概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)提綱及概率論與數(shù)理統(tǒng)計第7章例題

第一章隨機事件及其概率一、隨機事件及其運算1.樣本空間、隨機事件①樣本點：隨機試驗的每一個可能結(jié)果，用表示；②樣本空間：樣本點的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.③隨機事件：樣本點的某個集合或樣本空間的某個子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于樣本空間；不可能事件是不包含任何樣本點的空集；⑤基本事件就是僅包含單個樣本點的子集。2.事件的四種關(guān)系①包含關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；②等價關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；③互不相容（互斥）：，事件A與事件B一定不會同時發(fā)生。④對立關(guān)系（互逆）：，事件發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足注：互不相容和對立的關(guān)系（對立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立事件。）3.事件的三大運算①事件的并：，事件A與事件B至少有一個發(fā)生。若，則；②事件的交：，事件A與事件B都發(fā)生；③事件的差：，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。4.事件的運算規(guī)律①交換律：②結(jié)合律：③分配律：④德摩根（DeMorgan）定律：對于n個事件，有二、隨機事件的概率定義和性質(zhì)1．公理化定義：設(shè)試驗的樣本空間為，對于任一隨機事件都有確定的實值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1)非負性：(2)規(guī)范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對于k個互不相容事件，有.則稱P(A)為隨機事件A的概率.2．概率的性質(zhì)①②③若，則④注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若則。（×）若，則。（×）古典概型的概率計算古典概型：若隨機試驗滿足兩個條件：①只有有限個樣本點,②每個樣本點發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下,取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式：3.全概率公式：若，則。4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且.五、事件的獨立1.定義：.推廣：若相互獨立，2.在四對事件中，只要有一對獨立，則其余三對也獨立。3.三個事件A,B,C兩兩獨立：注：n個事件的兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別。（相互獨立兩兩獨立，反之不成立。）4.伯努利概型：1.事件的對立與互不相容是等價的。（X）2.若則。（X）3.。(X)4.A,B,C三個事件恰有一個發(fā)生可表示為。(∨)5.n個事件若滿足，則n個事件相互獨立。(X)6.當(dāng)時，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章隨機變量及其分布一、隨機變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量為定義在上的單值實值函數(shù)，則稱為隨機變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1.定義：設(shè)隨機變量，對于任意實數(shù)，函數(shù)稱為隨機變量的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。注：當(dāng)時，(1)X是離散隨機變量，并有概率函數(shù)則有(2)X連續(xù)隨機變量，并有概率密度f(x)，則.2.分布函數(shù)性質(zhì)：（1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對于任意x1<x2，有；（2；且；（3離散隨機變量X，F(xiàn)(x)是右連續(xù)函數(shù),即；連續(xù)隨機變量X，F(xiàn)(x)在（-∞，+∞）上處處連續(xù)。注：一個函數(shù)若滿足上述3個條件，則它必是某個隨機變量的分布函數(shù)。三、離散隨機變量及其分布1.定義.設(shè)隨機變量X只能取得有限個數(shù)值，或可列無窮多個數(shù)值且，則稱X為離散隨機變量,pi(i=1,2,…)為X的概率分布，或概率函數(shù)(分布律).注：概率函數(shù)pi的性質(zhì):2.幾種常見的離散隨機變量的分布：（1）超幾何分布，X~H(N,M,n)，（2）二項分布，X~B(n.,p)，當(dāng)n=1時稱X服從參數(shù)為p的兩點分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2,…,n)服從同一兩點分布且獨立，則服從二項分布。（3）泊松(Poisson)分布，，四、連續(xù)隨機變量及其分布1.定義.若隨機變量X的取值范圍是某個實數(shù)區(qū)間I，且存在非負函數(shù)f(x)，使得對于任意區(qū)間，有則稱X為連續(xù)隨機變量;函數(shù)f(x)稱為連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。注1：連續(xù)隨機變量X任取某一確定值的概率等于0,即注2：2.概率密度f(x)的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：注1：一個函數(shù)若滿足上述2個條件，則它必是某個隨機變量的概率密度函數(shù)。注2：當(dāng)時，且在f(x)的連續(xù)點x處，有3.幾種常見的連續(xù)隨機變量的分布：(1)均勻分布，(2)指數(shù)分布,(3)正態(tài)分布，1.概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個概念。（X）2.當(dāng)N充分大時，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.設(shè)X是隨機變量，有。(X)4.若的密度函數(shù)為=，則(X)第三章隨機變量的數(shù)字特征一、期望（或均值）1．定義：2．期望的性質(zhì)：3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.計算數(shù)學(xué)期望的方法(1)利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見的基本方法：將一個比較復(fù)雜的隨機變量X拆成有限多個比較簡單的隨機變量Xi之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.(3)利用常見分布的期望；1．方差注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了隨機變量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性質(zhì)(4)對于任意實數(shù)C∈R，有E(X-C)2≥D(X)當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時,E(X-C)2取得最小值D(X).(5)(切比雪夫不等式):設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)存在,對于任意的正數(shù)有或3.計算(1)利用方差定義；(2)常用計算公式(3)方差的性質(zhì)；(4)常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差1.若X～B(n,p),則E(X)=np,D(X)=npq;2.若3.若X～U(a,b),則4.若5.若三、原點矩與中心矩（總體）X的k階原點矩：（總體）X的k階中心矩：1.只要是隨機變量，都能計算期望和方差。(X)2.期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。(√)3.方差越小，隨機變量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的實質(zhì)是隨機變量函數(shù)的期望。(√)5.對于任意的X,Y，都有成立。(X)第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1.正態(tài)分布⑴概率密度為其分布函數(shù)為注：.正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性：2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)時，其密度函數(shù)為且其分布函數(shù)為的性質(zhì)：3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理：若則.定理：設(shè)則二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè)則1.期望E(X)2.方差D(X)3.標(biāo)準(zhǔn)差三、正態(tài)分布的性質(zhì)1．線性性.設(shè)則；2．可加性.設(shè)且X和Y相互獨立，則3．線性組合性設(shè)，且相互獨立，則四、中心極限定理1.獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量相互獨立，服從相同的分布，且則對于任何實數(shù)x，有定理解釋：若滿足上述條件，有（1）；；（3）2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)則定理解釋：若當(dāng)n充分大時，有（1）；（2）1.若則（X）2.若則（√）3.設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布：4.已知連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)為則X的數(shù)學(xué)期望為__1____;X的方差為__1/2____.第五章數(shù)理統(tǒng)計的基本知識一、總體個體樣本1.總體：把研究對象的全體稱為總體(或母體).它是一個隨機變量，記X.2.個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.3.樣本：從總體X中，隨機地抽取n個個體,稱為總體X的容量為n的樣本。注：⑴樣本是一個n維的隨機變量；⑵本書中提到的樣本都是指簡單隨機樣本，其滿足2個特性：①代表性：中每一個與總體X有相同的分布.②獨立性：是相互獨立的隨機變量.4.樣本的聯(lián)合分布設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為(2)設(shè)總體X的概率函數(shù)為,則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為二、統(tǒng)計量1.定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量,是的觀測值.注：（1）統(tǒng)計量是隨機變量；（2）統(tǒng)計量不含總體分布中任何未知參數(shù)；（3）統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.2.常用統(tǒng)計量（1）樣本矩：①樣本均值；其觀測值.可用于推斷：總體均值E(X).②樣本方差;其觀測值可用于推斷：總體方差D(X).③樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀測值④樣本k階原點矩其觀測值⑤樣本k階中心矩其觀測值注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值E(X)；樣本方差與總體方差D(X)；樣本k階原點矩與總體k階原點矩；樣本k階中心矩與總體k階原點矩.前者是隨機變量，后者是常數(shù).(2)樣本矩的性質(zhì):設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則

3.抽樣分布：統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.3大抽樣分布 ：定義.設(shè)相互獨立，且，則注：若則（2）性質(zhì)（可加性）設(shè)相互獨立，且則2.t分布：設(shè)X與Y相互獨立,且則注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對稱；當(dāng)n充分大時，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).3.F分布:定義.設(shè)X與Y相互獨立，且則(2)性質(zhì).設(shè)則.四、分位點定義：對于總體X和給定的若存在，使得則稱為X分布的分位點。注：常見分布的分位點表示方法（1）分布的分位點（2）分布的分位點其性質(zhì)：（3）分布的分位點其性質(zhì)（4）N(0,1)分布的分位點有第六章參數(shù)估計一、點估計:設(shè)為來自總體X的樣本，為X中的未知參數(shù)，為樣本值，構(gòu)造某個統(tǒng)計量作為參數(shù)的估計，則稱為的點估計量，為的估計值.2.常用點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法.二、矩估計法1.基本思想:用樣本矩（原點矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩.2.求總體X的分布中包含的m個未知參數(shù)的矩估計步驟：①求出總體矩,即；②用樣本矩代替總體矩，列出矩估計方程：③解上述方程（或方程組）得到的矩估計量為：④的矩估計值為：3.矩估計法的優(yōu)缺點：優(yōu)點：直觀、簡單;只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式.缺點：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計量不具有唯一性；可能估計結(jié)果的精度比其它估計法的低三、最大似然估計法1.直觀想法：在試驗中，事件A的概率P(A)最大,則A出現(xiàn)的可能性就大；如果事件A出現(xiàn)了，我們認為事件A的概率最大.2.定義設(shè)總體X的概率函數(shù)或密度函數(shù)為（或），其中參數(shù)未知，則X的樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度函數(shù)）（或稱為似然函數(shù).3.求最大似然估計的步驟：（1）求似然函數(shù):X離散：X連續(xù)：（2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估計值：（4）最后得到最大似然估計量：4.最大似然估計法是在各種參數(shù)估計方法中比較優(yōu)良的方法，但是它需要知道總體X的分布形式.估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)1.無偏性:設(shè)是未知參數(shù)的估計量，若，則是的無偏估計量，是的無偏估計值。有效性:設(shè)和是未知參數(shù)的無偏估計量，若，則稱比有效。1.若是來自總體X的樣本，則相互獨立.（√）2.不含總體X的任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)就是統(tǒng)計量.(√)3.樣本矩與總體矩是等價的。（X）4.矩估計法的基本思想是用總體矩代替樣本矩，故矩估計量不唯一.(X)設(shè)總體，則估計量分別是的無偏估計量.(X)第7章例題1.量的是B2.量的是D3.樣本BA.B.X-1012P（x）0.20.40.10.3C.D.4.設(shè)是來自任意總體X的一個容量為2的樣本，則在下列總體均值的無偏估計中，最有效的估計量是DA.B.C.D.5.從總體中抽取樣本下面總體均值的估計量中哪一個最有效DA.B.C.D.6.從總體中抽取樣本統(tǒng)計量,中更為有效的是CA.B.C.D.以上均不正確7.設(shè)是取自總體的樣本，已知和都是的無偏估計量，則________更有效8.設(shè)X1，X2，X3，X4是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知，設(shè)有估計量（1）找出其中的無偏估計量；（2）證明較為有效.解(1)由于Xi服從均值為的指數(shù)分布，所以即是的無偏估計量(2)由方差的性質(zhì)知，所以較為有效。9.設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)，如果取得樣本觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計值.解10.設(shè)總體X的概率密度為其中>0，若取得樣本觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計值解11.設(shè)總體的概率密度為,其中為未知參數(shù).如果取得樣本觀測值為,求參數(shù)的最大似然估計值.解:似然函數(shù),,時，,取對數(shù)得,所以單調(diào)增加.由于,即應(yīng)該滿足的最大似然估計值為.12.設(shè)為正態(tài)總體的樣本，樣本均值的觀測值,則未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為A13.設(shè)為正態(tài)總體的樣本，樣本均值的觀測值，則置信度為0.90的置信區(qū)間為B14.某工廠生產(chǎn)滾珠，從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取9個，測得直徑（mm）如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8.設(shè)滾珠直徑～，如果已知直徑標(biāo)準(zhǔn)差（mm），求在置信水平1－=0.95的置信區(qū)間.()解、已知，n=9，，所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為，即（14.81，15.01）15.某廠生產(chǎn)的滾珠直徑，從某天的產(chǎn)品里隨機抽取6個，測得直徑如下：(單位：毫米)14.70、15.21、14.98、14.91、15.32、15.32.如果知道該天產(chǎn)品直徑的方差是0.05，試找出置信度為0.95的直徑平均值的置信區(qū)間.()解、，由置信水