第2章流變學(xué)的基本概念課件

第2章流變學(xué)的基本概念1.應(yīng)變(Strain)1.1

各向同性的壓縮和膨脹在各向同性壓縮和膨脹中，任何形狀的試樣都變?yōu)閹缀涡螤钕嗨频叽巛^大的試樣。以一個立方柱體為例：起始各邊長為a,b,c;膨脹后各邊長分別為a’,b’,c’(如圖2-1)。

a’=a=a’/ab’=b

=b’/bc’=c=c’/c

1,

試樣膨脹；1,試樣被壓縮；稱為伸縮比；3則可表示體積的變化。xyz圖2-1

各向同性膨脹在變形很小的情況下，接近1。

=1+

=-1=(a’-a)/a=(b’-b)/b=(c’-c)/c

1

是邊長變化量與原始長度之比。>0，試樣膨脹；<0，試樣被壓縮。體積的變化分數(shù)(V/V)，V是原始體積，V是體積的變化量。V/V=3-1=(1+)3-1=3+32+3

由于<<1，故：

V/V3

即體積的分數(shù)改變(V/V)是邊長的分數(shù)變化()的三倍。

各向同性膨脹是均勻的變形，物體內(nèi)任何體積單元都變化3倍。1.2拉伸和單向壓縮在拉伸中，試樣在拉伸方向的長度增加而在另外兩個方向上的長度縮短。以一個矩形的試樣為例：矩形邊長分別為l,b,c(如圖2-2)

圖2-2

試樣拉伸拉伸后,邊長分別變?yōu)閘’,b’,c’:

l’=lb’=bc’=c稱為伸長比。體積變化分數(shù)為：

V/V=2-1

如形變較小，則有：

=1+<<1

=1-<<1

=(l’-l)/l;=(b’-b)/b=(c’-c)/c

為長度的分數(shù)增量，為側(cè)邊長的分數(shù)減量。體積的變化分數(shù)：V/V=［(1+)(1-)2-1］由于<<1，<<1，故：

V/V-2拉伸時，

>1，<1，>0，>0

壓縮時，

<1，>1，<0，<0

這種變形是均勻的。即試樣內(nèi)任一體積單元都經(jīng)歷完全相同的變形。1.3簡單剪切和簡單剪切流動在簡單剪切中，試樣的變形如圖2-3所示。圖2-3

簡單剪切實驗

=w/l=tan

稱為剪切應(yīng)變。如應(yīng)變很小，可近似認為

=

對液體而言：2.

應(yīng)力(Stress)

單位面積上所受的力稱之為應(yīng)力。

t=df/ds

由于力是均勻的，應(yīng)力可表示為t=f/s。3.

應(yīng)力的分量表示法和應(yīng)力張量

表征應(yīng)力不但要有大小而且還要有方向。還有什么呢？

應(yīng)力的分量可完全描述應(yīng)力的方向、大小和作用面。

應(yīng)力的分量用兩個下標(biāo)表示。第一個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個下標(biāo)則表示應(yīng)力的方向(如圖2-4)。圖2-4

應(yīng)力張量的分量

從圖中可以看出應(yīng)力張量有九個分量，二個下標(biāo)字母相同的稱為法向分量；兩個下標(biāo)字母不同的分量稱為切向分量。在直角坐標(biāo)系中：

在其它坐標(biāo)系中：在柱面坐標(biāo)中

應(yīng)力張量用矩陣表示為

在球面坐標(biāo)中

應(yīng)力張量用矩陣表示為九個應(yīng)力分量中有三對是相等的。

txy=tyx

txz=tzx

tyz=tzy

應(yīng)力張量中只有六個是獨立的。以簡單剪切證明：txy=tyx圖2-5

簡單剪切中的應(yīng)力應(yīng)力分量為:

tyx=f/A

設(shè)物體內(nèi)一個無限小的體積單元，邊長分別為dx,dy,dz(如圖2-6)。作用在頂面上的力為tyxdxdz,作用在底面上的力則為-tyxdxdz。圖2-6

簡單剪切中力的平衡這兩個力產(chǎn)生順時針方向的力矩tyxdxdydz。

這時在右面x面上有一個向上(y軸方向)的力txydydz作用著，左面則有一個向下的力-txydydz作用(如圖2-7)。在y軸方向上它們是平衡的，但它們產(chǎn)生一個反時針方向的力矩txydxdydz。這時順時針方向的總力矩dL為：dL=tyxdxdydz-txydxdydz

圖2-7

剪切互等

要使該體積單元平衡，總力矩dL必須為0,即:tyx=txy。同理可以證明:tyz=tzy,txz=tzx,

在簡單剪切中，應(yīng)力張量為4.

簡單實驗中的應(yīng)力張量

4.1

拉伸實驗

txx=f/A

且

tx={txx,txy,txz}={f/A,0,0}

ty={tyx,tyy,tyz}={0,0,0}

tz={tzx,tzy,tzz}={0,0,0}

其應(yīng)力張量：

4.2

各向同性的壓縮如果應(yīng)力矢量無論在任何方向上總是與分隔面垂直，且在某給定點上的大小與分隔面的方向無關(guān)，則說它是各向同性的。

設(shè)n是與分隔面垂直而且方向是向外的一個單位矢量，這種各向同性的應(yīng)力可表示為:tn=-np式中：p為壓力。各向同性的應(yīng)力也叫靜壓力。

討論一個無限小的體積單元在x軸上的力。作用在右側(cè)面上的力fxr為:fxl=-nrPA

式中，nr為單位矢量，方向與右側(cè)面垂直。作用在左側(cè)面的力fxr為：

fxr=-nlPA由于nl=-nr，所以x軸上的合力：

fxr+

fxl=0圖2-8

各向同性壓縮時力的平衡同樣可以證明y軸和z軸方向也是如此。

在各向同性壓縮實驗中，應(yīng)力在任何方向都與作用面垂直而且大小相同，在笛卡爾坐標(biāo)中：

txx=tyy=tzz=p應(yīng)力張量為:5.

接觸力(內(nèi)力)

接觸力是物體內(nèi)的一部分通過假想的分隔面作用在相鄰部分上的力。

設(shè)在物體內(nèi)部有一點Q，分析Q點的受力情況(如圖2-9)。圖2-9

接觸力單位面積dA上所受到的力為：

txx=f/A

上述分隔面采用直角坐標(biāo)系的平面，如分隔面與z軸平行但與y軸成角(不等于900)(如圖2-10)。圖2-10

任意分隔面時的接觸角應(yīng)力矢量t不等于tx,t分解為兩個分量：與作用面垂直(tn)；與作用面平行(ts)(如圖2-11)

t=txcos=[(f/Acos),0,0]圖2-11

應(yīng)力矢量的分解

tn=tcos

ts=tsin

t=txxcos

tn=txxcos2

ts=txxcossin當(dāng)=0時，tn有最大值txx，而ts有最小值(0);當(dāng)=450時，ts有最大值(txx/2)。6.

應(yīng)變張量

物體的變形可以用位移矢量u來描述。在笛卡爾坐標(biāo)中,設(shè)有點P1，

變形前坐標(biāo)位置為(x,y,z)；

變形后坐標(biāo)變?yōu)?x+Ux,y+Uy,z+Uz)圖2-12

應(yīng)變

變形前點P1和P2的相對位移用矢量表示：

P1P2={dx,dy,dz}變形后點P1和P2的相對位移用矢量表示：

P1P2={dx+dUx,dy+dUy,dz+dUz}與P1很接近的點P2變形前坐標(biāo)為(x+dx,y+dy,z+dz)變形后坐標(biāo)為(x+dx+Ux+dUx,

y+dy+Uy+dUy,z+dz+Uz+dUz)其位移分量為(Ux+dUx,Uy+dUy,Uz+dUz)

變形前后P1和P2的相對位置發(fā)生變化，其變化量為dUx，dUy，dUz分別為相對位移在三個軸上的分量。如果dx,dy和dz為無限小量：

這理有?Ux/?x,?Ux/?y,等九個分量，可定義如下量：

其中，exx表示x方向的位移對x坐標(biāo)的變化率,eyx而表示x方向的位移相對于y坐標(biāo)的變化率.稱為切應(yīng)變分量。

對任意的應(yīng)變，可以用exx,eyy,ezz,exy,eyz,exz六個應(yīng)變分量來描述。這樣的定義叫工程應(yīng)變。

用張量來描述變形，張量表示法中的切應(yīng)變分量定義為工程應(yīng)變的1/2。應(yīng)變的張量表示式：

在笛卡爾坐標(biāo)中

(1)

對各向同性壓縮的試樣。

設(shè)物體內(nèi)有一點，坐標(biāo)為(x,y,z)，壓縮后坐標(biāo)變?yōu)?x’,y’,z’)，則:

x’=x(1+)

y’=y(1+y)Z’=z(1+z)

由此可知：

exx=eyy=ezz=

exy=eyz=exz=0(2)

對拉伸試樣

設(shè)物體內(nèi)有一點，拉伸前的坐標(biāo)為(x,y,z)，拉伸后的坐標(biāo)變?yōu)?x’,y’,z’)，則:

x’=x(1+)y’=y(1-)z’=z(1-)

因此：

exx=；eyy=ezz=-

exy=eyz=exz=0(3)

對簡單剪切