數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之的近似計(jì)算

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之的近似計(jì)算第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三在本次試驗(yàn)中，我們將追溯關(guān)于圓周率的計(jì)算歷程。通過(guò)對(duì)割圓術(shù)、韋達(dá)公式、級(jí)數(shù)加速法、迭代法等計(jì)算方法的介紹和計(jì)算體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的發(fā)展過(guò)程，提高對(duì)極限和級(jí)數(shù)收斂性及收斂速度的綜合認(rèn)識(shí)，同時(shí)使我們看到數(shù)學(xué)家對(duì)科學(xué)真理的永無(wú)止境的追求。實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹黜?yè)上一頁(yè)下一頁(yè)第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三主要內(nèi)容四、利用級(jí)數(shù)計(jì)算二、韋達(dá)(VieTa)公式三、數(shù)值積分方法一、割圓術(shù)六、拉馬努金(Ramanujan)公式五、蒙特卡羅(MonteCarlo)法第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)

π是使人們最經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)常數(shù)。人們對(duì)π的研究已經(jīng)持續(xù)了2500多年。在今天，這種探索還在繼續(xù)……2023/6/10第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三世界上數(shù)學(xué)家們一致公認(rèn)：“歷史上一個(gè)國(guó)家計(jì)算圓周率的準(zhǔn)確度，可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)水平的一個(gè)標(biāo)志。”實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)2023/6/10第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三π值——算法美的追求

π作為圓周率的符號(hào)，是由著名數(shù)學(xué)家Euler于公元1737年首先使用的。古代的希伯來(lái)人，在描述所羅門廟宇中的“熔池”時(shí)曾經(jīng)這樣寫道：“池為圓形，對(duì)徑為十腕尺，池高為五腕尺，其周長(zhǎng)為三十腕尺?！笨梢?jiàn)，古希伯來(lái)人認(rèn)為圓周率等于3。不過(guò)，那時(shí)的建筑師們，似乎沒(méi)有人不明白，圓周長(zhǎng)與直徑的比要比3大一些。公元前3世紀(jì)古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德求出了223/71<π

<22/7。2023/6/10第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三“割圓術(shù)”中學(xué)問(wèn)多我國(guó)2000多年前的《周髀算經(jīng)》稱“周三徑一”，這是π的第一個(gè)近似值，叫做“古率”。據(jù)說(shuō)，漢代大科學(xué)家、文學(xué)家張衡，有“圓周率一十之面”的推算。清代李潢考證這句話意思為π≈sqrt(10)。魏晉間劉徽由圓內(nèi)接正六邊形依次倍增到正192邊形，計(jì)算周長(zhǎng)與直徑之比，得3.141024<π<3.142704實(shí)際應(yīng)用時(shí)取3.14，或分?jǐn)?shù)值157/50。2023/6/10第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三“割圓術(shù)”中學(xué)問(wèn)多他的割圓術(shù)已含有無(wú)限逼近的極限思想，這是比求π值更可寶貴的。從方法上說(shuō)，他得到了重要的“劉徽不等式”。

設(shè)單位圓內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)為an，圓內(nèi)接正n邊形的面積為Sn。根據(jù)勾股定理，邊長(zhǎng)有如下遞推公式：2023/6/10第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三“割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割，則與圓合體而無(wú)所失矣。”面積與邊長(zhǎng)有如下關(guān)系：圓面積S與多邊形的面積Sn之間有如下關(guān)系：2023/6/10第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三劉徽不等式借助于計(jì)算機(jī)來(lái)完成劉徽的工作：a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;fori=2:6a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));b(i)=3*2^(i-2)*a(i);c(i)=2*b(i)-b(i-1);endn=[3,6,12,24,48,96];size(b)result=[n;a;b;c]result’2023/6/10第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三劉徽不等式ans=3.00001.73212.598106.00001.00003.00003.401912.00000.51763.10583.211724.00000.26113.13263.159448.00000.13083.13943.146196.00000.06543.14103.14272023/6/10第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三割圓術(shù)的意義劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，其意義不僅在于計(jì)算出了Pi的近似值，而且還在于提供了一種研究數(shù)學(xué)的方法。這種方法相當(dāng)于今天的“求積分”，后者經(jīng)16世紀(jì)英國(guó)的牛頓和德國(guó)的萊布尼茨作系統(tǒng)總結(jié)而得名。鑒于劉徽的巨大貢獻(xiàn)，所以不少書上把他稱做“中國(guó)數(shù)學(xué)史上的牛頓”，并把他所創(chuàng)造的割圓術(shù)稱為“徽術(shù)”。2023/6/10第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三韋達(dá)（VieTa）公式

1593年，韋達(dá)首次給出了計(jì)算Pi的精確表達(dá)式：韋達(dá)公式看起來(lái)有些神秘，其實(shí)它的導(dǎo)出過(guò)程所用的都是樸實(shí)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方法。2023/6/10第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三韋達(dá)（VieTa）公式1、從sint開始2023/6/10第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三韋達(dá)（VieTa）公式所以，對(duì)任意N，總有2023/6/10第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三韋達(dá)（VieTa）公式2、從cos(pi/4)開始2023/6/10第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三韋達(dá)（VieTa）公式3、使用VieTa公式計(jì)算Pi的近似值思考：如何利用韋達(dá)公式構(gòu)造出一種迭代算法？2023/6/10第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)值積分法計(jì)算Pi定積分計(jì)算出這個(gè)積分的數(shù)值，也就得到了Pi的值。2023/6/10第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)值積分法計(jì)算Pi1、梯形公式2023/6/10第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)值積分法計(jì)算Pi2、辛普森（Simpson）公式2023/6/10第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi1、萊布尼茨級(jí)數(shù)（1674年發(fā)現(xiàn)）2023/6/10第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi

1844年，數(shù)學(xué)家達(dá)什在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的情況下利用此式算出了Pi的前200位小數(shù)。使用誤差估計(jì)式計(jì)算一下要精確到Pi的200位小數(shù)需要取級(jí)數(shù)的多少項(xiàng)？2023/6/10第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi2、歐拉的兩個(gè)級(jí)數(shù)（1748年發(fā)現(xiàn)）這兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂也非常緩慢，計(jì)算時(shí)實(shí)用價(jià)值不大。2023/6/10第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi3、基于arctanx的級(jí)數(shù)對(duì)泰勒級(jí)數(shù)即為萊布尼茨級(jí)數(shù)，直接使用時(shí)收斂速度極慢，必須考慮加速算法。2023/6/10第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi觀察級(jí)數(shù)可知，x的值越接近于0，級(jí)數(shù)收斂越快。由此可以考慮令2023/6/10第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi因此，β＝4α－pi/4非常接近0。2023/6/10第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三利用級(jí)數(shù)計(jì)算Pi加速效果非常明顯！2023/6/10第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三蒙特卡羅（MonteCarlo）法單位圓的面積等于Pi，使用蒙特卡羅法，即用隨機(jī)投點(diǎn)的方法來(lái)求出這個(gè)面積Pi的近似值。具體方法如下：在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)(0,0)，A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)為四個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)正方形，其面積S＝1。以原點(diǎn)O為圓心的單位圓在這個(gè)正方形內(nèi)的部分是圓心角為直角的扇形，面積為S1＝Pi/4。2023/6/10第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三蒙特卡羅（MonteCarlo）法在這個(gè)正方形內(nèi)隨機(jī)地投入n個(gè)點(diǎn)，設(shè)其中有m個(gè)點(diǎn)落在單位扇形內(nèi)。則想隨機(jī)投點(diǎn)如何來(lái)實(shí)現(xiàn)？2023/6/10第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三蒲豐（Buffon）擲針實(shí)驗(yàn)另一種用蒙特卡羅法來(lái)計(jì)算Pi的方法是1777年法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐（Buffon）提出的隨機(jī)擲針實(shí)驗(yàn)。其步驟如下：（1）取一張白紙，在上面畫出許多間距為d的等距平行線。（2）取一根長(zhǎng)度為的均勻直針，隨機(jī)地向畫有平行線的紙上擲去，一共擲n次。觀察針和直線相交的次數(shù)m。2023/6/10第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三蒲豐（Buffon）擲針實(shí)驗(yàn)（3）由幾何概率知道針和直線相交的概率為，取m/n為p的近似值，則特別取針的長(zhǎng)度時(shí)，π=n/m。2023/6/10第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三拉馬努金（Ramanujan)公式目前，計(jì)算pi的一個(gè)極其有效的公式為這個(gè)級(jí)數(shù)收斂得非常快，級(jí)數(shù)每增加一項(xiàng)，可提高大約8位小數(shù)的精度。2023/6/10第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三拉馬努金（Ramanujan)公式

1985年，數(shù)學(xué)家比爾.高斯帕依使用這個(gè)公式在計(jì)算機(jī)上算出了pi的1750萬(wàn)位小數(shù)。這個(gè)神奇的公式歸功于印度年輕的傳奇數(shù)學(xué)家拉馬努金(Ramanujan,1887-1929).2023/6/10第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三拉馬努金（Ramanujan)公式另一個(gè)經(jīng)過(guò)改進(jìn)的計(jì)算公式為：級(jí)數(shù)每增加一項(xiàng)，可提高14位小數(shù)的精度。2023/6/10第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三迭代公式迭代公式1：1989年，BorWein發(fā)現(xiàn)了下列收斂于1/pi的迭代公式：2023/6/10第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三迭代公式迭代誤差可以由下式估計(jì)迭代4次可精確到693位小數(shù)！8次后可以保證精確到小數(shù)點(diǎn)178814位?。?！2023/6/10第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三迭代公式迭代公式2：

1996年，Baiey發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)收斂于1/pi的迭代公式：2023/6/10第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三迭代公式迭代誤差可以由下式估計(jì)2023/6/10第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三結(jié)束語(yǔ)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展計(jì)算方法的突破與創(chuàng)新，計(jì)算Pi的世界紀(jì)錄正在迅速地被刷新。目前，Pi的數(shù)值已計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后2061.5843億位。這一記錄是日本東京大學(xué)教授金田康正和他的助手于1999年9月創(chuàng)造的。計(jì)算用了37h21min，檢驗(yàn)用了46h7min.雖然這樣高的精確度已經(jīng)沒(méi)有太多的實(shí)際意義。但這反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的日新月異，反映了人類智慧向極限的挑戰(zhàn)。2023/6/10第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三圓周率的探索者們

Archimedes(BC287-BC212)祖沖之(430-501)

2023/6/10第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三LudolphvanCeulen(1540-1610)

JohnMachin(1680-1751)

2023/6/10第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三JohannHeinrichLambert(1728-1777)

Adrien-MarieLegendre(1752-1833)

2023/6/10第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三JohannCarlFriedrichGauss(1777-1855)2023/6/10第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三CarlLouisFerdinandvonLindemann(1852-1939)

SrinivasaRamanujan(1887-1920)

2023/6/10第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三ENIAC(1946)2023/6/10第四十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三創(chuàng)造者小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)所用方法

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前2000古埃及人0

前1200中國(guó)0

前500《圣經(jīng)》0（周三徑一）

前250阿基米德3

263劉徽5古典割圓術(shù)

480祖沖之7

1429Al-Kashi14

1593Romanus15

1596魯?shù)婪?0古典割圓術(shù)

1609魯?shù)婪?5

1699夏普71夏普無(wú)窮級(jí)數(shù)

1706馬青100馬青公式

1719德·拉尼[法]127(112位正確)夏普無(wú)窮級(jí)數(shù)

1794喬治·威加[奧地利]140歐拉公式

1824威廉·盧瑟福[英]208(152位正確)勒讓德公式

1844Strassnitzky&Dase200

1847Clausen248

1853Lehmann261

1853Rutherford440

1874威廉·山克斯707(527位正確)

2023/6/10第四十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三20世紀(jì)后

年月紀(jì)錄創(chuàng)造者所用機(jī)器小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)

1946弗格森[英]620

19471弗格森[英]710

19479Ferguson&Wrench808

1949Smith&Wrench1,120

1949ReitwiesneretalENIAC2,037

1954Nicholson&JeenelNORC3,092

1957FeltonPegasus7,480

19581GenuysIBM70410,000

19585FeltonPegasus10,021

1959GuilloudIBM70416,167

1961Shanks&WrenchIBM7090100,265

1966Guilloud&FilliatreIBM7030250,000

1967Guilloud&DichamptCDC6600500,000

1973Guilloud&BouyerCDC76001,001,250

1981Miyoshi&KanadaFACOMM-2002,000,036

1982Guilloud2,000,050

1982TamuraMELCOM900II2,097,144

1982Tamura&KanadaHITACHIM-280H4,194,288

1982Tamura&KanadaHITACHIM-280H8,388,576

1983Kanada,Yoshino&TamuraHITACHIM-280H16,777,206

198510GosperSymbolics367017,526,200

2023/6/10第四十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期三19861BaileyCRAY-229,360,111

19869Kanada&TamuraHITACHIS-810/2033,554,414

198610Kanada&TamuraHITACHIS-810/2067,108,839

19871Kanada,