數(shù)學建模講座課件

數(shù)學建模講座玩具、照片…~實物模型風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型什么是數(shù)學模型第一章建立數(shù)學模型你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時20公里航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20公里）。數(shù)學模型

(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)數(shù)學模型:對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。數(shù)學建模：建立數(shù)學模型的全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數(shù)學建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數(shù)學建模計算機技術如虎添翼知識經(jīng)濟建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？1.椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一人點，四腳的連線呈正方形；2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面；3.對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子的任何位置至少有三只腳同時著地。模型假設ABCDtA‘B‘C‘D‘Ox模型構成椅腳連線為正方形ABCD(如右圖)。t~椅子繞中心點O旋轉角度f(t)~A,C兩腳與地面距離之和g(t)~A,C兩腳與地面距離之和

f(t),g(t)

0模型構成由假設1，f和g都是連續(xù)函數(shù)由假設3，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地：對任意t，f(t)和g(t)中至少有一個為0。當t=0時,不妨設g(t)=0,f(t)>0,原題歸結為證明如下的數(shù)學命題：已知f(t)和g(t)是t的連續(xù)函數(shù),對任意t,f(t)?g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。則存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxA‘B‘C‘D‘ABCDt最后，因為f(t)?g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=f(t)-g(t),則h(0)>0和h(

)<0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在t0

（0<t0<

),使h(t0

)=0，即f(t0)=g(t0)。將椅子旋轉90o,對角線AC與BD互換。由g(0)=0,f(0)>0可知g(

)>0,f()=0建模示例商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk+(-1)k~狀態(tài)轉移律求dkD(k=1,2,n),使skS按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策D~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u

,v)u+v=1,2}習題模仿這一案例，作下面一題：人帶著貓、雞、米過河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當人不在場時貓要吃雞、雞要吃米。試設計一安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年1908193319531964198219901995人口(億)34.76710.111.312研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長建模示例如何預報人口的增長指數(shù)增長模型常用的計算公式馬爾薩斯（1788--1834）提出的指數(shù)增長模型(1798)x(t)~時刻t人口r~人口(相對)增長率(常數(shù))今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

專家估計模型檢驗用模型預報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為251.4(百萬)模型應用——人口預報用美國1790~1990年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù)r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析二者結合機理分析建立模型結構,測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學建模的方法和步驟數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想象力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際題目創(chuàng)新意識看誰答得快1、某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時到達山頂并留宿。次日早8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點，為什么？2、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達T市車站，他的妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子像往常一樣駕車前來，在路上遇到他接回家時，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問他步行了多長時間？3、兩兄妹分別在離家2千米和1千米且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4千米/小時和2千米/小時的速度步行回家，一小狗以6千米/小時的速度從哥哥處奔向妹妹，又從妹妹處奔向哥哥，如此往返直至回家中，問小狗奔波了多少路程？

錄象機計數(shù)器的用途問題經(jīng)試驗，一盤錄象帶從頭走到尾，時間用了183分30秒，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄象帶已經(jīng)轉過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4580，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉過時間的關系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？第二章初等模型問題分析錄象機計數(shù)器的工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭主動輪壓輪計數(shù)器錄象帶錄象帶運動方向錄象帶運動右輪盤半徑增大右輪轉速不是常數(shù)錄象帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢觀察

計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！模型假設

錄象帶的運動速度是常數(shù)

v；

計數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作

r

；

時間

t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關系（設V，k，w，r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關系有多種方法1.右輪盤轉第i圈的半徑為r+wi,m圈的總長度等于錄象帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,所以模型建立2.考察右輪盤面積的變化，等于錄象帶厚度乘以轉過的長度，即3.考察t到t+dt錄象帶在右輪盤纏繞的長度，有思考1.3種建模方法得到同一結果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。2.模型中有待定參數(shù)確定參數(shù)的一種辦法是測量或調(diào)查，試設計測量方法。參數(shù)估計確定參數(shù)的另一種方法——測試分析將模型改記作只需估計理論上，已知t=183.5,n=6152,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可；實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合?，F(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n0