāng)時，，那么D選項錯誤.應(yīng)選：B例3．〔2023·江西·統(tǒng)考模擬猜測〕，那么以下不等式肯定成立的是〔

〕A． B．C． D．【答案】C【解析】由可知，所以，所以錯誤；由于，但無法判定與1的大小，所以B錯誤；當(dāng)時，，故D錯誤；由于，所以，故C正確.應(yīng)選：C.變式1．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕兩兩不同的滿意：且滿意，．那么以下肯定成立的是〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】方法1：設(shè)條件①:，②：，③，由題設(shè)，并令，那么，同理，條件③轉(zhuǎn)化為，考慮到函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，如下圖：它在定義域內(nèi)整體為上凸函數(shù)，因此．由條件①可得，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即恒成立，應(yīng)選：A．方法2：由題設(shè)，并令，那么，滿意條件，那么選項A，B，，故A正確，B不正確；此時，故C，D均不正確，應(yīng)選：A．變式2．〔2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬猜測〕以下不等式正確的選項是〔〕A．假設(shè)，那么B．假設(shè)，那么C．假設(shè)，，那么D．假設(shè)，，，且，那么【答案】D【解析】對于A，當(dāng)，，時滿意，但，所以A錯誤；對于B，當(dāng)，，時，滿意，但，所以B錯誤；對于C，由不等式的根本性質(zhì)易知，當(dāng)，，時滿意，，但，所以C錯誤；對于D，，所以，故D正確．應(yīng)選：D．變式3．〔2023·北京朝陽·統(tǒng)考一?！臣僭O(shè)，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】，，即，故A正確；取，那么不成立，故B錯誤；取，那么不成立，故C錯誤；取，那么，故D錯誤.應(yīng)選：A命題方向二：比擬數(shù)〔式〕的大小與比擬法證明不等式【通性通解總結(jié)】比擬數(shù)〔式〕的大小常用的方法有比擬法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、根本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比擬法又分為作差比擬法和作商比擬法．作差法比擬大小的步驟是：〔1〕作差；〔2〕變形；〔3〕推斷差式與0的大??；〔4〕下結(jié)論．作商比擬大小〔一般用來比擬兩個正數(shù)的大小〕的步驟是：〔1〕作商；〔2〕變形；〔3〕推斷商式與1的大小；〔4〕下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比擬大?。鞑罘ㄊ潜葦M兩數(shù)〔式〕大小最為常用的方法，假如要比擬的兩數(shù)〔式〕均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比擬大小的原理是：假設(shè)，那么；；；假設(shè)，那么；；．例4．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè),那么將從小到大排列為______.【答案】【解析】，不妨令，那么有，有，即.故答案為：.例5．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕設(shè)，，那么s與t的大小關(guān)系是________.【答案】【解析】,.故答案為：.例6．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕,，那么,的大小關(guān)系是_____．【答案】【解析】由于,所以所以.故答案為：.變式4．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)a＝，b＝，那么a____b(填“＞〞或“＜〞)．【答案】＜【解析】易知a，b都是正數(shù)，＝＝log89＞1，所以b＞a.故答案為：＜變式5．〔2023·高三課時練習(xí)〕〔1〕a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；〔2〕設(shè)x，，比擬與的大小.【解析】〔1〕由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.又a＞b＞0，所以.〔2〕由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立，所以當(dāng)x＝y(tǒng)時，；當(dāng)時，.變式6．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕〔1〕試比擬與的大??；〔2〕，，求證：．【解析】〔1〕由題意，，所以．〔2〕證明：由于，所以，即，而，所以，那么．得證．命題方向三：不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍【通性通解總結(jié)】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而分析每個變量的范圍，否那么會導(dǎo)致范圍擴大，而只能建立與未知的直接關(guān)系．例7．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕，，的取值范圍是_______________【答案】【解析】設(shè)，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范圍.故答案為：.例8．〔2023·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)〕假設(shè)實數(shù)x、y滿意，，那么的取值范圍是_____．【答案】【解析】設(shè),那么解得所以,由得所以,即.故的取值范圍是.故答案為：.例9．〔2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)〕，，那么的最小值是___________.【答案】/【解析】設(shè)，那么，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案為：.變式7．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕實數(shù)、滿意，，那么的取值范圍為______．【答案】【解析】設(shè)，那么，解得，所以，由于，，所以，，所以，故答案為：.變式8．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕有理數(shù)a，b，c，滿意，且，那么的取值范圍是_________．【答案】【解析】由于，且，所以，，，所以.故答案為：變式9．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕，，那么的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于，所以，由于，所以，所以，故答案為：.變式10．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕，，那么的取值范圍為__________．【答案】【解析】由于，所以，由于，當(dāng)時，，所以，所以；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上可得，即故答案為：變式11．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕函數(shù)滿意，那么的取值范圍是_________.【答案】【解析】由題意得解得所以,由于，所以；由于，所以．兩式相加得，故的取值范圍是.變式12．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕設(shè)x，y為實數(shù)，滿意，，那么的最小值是______.【答案】【解析】設(shè)即所以，解得所以由于，，所以由不等式性質(zhì)可知即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得.綜上可知，的最小值為.故答案為：.變式13．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)時，且，那么的取值范圍是____________．【答案】【解析】當(dāng)時滿意：且，，即，進(jìn)而，解得．所以或，，令，，由于所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以故答案為：．命題方向四：不等式的綜合問題例10．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)實數(shù)滿意，，那么的最大值為______．【答案】【解析】由根本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，解得：，又由于，所以，化簡得：，由于，所以，所以，即，所以，所以，故的最大值是.故答案為：.例11．〔多項選擇題〕〔2023·山東·校聯(lián)考二?！硨崝?shù)滿意，且，那么以下說法正確的選項是〔

〕A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A，，，，A錯誤；對于B，，，，，，，，即，B正確；對于C，，，，即，C正確；對于D，，D錯誤.應(yīng)選：BC.例12．〔多項選擇題〕〔2023·廣東惠州·統(tǒng)考一?！臣僭O(shè)，那么〔

〕A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由于，所以，那么，選項A，，故正確；選項B，由于，且，所以，故B正確；選項C，由于，故C錯誤；選項D，由于，故D正確，應(yīng)選：ABD．變式14．〔多項選擇題〕〔2023·山東濰坊·統(tǒng)考二?！硨崝?shù)，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A：，那么，正確；B：，那么，正確；C：當(dāng)時，，錯誤；D：由〔留意等號取不到〕，那么，正確.應(yīng)選：ABD變式15．〔多項選擇題〕〔2023·廣東深圳·深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬猜測〕a，b都是正實數(shù)，那么以下不等式中恒成立的是〔

〕A． B．C． D．【答案】AC【解析】A選項，由于a，b都是正實數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，A正確；B選項，由于a，b都是正實數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B錯誤；C選項，，故恒成立，C正確；D選項，a是正實數(shù)，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D錯誤.應(yīng)選：AC變式16．〔多項選擇題〕〔2023·福建·統(tǒng)考模擬猜測〕，那么以下結(jié)論正確的選項是〔

〕A． B． C． D．的最小值為6【答案】AC【解析】A：，由于，所以故A正確；B：，明顯滿意條件，故B錯誤；C：，故C正確；D：，由于在上為增函數(shù)，故最小值為，D錯誤．應(yīng)選AC．變式17．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕實數(shù)a，b，c滿意a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，那么a的最大值是__．【答案】【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴∴b、c是方程：x2+ax+a20的兩個實數(shù)根，∴∴即∴即a的最大值為故答案為：．變式18．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)，，設(shè)，那么的最小值為__．【答案】/【解析】由于．當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．所以的最小值為．故答案為：．變式19．〔多項選擇題〕〔2023·遼寧·校聯(lián)考二模〕正數(shù)x，y滿意，那么以下結(jié)論正確的選項是〔

〕A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由于，所以，，所以所以，A正確，B錯誤；令，那么，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，C正確；令，那么，可知當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，D正確，應(yīng)選：ACD.命題方向五：糖水不等式【通性通解總結(jié)】糖水不等式：假設(shè)，，那么肯定有，或者．例13．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕糖水中含有糖，假設(shè)再添加糖完全溶解在其中，那么糖水變得更甜了〔即糖水中含糖濃度變大〕．依據(jù)這個事實，以下不等式中肯定成立的是〔

〕A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A選項，由題意可知，A選項錯誤；對于B選項，作出函數(shù)與的圖象如以下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，，，那么，所以，，即，B選項正確；對于C選項，，所以，，C選項錯誤；對于D選項，取，，那么，D選項錯誤.應(yīng)選：B.例14．〔2023·四川涼山·統(tǒng)考一?！晨颂撬泻锌颂?，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比打算了糖水的甜度，假如再添加克糖，生活閱歷告知我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為(，).假設(shè)，，，那么A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，，所以，，依據(jù)題意當(dāng)，時成立，又，所以，即：，又所以，所以，應(yīng)選：B.例15．〔2023·山西·統(tǒng)考一?！澄覀兌贾酪槐撬性賲⒓右恍┨?，糖水會更甜．這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為：，其中，且a，b，．據(jù)此可以推斷兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比方_________〔填“＞〞“＜〞〕．【答案】>【解析】令，那么，令，那么，所以，，依據(jù)題設(shè)知：.故答案為：>變式20．〔2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)〕假設(shè)克不飽和糖水中含有克糖，那么糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)打算了糖水的甜度.假如在此糖水中再添加克糖，生活閱歷告知我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出___________(用“〞或“〞填空)；并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式___________.【答案】【解析】空1：由于，所以可得：；空2：由空1可得：，即.故答案為：；【過關(guān)測試】一、單項選擇題1．〔2023·天津·統(tǒng)考一?！吃O(shè)，，那么“〞是“〞的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由于，，由可得，那么，即，因此，假設(shè)，，那么“〞是“〞的充要條件.應(yīng)選：C.2．〔2023·江蘇南通·模擬猜測〕，那么的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.應(yīng)選：B.3．〔2023·湖南·模擬猜測〕正實數(shù)x，y滿意，設(shè)，，〔其中為自然對數(shù)：〕，那么a，b，c的大小關(guān)系是〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，，，所以又，，所以，所以；又，又，，所以．綜上，．應(yīng)選：A．4．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕“〞的一個充分條件可以是〔

〕A． B．C． D．【答案】D【解析】由，即，所以對選項A，，所以不肯定有，故A不正確，選項B，由，那么，那么或，故B項不正確，選項C，，那么或，故C不正確，選項D，由知，所以，成立，故D正確，應(yīng)選：D.5．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)實數(shù)a，b，c滿意，那么以下結(jié)論肯定成立的是〔

〕A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，假設(shè)，那么，故A錯誤；

對于B，假設(shè)，那么，故B錯誤；對于C，時不能做分母，故C錯誤；

對于D，由于，所以，所以，所以，故D正確.應(yīng)選：D.6．〔2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末〕實數(shù)x，y分別是方程的解，那么的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】因表示實數(shù)t的范圍是，所以．所以，且當(dāng)時，有最大值是3；當(dāng)時，有最小值是0．故的取值范圍是．應(yīng)選:C．7．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕某城市有一個面積為的矩形廣場，該廣場為黃金矩形〔它的寬與長的比為〕，現(xiàn)在在中心設(shè)計一個矩形草坪，四周是等寬的步行道，能否設(shè)計恰當(dāng)?shù)牟叫械赖膶挾仁咕匦尾萜簽辄S金矩形？那么以下選項正確的選項是〔

〕A．步行道的寬度 B．步行道的寬度C．步行道的寬度 D．草坪不行能為黃金矩形【答案】D【解析】設(shè)草坪的長、寬分別為，〔〕，步行道的寬度為，，那么，草坪不行能為黃金矩形.應(yīng)選：D.8．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)實數(shù)x，y滿意，那么的取值范圍〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，那么，解得，故，又因，所以，所以.應(yīng)選：A.二、多項選擇題9．〔2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一?！砤，b，，那么以下說法正確的選項是〔

〕A．假設(shè)，，那么 B．假設(shè)，那么C． D．【答案】BC【解析】對于A項，例如，，，滿意，，但不滿意，故A項不成立；對于B項，由于,，，所以冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故B項正確；對于C項，由于，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C項正確；對于D項，方法1：當(dāng)，時，，，那么，故D項錯誤．方法2：作差法，，由于，，所以，所以，故D項錯誤．應(yīng)選：BC.10．〔2023·全國·模擬猜測〕為實數(shù)，且，那么以下不等式正確的選項是〔

〕A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由可知，所以A項正確；當(dāng)時，不成立，B項錯誤；由0得，所以，所以，C項正確；1)，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時取得等號，D項正確．應(yīng)選：ACD．11．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕實數(shù)x，y滿意那么〔

〕A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】由于，所以.由于，所以，那么，故A正確；由于，所以.由于，所以，所以，所以，故B正確；由于，所以，那么，故C錯誤；由于，所以，那么，故D正確.應(yīng)選：ABD.12．〔2023·湖南永州·統(tǒng)考三?！?，以下命題為真命題的是〔

〕A．假設(shè)，那么 B．假設(shè)，那么C．假設(shè)，那么 D．假設(shè)，那么【答案】BD【解析】對于A項，，由于，所以，所以，所以，即：，故A項錯誤；對于B項，，由于，所以，，所以，即：，故B項正確；對于C項，，由于，所以，，，所以，即：，故C項錯誤；對于D項，由于，又由于，所以，，所以，即：，故D項正確.應(yīng)選：BD三、填空題13．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)整數(shù)x滿意，那么x的值是________【答案】【解析】由于，，所以，，所以，，由于，所以的值為，故答案為：.14．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕，那么的取值范圍是__________【答案】【解析】由于，所以或，即或；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；故答案為：.15．〔2023·北京房山·統(tǒng)考一?！衬軌蛘f明“設(shè)是任意實數(shù)，假設(shè)，那么〞是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.【答案】〔答案不唯一〕【解析】假設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；“設(shè)是任意實數(shù)，假設(shè)，那么〞是假命題的一組整數(shù)的值依次為，故答案為：〔答案不唯一〕16．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕實數(shù)，，滿意那么的取值范圍