數(shù)學(xué)建模-微分方程模型課件

數(shù)學(xué)建模－

微分方程模型xx同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1謝謝觀賞2019-6-29一、什么是微分方程？最最簡(jiǎn)單的例子2謝謝觀賞2019-6-29引例一曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且在該曲線任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。解

因此，所求曲線的方程為

若設(shè)曲線方程為，又因曲線滿足條件

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿足關(guān)系式：對(duì)（1）式兩端積分得：代入（3）得C＝13謝謝觀賞2019-6-29回答什么是微分方程：

建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程

4謝謝觀賞2019-6-29二、微分方程的解法積分方法，分離變量法5謝謝觀賞2019-6-29可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法6謝謝觀賞2019-6-29例1

求解微分方程解分離變量?jī)啥朔e分典型例題7謝謝觀賞2019-6-29過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.8謝謝觀賞2019-6-29例2.

解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為9謝謝觀賞2019-6-29練習(xí)題10謝謝觀賞2019-6-2911謝謝觀賞2019-6-29練習(xí)題答案12謝謝觀賞2019-6-29三、建立微分方程數(shù)學(xué)模型1、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型2、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型13謝謝觀賞2019-6-291、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型14謝謝觀賞2019-6-29

利用微分方程求實(shí)際問(wèn)題中未知函數(shù)的一般步驟是：

(1)分析問(wèn)題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；

(2)求出微分方程的通解；

(3)根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應(yīng)的特解．

15謝謝觀賞2019-6-29

實(shí)際問(wèn)題需尋求某個(gè)變量y

隨另一變量t的變化規(guī)律：y=y(t).直接求很困難

建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程

建立變量能滿足的微分方程

？哪一類問(wèn)題16謝謝觀賞2019-6-29在工程實(shí)際問(wèn)題中

“改變”、“變化”、“增加”、“減少”等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化.

關(guān)鍵詞“速率”,“增長(zhǎng)”,“衰變”,“邊際的”,常涉及到導(dǎo)數(shù).

建立方法常用微分方程運(yùn)用已知物理定律

利用平衡與增長(zhǎng)式運(yùn)用微元法應(yīng)用分析法機(jī)理分析法17謝謝觀賞2019-6-29建立微分方程模型時(shí)應(yīng)用已知物理定律，可事半功倍一、運(yùn)用已知物理定律18謝謝觀賞2019-6-29例1鈾的衰變規(guī)律問(wèn)題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量不斷的減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比，已知t＝0時(shí)刻鈾的含量為，求在衰變過(guò)程中鈾的含量M（t）隨時(shí)間t的變化規(guī)律。19謝謝觀賞2019-6-29鈾的衰變速度就是對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，解

因此，由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿足關(guān)系式：對(duì)上式兩端積分得：是衰變系數(shù)且初始條件分離變量得代入初始條件得所以有，這就是鈾的衰變規(guī)律。20謝謝觀賞2019-6-29

例2

一個(gè)較熱的物體置于室溫為180c的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后降到500c.想知道它的溫度降到300c需要多少時(shí)間？10分鐘以后它的溫度是多少？一、運(yùn)用已知物理定律21謝謝觀賞2019-6-29

牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T(mén)的物體放入處于常溫

m

的介質(zhì)中時(shí)，T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差.

分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時(shí)，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡,保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個(gè)相當(dāng)好的近似.建立模型：設(shè)物體在冷卻過(guò)程中的溫度為T(mén)(t)，t≥0，

22謝謝觀賞2019-6-29“T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差”

翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言建立微分方程其中參數(shù)k>0，m=18.求得一般解為23謝謝觀賞2019-6-29ln(T－m)=－kt+c,代入條件:求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.結(jié)果

：T(10)=18+42=25.870，該物體溫度降至300c需要8.17分鐘.

24謝謝觀賞2019-6-29另一個(gè)例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設(shè)有一瓶熱水，水溫原來(lái)是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過(guò)20小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)水溫降到60℃，求瓶?jī)?nèi)水溫的變化規(guī)律．

25謝謝觀賞2019-6-29例3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設(shè)有一瓶熱水，水溫原來(lái)是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過(guò)20小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)水溫降到60℃，求瓶?jī)?nèi)水溫的變化規(guī)律．解

可以認(rèn)為在水的冷卻過(guò)程中，空氣的溫度是不變的．由題意，得其中

k

是比例系數(shù)(k>0)

．由于是單調(diào)減少的，即

設(shè)瓶?jī)?nèi)水的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系為，則水的冷卻速率為

,(1)所以(1)式右邊前面應(yīng)加“負(fù)號(hào)”．初始條件為 ．26謝謝觀賞2019-6-29對(duì)(1)式分離變量，得

于是方程(1)的特解為

兩邊積分

得

即把初始條件

代入上式，求得

C=80

，

其中比例系數(shù)

k

可用問(wèn)題所給的另一條件

來(lái)確定，

即

解得因此瓶?jī)?nèi)水溫

與時(shí)間

的函數(shù)關(guān)系為27謝謝觀賞2019-6-29二.利用平衡與增長(zhǎng)式

許多研究對(duì)象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等.

利用變量間的平衡與增長(zhǎng)特性,可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系.

28謝謝觀賞2019-6-29解例1

某車間體積為12000立方米,開(kāi)始時(shí)空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含的的新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量29謝謝觀賞2019-6-29的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到30謝謝觀賞2019-6-29二.利用平衡與增長(zhǎng)式

例2簡(jiǎn)單人口增長(zhǎng)模型

對(duì)某地區(qū)時(shí)刻t的人口總數(shù)N(t)，除考慮個(gè)體的出生、死亡，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出的影響.31謝謝觀賞2019-6-29

在很短的時(shí)間段Δt內(nèi)，關(guān)于N(t)變化的一個(gè)最簡(jiǎn)單的模型是：

{Δt時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量}={Δt內(nèi)出生人口數(shù)}－{Δt內(nèi)死亡人口數(shù)}+{Δt內(nèi)遷入人口數(shù)}－{Δt內(nèi)遷出人口數(shù)}

{Δt時(shí)間內(nèi)的凈改變量}={Δt時(shí)間內(nèi)輸入量}－{Δt時(shí)間內(nèi)輸出量}般化更一基本模型32謝謝觀賞2019-6-29三.微元法

基本思想：通過(guò)分析研究對(duì)象的有關(guān)變量在一個(gè)很短時(shí)間內(nèi)的變化情況.33謝謝觀賞2019-6-29例

一個(gè)高為2米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為1平方厘米.試求放空容器所需要的時(shí)間.2米對(duì)孔口的流速做兩條假設(shè)：1．t

時(shí)刻的流速v

依賴于此刻容器內(nèi)水的高度h(t).

2．整個(gè)放水過(guò)程無(wú)能量損失。

34謝謝觀賞2019-6-29分析：放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零

模型建立：由水力學(xué)知：水從孔口流出的流量Q為通過(guò)“孔口橫截面的水的體積V對(duì)時(shí)間t的變化率”，即35謝謝觀賞2019-6-29S—孔口橫截面積（單位：平方厘米）

h(t)—水面高度（單位：厘米）

t—時(shí)間（單位：秒）當(dāng)S=1平方厘米，有h(t)h+Δhr1r2水位降低體積變化36謝謝觀賞2019-6-29

在[t，t+Δt]內(nèi)，水面高度h(t)降至h+Δh(Δh<0),容器中水的體積的改變量為令Δt0,得

37謝謝觀賞2019-6-29dV=－πr2dh，（2）比較(1)、(2)兩式得微分方程如下：

積分后整理得

0≤h≤100

令

h=0，求得完全排空需要約2小時(shí)58分.

38謝謝觀賞2019-6-29另一個(gè)例子

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度39謝謝觀賞2019-6-29設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:40謝謝觀賞2019-6-29即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為41謝謝觀賞2019-6-29四.分析法

基本思想：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律.

例(獨(dú)家廣告模型)廣告是調(diào)整商品銷售的強(qiáng)有力的手段,廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評(píng)價(jià)不同時(shí)期的廣告效果？分析廣告的效果,可做如下的條件假設(shè)：

*1.

商品的銷售速度會(huì)因廣告而增大,當(dāng)商品在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷售速度將趨于一個(gè)極限值；42謝謝觀賞2019-6-29*2.

商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低；

*3.

選擇如下廣告策略，t時(shí)刻的廣告費(fèi)用為：

建模記

S(t)—t時(shí)刻商品的銷售速度；M—銷售飽和水平，即銷售速度的上限；

λ（＞0）—衰減因子，廣告作用隨時(shí)間的推移而自然衰減的速度.43謝謝觀賞2019-6-29直接建立微分方程

稱

p為響應(yīng)系數(shù)，表征A(t)對(duì)S(t)的影響力.模型分析：是否與前三條假設(shè)相符？改寫(xiě)模型44謝謝觀賞2019-6-29假設(shè)1*市場(chǎng)“余額”假設(shè)2*銷售速度因廣告作用增大,同時(shí)又受市場(chǎng)余額的限制.45謝謝觀賞2019-6-292、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型46謝謝觀賞2019-6-29背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)人口增長(zhǎng)模型47謝謝觀賞2019-6-29常用的計(jì)算公式今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口48謝謝觀賞2019-6-29指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比，且比例系數(shù)為r隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)根據(jù)假設(shè)，在到時(shí)間段內(nèi)，人口的增長(zhǎng)量為49謝謝觀賞2019-6-29模型檢驗(yàn)據(jù)估計(jì)1961年地球上人口總數(shù)為，在以后7年中，人口總數(shù)以每年的數(shù)度增長(zhǎng)，這樣也就是說(shuō)到2670年，地球上將有36000億人口，非?；闹?。這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了1700－1961年世界人口的總數(shù)。但是：50謝謝觀賞2019-6-29指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程事實(shí)：人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)51謝謝觀賞2019-6-29阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)52謝謝觀賞2019-6-29阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/253謝謝觀賞2019-6-29模型的參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

專家估計(jì)54謝謝觀賞2019-6-29模型檢驗(yàn)用模型預(yù)報(bào)1990年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為251.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——人口預(yù)報(bào)用美國(guó)1790~1990年人口數(shù)據(jù)重新估計(jì)參數(shù)r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)55謝謝觀賞2019-6-291、指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）3、更復(fù)雜的人口模型隨機(jī)性模型、考慮人口年齡分布的模型等可見(jiàn)數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實(shí)際情況的變化。小結(jié)56謝謝觀賞2019-6-29兩方軍隊(duì)交戰(zhàn),希望為這場(chǎng)戰(zhàn)斗建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個(gè)模型達(dá)到如下目的：1.預(yù)測(cè)哪一方將獲勝？

2.

估計(jì)獲勝的一方最后剩下多少士兵？

3.計(jì)算失敗的一方開(kāi)始時(shí)必須投入多少士兵才能贏得這場(chǎng)戰(zhàn)斗？戰(zhàn)爭(zhēng)模型57謝謝觀賞2019-6-29模型建立：設(shè)

x(t)—t

時(shí)刻X方存活的士兵數(shù)；

y(t)—t

時(shí)刻Y方存活的士兵數(shù)；假設(shè)：

1）雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗，x(t)與y(t)都是連續(xù)變量.

2）Y方軍隊(duì)的一個(gè)士兵在單位時(shí)間內(nèi)殺死X

方軍隊(duì)a名士兵；

58謝謝觀賞2019-6-29平衡式

3）X方軍隊(duì)的一個(gè)士兵在單位時(shí)間內(nèi)殺死Y方軍隊(duì)b

名士兵；{Δt時(shí)間內(nèi)X軍隊(duì)減少的士兵數(shù)

}={Δt時(shí)間內(nèi)Y軍隊(duì)消滅對(duì)方的士兵數(shù)}即有

Δx=－ayΔt,

同理

Δy=－bxΔt,

令Δt0,得到微分方程組：

59謝謝觀賞2019-6-2960謝謝觀賞2019-6-29附：微分方程模型匯總1

傳染病模型2

經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)4

藥物在體內(nèi)的分布與排除5

香煙過(guò)濾嘴的作用6人口預(yù)測(cè)和控制7

煙霧的擴(kuò)散與消失8萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)61謝謝觀賞2019-6-29動(dòng)態(tài)模型

描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程

分析對(duì)象特征的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)

研究控制對(duì)象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模

根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程62謝謝觀賞2019-6-291傳染病模型問(wèn)題

描述傳染病的傳播過(guò)程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型63謝謝觀賞2019-6-29

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?64謝謝觀賞2019-6-29模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型65謝謝觀賞2019-6-29模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大66謝謝觀賞2019-6-29模型3傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。67謝謝觀賞2019-6-29模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<068謝謝觀賞2019-6-29模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程69謝謝觀賞2019-6-29模型4SIR模型無(wú)法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)70謝謝觀賞2019-6-29模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析71謝謝觀賞2019-6-29si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S072謝謝觀賞2019-6-29模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計(jì)

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫73謝謝觀賞2019-6-29模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=74謝謝觀賞2019-6-292

經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增加投資增加勞動(dòng)力提高技術(shù)

建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系

研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大

調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng)1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f075謝謝觀賞2019-6-29模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著

y的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)76謝謝觀賞2019-6-29QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)77謝謝觀賞2019-6-29w,r,K/L求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金來(lái)自貸款，利率r勞動(dòng)力付工資w2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）78謝謝觀賞2019-6-293)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng)的條件(動(dòng)態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng),K(t),L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè)

投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn))

勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)79謝謝觀賞2019-6-29Bernoulli方程80謝謝觀賞2019-6-29產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng)dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件81謝謝觀賞2019-6-29勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件82謝謝觀賞2019-6-293正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型83謝謝觀賞2019-6-29一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型84謝謝觀賞2019-6-29正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒(méi)有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率85謝謝觀賞2019-6-290正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝86謝謝觀賞2019-6-29游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒(méi)有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個(gè)士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動(dòng)面積sry~乙方射擊有效面積87謝謝觀賞2019-6-290游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型線性律模型88謝謝觀賞2019-6-290混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)89謝謝觀賞2019-6-294

藥物在體內(nèi)的分布與排除

藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)

血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟

房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)90謝謝觀賞2019-6-29

中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)

中心室(1)和周邊室(2),容積不變

藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比

藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立91謝謝觀賞2019-6-29線性常系數(shù)非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解模型建立92謝謝觀賞2019-6-29幾種常見(jiàn)的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件93謝謝觀賞2019-6-292.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt￡￡94謝謝觀賞2019-6-29吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量x0(t)95謝謝觀賞2019-6-29參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,n)測(cè)得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,96謝謝觀賞2019-6-29參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除97謝謝觀賞2019-6-29

過(guò)濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系

人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型分析

分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過(guò)程，建立吸煙過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。

設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問(wèn)題5

香煙過(guò)濾嘴的作用98謝謝觀賞2019-6-29模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長(zhǎng)，l2~過(guò)濾嘴長(zhǎng)，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>uQ~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量99謝謝觀賞2019-6-29模型建立0t=0,x=0，點(diǎn)燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)100謝謝觀賞2019-6-29t時(shí)刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)101謝謝觀賞2019-6-293)求w(ut,t)102謝謝觀賞2019-6-294)計(jì)算Q103謝謝觀賞2019-6-29結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過(guò)濾嘴因素，,l2~負(fù)指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用104謝謝觀賞2019-6-29帶過(guò)濾嘴不帶過(guò)濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過(guò)濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高-b與加長(zhǎng)l2，效果相同105謝謝觀賞2019-6-296人口預(yù)測(cè)和控制

年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程106謝謝觀賞2019-6-29人口發(fā)展方程一階偏微分方程107謝謝觀賞2019-6-29人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr108謝謝觀賞2019-6-29生育率的分解~總和生育率h~生育模式0109謝謝觀賞2019-6-29人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大110謝謝觀賞2019-6-29人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按(r,t)計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過(guò)大控制(t)不過(guò)高111謝謝觀賞2019-6-297

煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象和問(wèn)題炮彈在空中爆