數(shù)值分析第三章數(shù)據(jù)擬合

數(shù)值分析第三章數(shù)據(jù)擬合第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三2/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis第三章數(shù)據(jù)擬合方法

§3.1問(wèn)題提出§3.2最小二乘法的基本概念§3.3線性擬合方法§3.4非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合

第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三3/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.1問(wèn)題提出離散數(shù)據(jù)點(diǎn)插值：插值函數(shù)精確通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三4/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis兩類(lèi)實(shí)際情況:★離散數(shù)據(jù)點(diǎn)提出來(lái)自試驗(yàn)，具有測(cè)量誤差，要求插值函數(shù)通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)反而會(huì)保留測(cè)量誤差的影響?！?/p>

某些情況下需要找出反映變量變化關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，而非精確通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)的外形控制函數(shù)。§3.1問(wèn)題提出第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三5/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

例3.1.1第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三6/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis已知一組數(shù)據(jù)(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,…,m。f未知。構(gòu)造插值函數(shù)φ(x)來(lái)逼近f(x),則有

φ(xi)=f(xi)=yi,i=1,2,…,m或記Q=(φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)),Y=(y1,y2,…,ym),則有

Q=Y.如果數(shù)據(jù)不能同時(shí)滿(mǎn)足某個(gè)特定函數(shù)，而要求所求的逼近函數(shù)“最優(yōu)地”靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)，即向量Q與Y

的誤差或距離最小。按Q與Y的誤差最小原則作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)所構(gòu)造出的函數(shù)，我們稱(chēng)為擬合函數(shù)?！?.1問(wèn)題提出第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三7/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis定義Q與Y

之間的距離：其中，R稱(chēng)為均方誤差。

最小二乘法：按均方誤差達(dá)到極小構(gòu)造擬合曲線的方法?！?.1問(wèn)題提出第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三8/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.2最小二乘法的基本概念

構(gòu)造擬合曲線的兩個(gè)問(wèn)題：Q:從哪一類(lèi)函數(shù)族里面選擇擬合曲線的形式？A:根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景，選擇逼近f(x)的函數(shù)族。

第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三9/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis數(shù)據(jù)擬合的線性模型

(x)=a11(x)

+······+an

n(x)例如:[1(x)

,···,

n(x)]=[1,x,···,xn-1][1(x)

,···,

n(x)]=[1,cosx,···,cos(n-1)x]§3.2最小二乘法的基本概念第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三10/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

Q：如何確定參數(shù)a1,a2,…,an以確定一條擬合曲線呢？A:按照在數(shù)據(jù)點(diǎn)處均方誤差最小的原則。這種用求解誤差函數(shù)最小值問(wèn)題來(lái)確定擬合參數(shù)的方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法§3.2最小二乘法的基本概念第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三11/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

§3.2最小二乘法的基本概念第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三12/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

@最小二乘法歸結(jié)為求n個(gè)未知數(shù)的線性代數(shù)方程組?！?.2最小二乘法的基本概念第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三13/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

最小二乘法的正規(guī)方程組（其解為駐點(diǎn)）§3.2最小二乘法的基本概念第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三14/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis引進(jìn)矩陣和向量記號(hào)

§3.2最小二乘法的基本概念第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三15/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

§3.2最小二乘法的基本概念第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三16/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis★以上正規(guī)方程組是否存在唯一解?★正規(guī)方程組的解是最小二乘問(wèn)題的駐點(diǎn)，此駐點(diǎn)是否就是最小二乘問(wèn)題的解呢？§3.2最小二乘法的基本概念第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三17/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

可以證明,此解是最小二乘問(wèn)題的解.§3.2最小二乘法的基本概念第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三18/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis定理3.2.2§3.2最小二乘法的基本概念第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三19/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法已知數(shù)據(jù)表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym求擬合函數(shù):(x)=a+bxa+bx1=y1a+bx2=y2··················a+bxm=ym超定方程組第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三20/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis2-范數(shù)平方殘差:rk=(a+bxk)–yk(k=1,2,···,m)§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三21/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis求a,b使S(a,b)=min§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三22/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三23/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis方程組系數(shù)矩陣方程組右端項(xiàng)§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三24/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis超定方程組:

AX=正規(guī)方程組:

ATAX=AT

擬合曲線的法方程(正規(guī)方程組)。解之得a，b。代入(x)=a+bx,即得所求的擬合曲線?！?.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三25/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis例3.3.1

已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下,求線性擬合函數(shù)。

解:設(shè)擬合曲線方程為

(x)=a+bx

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三26/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis5a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,b=1.35ATAX=AT§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三27/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis||r||2=0.7583殘差向量:(1)－4=－0.40(2)－4.5=0.45(3)－6=0.30(4)－8=－0.35(5)－9=0(x)=2.25+1.35x§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三28/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis例3.3.2

求數(shù)據(jù)的二次擬合函數(shù)P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

解:將數(shù)據(jù)點(diǎn)代入,得§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三29/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysisa0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三30/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysisa0=3,a1=0.7071,a2=0.1071§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三31/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis得

P(x)=3+0.7071x+0.1071x2二次擬合誤差:||r||2=0.6437比較線性擬合誤差:

||r||2=0.7583§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三32/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法x0=0:0.1:1;y0=(x0.^2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);p3=polyfit(x0,y0,3);vpa(poly2sym(p3),10)x=0:0.01:1;ya=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);y1=polyval(p3,x);subplot(2,1,1),plot(x,y1,x,ya,x0,y0,'o'),legend('三次擬合曲線','原函數(shù)曲線','樣本點(diǎn)')p4=polyfit(x0,y0,4);y4=polyval(p4,x);p5=polyfit(x0,y0,5);y5=polyval(p5,x);p8=polyfit(x0,y0,8);y8=polyval(p8,x);subplot(2,1,2),plot(x,y4,'x',x,y5,'-',x,y8,':',x,ya,'-')legend('四次擬合曲線','五次擬合曲線','八次擬合曲線','原函數(shù)曲線')vpa(poly2sym(p8),5)第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三33/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.3線性數(shù)據(jù)擬合方法第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三34/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.4非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題提出：離散點(diǎn)圖呈非線性。第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三35/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis如果非線性函數(shù)為

將給定數(shù)據(jù)(xi,yi)轉(zhuǎn)換為(ui,vi),求出a,b,再代回原變量y,x，可求得原非線性擬合曲線?！?.4非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三36/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis例3.4.1用給數(shù)據(jù)求經(jīng)驗(yàn)公式：y=aebxx12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解線性化。對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式取自然對(duì)數(shù)

lny=lna+bx

令

u=lny，b0=lna，u=b0+bx

代入數(shù)據(jù)得矛盾方程組§3.4非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三37/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis由法方程ATAB=ATy，B=（b0,b),即∴a=e2.4369=11.4375.y=11.4375e0.