振動力學(xué)與結(jié)構(gòu)動力學(xué)第二章

振動力學(xué)與結(jié)構(gòu)動力學(xué)第二章第一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三一.運動方程及其解mEIl令二階線性齊次常微分方程其通解為由初始條件可得令其中第二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止初始條件的說明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能第三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三二、單自由度系統(tǒng)的動力特性周期：園頻率：工程頻率：與外界無關(guān),體系本身固有的特性與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系A(chǔ)、v不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)

第四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三

例:圖示剛架其橫梁的剛度為無限大，柱子的抗彎剛度，梁的質(zhì)量m=5000kg，不計柱子的軸向變形和阻尼，試計算此剛架的自振頻率。思考題：剛架如何振動？關(guān)鍵是求側(cè)移勁度。第五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三求圖示系統(tǒng)的固有頻率（a）彈簧串聯(lián)情況；（b）彈簧并聯(lián)情況。(a)串聯(lián)情況思考題：串聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個彈簧系統(tǒng)相比有何變化？第六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三(b)并聯(lián)情況思考題：并聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個彈簧系統(tǒng)相比有何變化？第七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三

例：簡支梁AB，重量不計。在梁的中點位置放一重為W的物體M時，其靜撓度為yst?，F(xiàn)將物體M從高度h處自由釋放，落到梁的中點處，求該系統(tǒng)振動的規(guī)律。當(dāng)物體落到梁上后，梁、物體系統(tǒng)作簡諧振動，只要定出簡諧振動的三個參數(shù)：圓頻率、振幅和初相角即可。第八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三2.算例例一.求圖示體系的自振頻率和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:第十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例二.求圖示體系的自振頻率和周期.=1解:mEIllm/2EIEIll例三.質(zhì)點重W,求體系的頻率和周期.解:EIkl1k第十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例三：提升機系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力Wv第十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置則t=0時，有：振動解：W靜平衡位置kxWv第十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：動張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度Wv第十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例：圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置扭振固有頻率為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由牛頓第二定律：第十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動與直線振動的數(shù)學(xué)描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的0mx靜平衡位置彈簧原長位置第十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大0mx靜平衡位置彈簧原長位置第十七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例：復(fù)擺剛體質(zhì)量m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量重心C

求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率a0C第十八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：由牛頓定律：因為微振動：則有：固有頻率：實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：a0C第十九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零求：系統(tǒng)的運動方程m300重力加速度取9.8m/s2第二十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系振動固有頻率：振動初始條件：考慮方向初始速度：運動方程：m300第二十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三能量法（補充）對于不計阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機械能守恒，即動能T和勢能V之和保持不變，即：或：第二十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三彈簧質(zhì)量系統(tǒng)動能：勢能：（重力勢能）（彈性勢能）不可能恒為00mx靜平衡位置彈簧原長位置零勢能點第二十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三如果將坐標(biāo)原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置動能：勢能：設(shè)新坐標(biāo)0mx零勢能點y靜平衡位置彈簧原長如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標(biāo)原點取在靜平衡位置上，方程中就不會出現(xiàn)重力項第二十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動能達(dá)到最大最大位移位置，系統(tǒng)動能為零，勢能達(dá)到最大對于轉(zhuǎn)動：x是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置xmax0mx第二十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例：如圖所示是一個倒置的擺擺球質(zhì)量m剛桿質(zhì)量忽略每個彈簧的剛度求:(1)倒擺作微幅振動時的固有頻率(2)擺球時，測得頻率為，時，測得頻率為，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？lmak/2k/2第二十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解法1：廣義坐標(biāo)動能勢能零勢能位置1零勢能位置1lmak/2k/2第二十七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解法2：零勢能位置2動能勢能零勢能位置2lmak/2k/2第二十八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三瑞利法－利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上限mkx0－這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高第二十九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動能:系統(tǒng)最大動能：系統(tǒng)最大勢能：若忽略，則增大彈簧等效質(zhì)量mtmkx0因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實際值的上限第三十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式：當(dāng)、分別取最大值時：則可得出：Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等第三十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三動能勢能零勢能位置1lmak/2k/2第三十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、有阻尼自由振動的解特征方程的根：1、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動的最小阻尼第三十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三2、超阻尼情況

體系仍不作振動，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，上式也不含簡諧振動因子，由于大阻尼作用，受干擾后，偏離平衡位置體系不會產(chǎn)生振動，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振動。第三十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三3、負(fù)阻尼情況<0或c<0

阻尼本來是耗散能量的，負(fù)阻尼表示在系統(tǒng)振動過程中不僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運動是不穩(wěn)定的，其振幅將會愈來愈大，直至系統(tǒng)破壞。4、低阻尼或小阻尼情況<1或c<2m第三十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三考慮阻尼使得結(jié)構(gòu)的自振頻率略有減小，亦即使系統(tǒng)的自振周期稍有增大。阻尼影響使振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。結(jié)構(gòu)實際量測表明，對于一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)的阻尼比在0.05左右，拱壩在0.03-0.05，重力壩包括大頭壩在0.05-0.10,土壩、堆石壩在0.10-0.20之間。強震時，還會增加一些，但其值也是不大的。即使取0.02代入求得的頻率與不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實際工程結(jié)構(gòu)動力計算時不計阻尼的影響。第三十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三

不同阻尼比對自由振動幅值的影響第三十七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三tx(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生第三十八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三等效粘性阻尼(補充）－阻尼在所有振動系統(tǒng)中是客觀存在的－大多數(shù)阻尼是非粘性阻尼，其性質(zhì)各不相同－非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜－處理方法之一：采用能量方法將非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼原則：等效粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量等于要簡化的非粘性阻尼在同一周期內(nèi)消耗的能量第三十九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三－通常假設(shè)在簡諧激振力作用下非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然為簡諧振動－該假設(shè)只有在非粘性阻尼比較小時才是合理的－粘性阻尼在一個周期內(nèi)消耗的能量可近似地利用無阻尼振動規(guī)律計算出：目的是為了采用該式計算等效粘性阻尼系數(shù)－討論以下幾種非粘性阻尼情況：干摩擦阻尼平方阻尼結(jié)構(gòu)阻尼第四十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三（1）干摩擦阻尼庫侖阻尼摩擦力：：摩擦系數(shù)：正壓力：符號函數(shù)摩擦力一個周期內(nèi)所消耗的能量：等效粘性阻尼系數(shù)：第四十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三（2）平方阻尼工程背景：低粘度流體中以較大速度運動的物體：阻力系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：阻尼力與相對速度的平方成正比，方向相反摩擦力：在運動方向不變的半個周期內(nèi)計算耗散能量，再乘2：第四十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三（3）結(jié)構(gòu)阻尼由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱為結(jié)構(gòu)阻尼：比例系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：特征：應(yīng)力－應(yīng)變曲線存在滯回曲線內(nèi)摩擦所耗散的能量等于滯回環(huán)所圍的面積：加載和卸載沿不同曲線應(yīng)變應(yīng)力加載卸載0第四十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三二、阻尼的量測小阻尼解答經(jīng)過三角轉(zhuǎn)換可寫成可以根據(jù)自由振動衰減曲線確定阻尼比?？紤]兩相鄰幅值，在ti時刻，yi=Ae-ti;在ti+Td時刻，yi+1=Ae-(ti+Td),定義自然對數(shù)遞減率y第四十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三自由振動衰減曲線第四十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三第四十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三

例：有關(guān)參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使M產(chǎn)生側(cè)移25mm，然后突然放開，剛架產(chǎn)生自由振動，振動5周后測得的側(cè)移為7.12mm。試求：（1）考慮阻尼時的自振頻率；（2）阻尼比和阻尼系數(shù)；（3）振動10周后的振幅。解：由y0=25mm,y0+5TD=7.12mm,有：第四十七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三第四十八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例:對圖示體系作自由振動試驗.用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,降繩突然切斷,開始作自由振動.經(jīng)4周期,用時2秒,振幅降為1cm.求1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比為多少2cm解:1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比為多少第四十九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)kcx0x0Pm平衡位置第五十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：由題知設(shè)求導(dǎo)：設(shè)在時刻t1質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時速度為：即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅x1kcx0x0Pm平衡位置第五十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三由題知解得：第五十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例：剛桿質(zhì)量不計求：（1）寫出運動微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量mlakcmb第五十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：m廣義坐標(biāo)力矩平衡：受力分析lakcmb第五十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三第三節(jié)單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下的受迫振動一、無阻尼受迫振動1、無阻尼受迫振動方程解運動方程的解第五十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三上式中，前三項都是頻率為的自由振動。但第一、二項是初始條件決定的自由振動，第三項與初始條件無關(guān)，是由伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動。第四項則是按照干擾力的頻率而進(jìn)行的振動，稱為純受迫振動。2、動力系數(shù)第五十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激振頻率、無阻尼時，與激振力的簡諧振動同相位。（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運動的方式（即初始條件）無關(guān)結(jié)論：（3）激勵頻率小于自振頻率時，位移響應(yīng)與激勵同相位；激勵頻率大于自振頻率時，位移響應(yīng)與激勵異相位。第五十七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三動力系數(shù)變化曲線第五十八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例:圖示無重簡支梁，在跨中W＝20kN的電機，電機偏心所產(chǎn)生的離心力F(t)，若機器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n=500rad/min，梁的EI=1.008X10000kN.m2。在不計阻尼的情況下，試求梁的最大位移和彎矩。第五十九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：（1）梁的自振頻率（2）系統(tǒng)的動力系數(shù)想想看還有沒有其他方法求自振頻率？第六十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三（3）梁跨中截面的最大位移和彎矩第六十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例:圖示跨中帶有一質(zhì)體的無重簡支梁，受動力荷載作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大動力位移。第六十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解：按疊加原理

（1）慣性力前為何加負(fù)號？（2）運動方程式與直接作用在質(zhì)體時有什么差別？（3）如果梁上還有一個動荷載，運動方程式形式有何變化？第六十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例1求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知動位移、動內(nèi)力幅值計算計算步驟:1.計算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內(nèi)力；2.計算動力系數(shù)；3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動力系數(shù)即得動位移幅值、動內(nèi)力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3動彎矩幅值圖第六十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例2求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4振幅動彎矩幅值跨中最大彎矩跨中最大位移第六十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三[動荷載不作用于質(zhì)點時的計算]m=1=1令P仍是位移動力系數(shù)是內(nèi)力動力系數(shù)嗎?運動方程穩(wěn)態(tài)解振幅第六十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三[列幅值方程求內(nèi)力幅值]解:例:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知同頻同步變化mEIl/2l/2FF=1第六十七頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三F動彎矩幅值圖解:例:求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖.已知mEIl/2l/2FF=1第六十八頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三解:例:求圖示體系右端的質(zhì)點振幅F動彎矩幅值圖mlmkllAFo第六十九頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三二、有阻尼受迫振動1、解的形式式中，第一、二項由初始條件決定的自由振動，第三、四是荷載作用而伴生的自由振動，第五項為純受迫振動。前四項自由振動由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動。第七十頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三2、幅頻曲線和相頻曲線第七十一頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三3、系統(tǒng)上各個力的平衡由已知的荷載,以及求得的位移有，第七十二頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自振頻率時，β→0,慣性力Fi(t)和阻尼力Fd(t)都很小，荷載主要由彈簧力平衡；想想：此時相當(dāng)于什么情況?當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)自振頻率時，β→∞,荷載主要由慣性力平衡；當(dāng)荷載頻率接近系統(tǒng)自振頻率時，β→1,此時阻尼力此時荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。共振區(qū)內(nèi)（0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。第七十三頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中四個力的平衡第七十四頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三4、半功率法確定阻尼比簡諧荷載受迫振動的幅頻曲線可以用來確定系統(tǒng)的阻尼比ξ。取曲線上a、b兩點，令縱坐標(biāo)代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后有第七十五頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三例.圖示為塊式基礎(chǔ).機器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為;地基豎向剛度為;豎向振動時的阻尼比為機器轉(zhuǎn)速為N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為F=30kN.求豎向振動時的振幅。解：第七十六頁，共九十一頁，編輯于2023年，星期三質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為K的彈簧一端，另一端B沿鉛直按作簡諧運動，考慮粘滯阻尼力作用，求物體運動規(guī)律。解：取ξ＝0時物體的平衡位置o為坐標(biāo)原點，物體的運動微分方程為右端等價于一個干擾力第七十七頁，共九十一頁，編輯于