數(shù)字電子技術(shù)張瑜慧

數(shù)字電子技術(shù)課件張瑜慧第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三本章內(nèi)容3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三引言DFT是重要的變換1、分析有限長序列的有用工具，在信號處理的理論上有重要意義。2、有相應(yīng)的快速算法（快速傅里葉變換FFT)可在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)其算法。3、在運(yùn)算方法上起核心作用，卷積、相關(guān)、譜分析都可以通過轉(zhuǎn)換成DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三DFT要解決兩個(gè)問題： 一是頻譜的離散化； 二是算法的快速計(jì)算(FFT)。這兩個(gè)問題都是為了使計(jì)算機(jī)能夠?qū)崟r(shí)處理信號。引言第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三時(shí)域周期化→頻域離散化時(shí)域離散化→頻域周期化離散連續(xù)周期性非周期性引言第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三序列的傅里葉變換離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅立葉變換（序列的傅立葉變換）x(n)-1012t

時(shí)域離散、非周期頻域連續(xù)、周期連續(xù)：不適合計(jì)算機(jī)處理第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三由DTFT到DFT離散時(shí)間、離散頻率的傅立葉變換（DFT）由上述分析可知，對DTFT，要想在頻域上離散化，那么在時(shí)域上必須作周期延拓。對長度為M的有限長序列x(n)，以N為周期延拓（N≥M）。

注意：離散傅里葉變換（DFT）只對有限長序列作周期延拓或周期序列成立。第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三…………第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義一、DFT的定義設(shè)x(n)是一個(gè)長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例1、已知，分別求8和16點(diǎn)DFT解：頻率采樣點(diǎn)數(shù)不同，DFT的長度不同，DFT的結(jié)果也不同。第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

1、求模（余數(shù)）運(yùn)算如果整數(shù)則稱n1是n對N的模（余數(shù)），記作：或n模N等于n175二、DFT的隱含周期性第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2、有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列?；蚨?、DFT的隱含周期性第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三如：nN-1x(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。二、DFT的隱含周期性第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。3、頻域周期序列與有限長序列X(k)的關(guān)系二、DFT的隱含周期性第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三這里的周期延拓僅看作數(shù)學(xué)處理方法，或者說借助時(shí)域周期延拓實(shí)現(xiàn)有限長序列頻譜的離散化。在DFT中，有限長序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的，總是隱含周期性。二、DFT的隱含周期性第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

若x(n)是一個(gè)有限長序列，長度為N即

三、DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系

比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)時(shí)第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三DFT與Z變換的關(guān)系所以X(k)也就是對X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值。第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系

若x(n)是一個(gè)有限長序列，長度為N第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為ωN=2π/NDFT與序列傅里葉變換的關(guān)系第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3.2DFT的基本性質(zhì)一、線性1、如果兩序列都是N點(diǎn)的有限長序列時(shí)，且有

則有：2.和的長度N1和N2不等時(shí)，怎辦？

選擇為變換長度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二、循環(huán)移位性質(zhì)1、序列的循環(huán)移位（圓周移位）定義：一個(gè)有限長序列的圓周移位定義為

第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三n0N-1n0周期延拓N-1循環(huán)移位第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三循環(huán)移位第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2、循環(huán)移位的含義（1）主值區(qū)間:n=0～N-1；

（3）如果把x(n)首尾排列(n=0~N-1)在一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故又稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到的就是周期序列

（2）當(dāng)某序列值從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同的序列值又從此區(qū)間的另一端移進(jìn)來;循環(huán)移位第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三時(shí)域圓周移位的性質(zhì)3、時(shí)域圓周移位的性質(zhì)第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三頻域圓周移位的性質(zhì)4、頻域圓周移位的性質(zhì)（調(diào)制特性）

或：

時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1、兩個(gè)有限長序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為其中L為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max(N，M)表示方法:或三、循環(huán)卷積定理L*第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2、循環(huán)卷積的計(jì)算方法——矩陣相乘x(n)序列:{x(0),x(1),x(2)…,x(L－1)}x(n)的循環(huán)倒相序列：令n=0,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列為

循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三令n=1,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列為該序列相當(dāng)于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移1位。再令n=2,m=0,1,…,L－1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時(shí)，得到一個(gè)關(guān)于x((n－m))L的矩陣如下：

循環(huán)卷積的計(jì)算方法第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三循環(huán)卷積矩陣：循環(huán)卷積的計(jì)算方法第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三說明：1、如果x(n)或h(n)的長度小于L，則需要在序列末尾補(bǔ)0，使序列長度為L。2、循環(huán)卷積滿足交換律。循環(huán)卷積的計(jì)算方法第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

例2、計(jì)算下面給出的兩個(gè)長度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。解:h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為循環(huán)卷積的計(jì)算方法第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為循環(huán)卷積的計(jì)算方法第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三、循環(huán)卷積定理2、時(shí)域循環(huán)卷積定理設(shè)和為長度分別為N1和N2的有限長序列，N≥max（N1,N2）且，則N第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3、頻域循環(huán)卷積定理設(shè)和均為長度分別為N1和N2的有限長序列，N≥max（N1,N2）且，則三、循環(huán)卷積定理N第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例3、一個(gè)有限長序列為

（1）計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT求序列y(n)

綜合例題第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

（2）X(k)乘以WNkm相當(dāng)于是x(n)循環(huán)移位m點(diǎn)。本題中m=-2,x(n)向左循環(huán)移位了2點(diǎn)，則y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)

（3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的循環(huán)卷積。結(jié)果為｛3,3,1,1,1,3,3,2,2,2｝

綜合例題第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三四、復(fù)共軛序列的DFT證明：第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三五、DFT的共軛對稱性序列的傅里葉變換的共軛對稱性，其對稱性是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱性。共軛對稱：共軛反對稱：在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長序列，且定義區(qū)間為0到N－1，所以，這里的對稱性是指關(guān)于N/2點(diǎn)的對稱性。第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1．有限長共軛對稱序列2．有限長共軛反對稱序列五、DFT的共軛對稱性第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3、任意有限長序列都可以表示成一個(gè)共軛對稱分量和一個(gè)共軛反對稱分量之和，即五、DFT的共軛對稱性第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三同理，對于頻域函數(shù)X(k)也可以表示成一個(gè)共軛對稱分量和一個(gè)共軛反對稱分量之和，即五、DFT的共軛對稱性第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三4、DFT的共軛對稱性有限長序列實(shí)部的DFT等于序列DFT的共軛對稱分量；有限長序列虛部乘j后的DFT等于序列DFT的共軛反對稱分量。（1）將序列分成實(shí)部和虛部的形式五、DFT的共軛對稱性第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三（2）將序列表示成共軛對稱分量和共軛反對稱分量有限長序列共軛對稱分量的DFT等于序列DFT的實(shí)部；有限長序列共軛反對稱分量的DFT等于序列DFT的虛部乘j。五、DFT的共軛對稱性第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三實(shí)際中經(jīng)常需要對實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。（1）若x(n)是實(shí)序列，則X(k)只有共軛對稱分量，即滿足X(k)=X*(N-k)k=0,1,…,N-1（2）若x(n)是純虛序列，則X(k)只有共軛反對稱分量，即滿足X(k)=-X*(N-k)k=0,1,…,N-15、其他共軛對稱性五、DFT的共軛對稱性第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三(3)如果x(n)是實(shí)偶序列，即x(n)=x(N－n)，則X(k)是實(shí)偶對稱，即

X(k)=X(N－k)

(4)如果x(n)是實(shí)奇序列，即x(n)=－x(N－n)，則X(k)純虛奇對稱，即

X(k)=－X(N－k)五、DFT的共軛對稱性第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例4、利用DFT的共軛對稱性，設(shè)計(jì)一種高效算法，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，就可以計(jì)算出兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。解：構(gòu)造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對x(n)進(jìn)行DFT，得到：五、DFT的共軛對稱性第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三所以，由X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT：五、DFT的共軛對稱性第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3.3頻率域采樣頻域采樣定理：如果序列x(n)的長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，才有即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3.4DFT的應(yīng)用舉例一、循環(huán)卷積的DFT計(jì)算方法

第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三用DFT計(jì)算循環(huán)卷積的原理框圖3.4DFT的應(yīng)用舉例第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二、線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系

1、線性卷積

它們線性卷積為下面推理線性卷積的非零值范圍。第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:下面兩個(gè)有限長序列的線性卷積非零值區(qū)間為n=0～5，非零值為[1,2,3,3,2,1]。1012n1012n3線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2、用圓周卷積計(jì)算線性卷積圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列取主值序列。先將2個(gè)序列都補(bǔ)零成L點(diǎn)的序列，然后再對它們進(jìn)行周期延拓，即線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

由于有個(gè)非零值,所以周期L必須滿足:

又由于循環(huán)卷積是周期卷積的主值序列，所以循環(huán)卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列，即：循環(huán)卷積為線性卷積的周期延拓，其周期為L。線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三已知x1(n)={1,1,1,1}，x2(n)={1,1,1,1,1}，求x1(n)*x2(n),并分別求x1(n)與x2(n)的6點(diǎn)、8點(diǎn)及10點(diǎn)循環(huán)卷積。線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三課堂練習(xí)1、已知y(n)=x(n)*h(n)，x(n)和h(n)的長度分別為M和N。x(n)和h(n)的L點(diǎn)