數(shù)學(xué)建模題目

數(shù)學(xué)建模題目第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.2

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三1.3

數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三

近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三真是月亮惹的禍嗎?第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三三國人物：誰是天下第一？第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化一、最小生成樹問題二、最短路問題第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三哥尼斯堡七橋問題CADB抽象為圖的問題：圖G(V,E)能經(jīng)過每條邊恰好一次回到原點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)與偶數(shù)條邊相關(guān)聯(lián)圖G(V,E)Fleury算法網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化及實(shí)例從某點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過圖上每條邊恰好一次回到原點(diǎn)—Euler環(huán)游圖G(V,E)有Euler環(huán)游圖G(V,E)無奇點(diǎn)第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例：中國郵遞員問題(CPP-ChinesePostmanProblem)一名郵遞員負(fù)責(zé)投遞某個(gè)街區(qū)的郵件.如何設(shè)計(jì)一條最短的投遞路線(從郵局出發(fā)，經(jīng)過投遞區(qū)內(nèi)每條街道至少一次，最后返回郵局)？由于這一問題是我國學(xué)者管梅谷教授1960年首先提出的，所以國際上稱之為中國郵遞員問題.給定一個(gè)圖，問是否存在點(diǎn)不重的環(huán)游？例：1973年，John和Edmonds結(jié)合Fleury算法給出好算法第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三圖與網(wǎng)路的基本概念6.1.1圖與網(wǎng)路頂點(diǎn)(Vertex)物理實(shí)體、事物、概念一般用vi

表示邊(Edge)頂點(diǎn)間的連線，表示有關(guān)聯(lián)一般用eij

表示圖(Graph)頂點(diǎn)和邊的集合一般用G(V,E)表示頂點(diǎn)集V={v1,v2,…,vn}邊集E={eij}網(wǎng)路(Network)邊上具有表示連接強(qiáng)度的權(quán)值，如wij又稱加權(quán)圖(Weightedgraph)第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三所有邊都沒有方向的圖稱為無向圖在無向圖中eij=eji，或(vi,vj)=(vj,vi)當(dāng)所有邊都有方向時(shí)，稱為有向圖，用G(V,A)表示在有向圖中，有向邊又稱為弧，用aij表示，i,j的順序是不能顛倒的，圖中弧的方向用箭頭標(biāo)識(shí)圖中既有邊又有弧，稱為混合圖無向圖與有向圖第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三返回完備圖

二元圖

完備二元圖

第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三頂點(diǎn)的次數(shù)第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例在一次聚會(huì)中，認(rèn)識(shí)奇數(shù)個(gè)人的人數(shù)一定是偶數(shù)。返回第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三子圖返回第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三關(guān)聯(lián)矩陣注：假設(shè)圖為簡單圖返回第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三鄰接矩陣注：假設(shè)圖為簡單圖第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三返回第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)球隊(duì)比賽情況。v5v1v3v4v2v1v2v3v4v5v5v1v3v4v2第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三某單位儲(chǔ)存八種化學(xué)藥品，其中某些藥品不能存放在同一個(gè)倉庫，考慮所需最少倉庫數(shù)v5v1v2v3v4v6v7v8至少四個(gè)庫房：1，2，5，8任意兩個(gè)不能同存1，3，4，7258，6第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三邊與頂點(diǎn)均不重復(fù)的通路稱為路徑路：vi1vi2vin-2……vin-1vinvi3vij≠vik,j≠k……路徑第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三返回第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三無圈連通圖v1v2v3v4v5v6v7v8v1v2v3v4v5v6v7v8v1v2v3v4v5v6v7v8樹：G的生成樹(spanningtree):T(V,E’)是圖G(V,E)的子圖,且是一棵樹最小生成樹:T(V,E’)是圖G(V,E)所有生成樹中權(quán)重最小的一棵第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三樹圖與最小生成樹一般研究無向圖樹圖：倒置的樹，根(root)在上，樹葉(leaf)在下多級(jí)輻射制的電信網(wǎng)絡(luò)、管理的指標(biāo)體系、家譜、分類學(xué)、組織結(jié)構(gòu)等都是典型的樹圖第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例在五個(gè)村莊之間修路，使任一村莊可到其余各村莊。已知各村莊間修路所需費(fèi)用如下圖，考慮費(fèi)用最省方案。v5v1v2v3v450153010301025204050(萬元)123451∞5030402525010104403010∞20525501020∞問題即為求對(duì)應(yīng)圖的最小生成樹第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三最小生成樹求解方法：避圈法；破圈法避圈法v2v3v4501530103010252040501234v1v5v1v2v3v415101025權(quán)重為60最小生成樹為：v5Kruskal算法第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三v2v3v450153010301025204050v1v5635421權(quán)重為60最小生成樹為：破圈法v5v1v2v3v415101025第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三權(quán)矩陣v1v2

v3v4v5v1

∞50304025v250∞153050v33015∞1010v4403010∞20v525501020∞(wij)=第1列叉,第1行最小圈.圈列叉第1，5行最小圈.圈列叉v1v2

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∞50304025v250∞153050v33015∞1010v4403010∞20v525501020∞第1,4,5行最小圈.圈列叉v525v1v525v1v310第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三權(quán)矩陣v1v2

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∞50304025v250∞153050v33015∞1010v4403010∞20v525501020∞(wij)=第1列叉,第1行最小圈.圈列叉第1，5行最小圈.圈列叉v1v2

v3v4v5v1

∞50304025v250∞153050v33015∞1010v4403010∞20v525501020∞第1,4,5行最小圈.圈列叉v1v2

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∞50304025v250∞153050v33015∞1010v4403010∞20v525501020∞第1,3,4,5行最小圈.圈列叉v1v2

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∞50304025v250∞153050v33015∞1010v4403010∞20v525501020∞v5v1v2v3v415101025v525v1v525v1v310v5v1v4101025v3第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三一、問題的提法及應(yīng)用背景

（1）問題的提法——尋求網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間的最短路就是尋求連接這兩個(gè)點(diǎn)的邊的總權(quán)數(shù)為最小的通路。（2）應(yīng)用背景——管道鋪設(shè)、線路安排、廠區(qū)布局、設(shè)備更新等。最短路問題(非負(fù)權(quán))第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三二、最短路算法：

1．D氏標(biāo)號(hào)法（Dijkstra）（1）求解思路——從始點(diǎn)出發(fā)，逐步順序地向外探尋，每向外延伸一步都要求是最短的。

（2）使用條件——網(wǎng)絡(luò)中所有的弧權(quán)均

非負(fù)，即。第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三最短路問題(非負(fù)權(quán))例有五個(gè)位置，其間的路都是單行道。具體方向及距離見下圖。求由位置1到其他各個(gè)位置怎么走路途最短。v5v1v2v3v4244310121轉(zhuǎn)化為求v1到其他所有頂點(diǎn)的最短路權(quán)矩陣v1v2

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∞11054v2∞∞∞∞4v3∞3∞∞2v4∞∞2∞∞v5∞∞∞1∞(wij)=5第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三v1v2

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∞11054v2∞∞∞∞4v3∞3∞∞2v4∞∞2∞∞v5∞∞∞1∞(wij)=第1列叉,第1行最小圈.圈列叉1v1v2

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∞11054v2∞∞∞∞5v3∞3∞∞2v4∞∞2∞∞v5∞∞∞1∞1對(duì)應(yīng)行加1,第1,2行最小圈,圈列叉4對(duì)應(yīng)行加4,第1,2,5行最小圈,圈列叉v1v2

v3v4v5v1

∞11054v2∞∞∞∞5v3∞3∞∞2v4∞∞2∞∞v5∞∞∞5∞145對(duì)應(yīng)行加5,第1,2,4,5行最小圈,圈列叉v1v2

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∞11054v2∞∞∞∞5v3∞3∞∞2v4∞∞7∞∞v5∞∞∞5∞1457第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三可化為最短路問題的多階段決策問題第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三返回第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三

選址問題--中心問題第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三S(v1)=10,S(v2)=7,S(v3)=6,S(v4)=8.5,S(v5)=7,S(v6)=7,S(v7)=8.5S(v3)=6,故應(yīng)將消防站設(shè)在v3處。返回第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三

選址問題--重心問題返回第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三e3v1v2v3v4e1e2e4e5e6歐拉圖e3v1v2v3v4e1e2e4e5環(huán)游

：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3e5v1歐拉道路：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3歐拉環(huán)游：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3e6v1第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三圖G(V,E)有Euler環(huán)游充要條件是圖G(V,E)無奇點(diǎn)

Fleury算法-基本思想：從任一點(diǎn)出發(fā)，每當(dāng)訪問一條邊時(shí)，先要進(jìn)行檢查．如果可供訪問的邊不只一條，則應(yīng)選一條不是未訪問的邊集的導(dǎo)出子圖的割邊作為訪問邊，直到?jīng)]有邊可選擇為止.割邊的定義：設(shè)G連通，eE(G),若從G中刪除邊e后，圖G-{e}不連通，則稱邊e為圖G的割邊．V7e3v1v2v3v4e1e2e4e5V5V6e6e7e8e9割邊G的邊e是割邊的充要條件是e不含在G的圈中．第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三V7e3v1v2v3v4e1e2e4e5V5V6e6e7e8e9e10第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三中國郵遞員問題-算法若