數(shù)列概念及通項(xiàng)公式

數(shù)列概念及通項(xiàng)公式第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三【自主學(xué)習(xí)】一、數(shù)列的概念1數(shù)列:按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列，記為，其中an是數(shù)列{an}的第

項(xiàng)

2數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N+

（或它的有限子集）{1，2，3，…，n}的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，即an=f(n)(n∈N+),其圖象是無限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn).

n

注:依據(jù)此觀點(diǎn)可以用函數(shù)的思想方法來解決有關(guān)數(shù)列的問題.第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三二、數(shù)列的表示及分類1數(shù)列的通項(xiàng)公式:數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)

來表示，那么

an=f(n)叫數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

注意：通項(xiàng)公式有時(shí)并不唯一

2數(shù)列的遞推公式：已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前n-1項(xiàng)）之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三(一）數(shù)列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項(xiàng)公式法若數(shù)列的每一項(xiàng)

an

與項(xiàng)數(shù)

n

之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表達(dá),即

an=f(n),則

an=f(n)

叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.遞推公式法如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),

且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,

這個(gè)公式就叫做數(shù)列的遞推公式.注:遞推公式有兩要素:遞推關(guān)系與初始條件.第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三（二）數(shù)列的分類1.按項(xiàng)數(shù)：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；2.按

an

的增減性：遞增、遞減、常數(shù)、擺動(dòng)數(shù)列；3.按

|an|

是否有界：有界數(shù)列和無界數(shù)列.三、數(shù)列的前

n

項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an=

ak;nk=1an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三四、數(shù)列的單調(diào)性設(shè)

D

是由連續(xù)的正整數(shù)構(gòu)成的集合,

若對(duì)于

D

中的每一個(gè)n

都有

an+1>an(或

an+1<an),則稱數(shù)列

{an}

在

D

內(nèi)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減).方法：作差、作商、函數(shù)求導(dǎo).五、重要變換an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);an=a1….

anan-1a2a1a3a2第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三B【雙基自測(cè)】第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三A第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三D第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三4已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p、q∈N+滿足ap+q=ap+aq,且a2=－6,那么a10=(C)A－

165B－33C－

30D－

215在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+）則an=（A）A2+lnnB2+nlnnC2+(n-1)lnnD1+n+lnn第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6.若數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),則當(dāng)n≥2時(shí),{an}的通項(xiàng)an=

.7將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12345678910．．．．．．．

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

．n!

2第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三8(－∞，3）第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三【典例分析】例1.根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)

5,55,555,….an=(-1)n

2+(-1)nnan=555…5=(999…9)=(10n-1)n個(gè)59n個(gè)59(3)

-1,7,-13,19,…;(4)

7,77,777,7777,…;(5),,

,

,

,…;236389910154356(6)

5,0,-5,0,5,0,-5,0,….an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n

(2n-1)(2n+1)an=5sin2

n題型一求數(shù)列的通項(xiàng)公式第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三

已知數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來考慮：

(1)符號(hào)用(-1)n與(-1)n+1(或(-1)n-1)來調(diào)節(jié)，這是因?yàn)閚和n+1奇偶交錯(cuò).(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系.(3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助等差數(shù)列、等比數(shù)列（后面將學(xué)到）和其他方法來解決.(4)此類問題雖無固定模式，但也有其規(guī)律可循，主要靠觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列）等方法.第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例2.已知下面各數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和

Sn

的公式,求

{an}

的通項(xiàng)公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n2+n+1;(3)Sn=3n-2.解:(1)當(dāng)

n=1

時(shí),a1=S1=-1;當(dāng)

n≥2

時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-5,故

an=4n-5(nN*).(2)當(dāng)

n=1

時(shí),a1=S1=5;當(dāng)

n≥2

時(shí),an=Sn-Sn-1=6n-2,故

an=

5,

n=1,6n-2,n≥2.

(3)當(dāng)

n=1

時(shí),a1=S1=1;當(dāng)

n≥2

時(shí),an=Sn-Sn-1=23n-1,故

an=1,

n=1,2?3n-1,n≥2.

題型二由sn推出通項(xiàng)公式第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三S1(n=1)

Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證a1的值是否滿足“n≥2”的通項(xiàng)公式；同時(shí)認(rèn)清“an+1-an=d（常數(shù)）(n≥2)”與“an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2）”的細(xì)微差別.本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an=第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三題型三利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)例3根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.

（1）將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式累加，即“累加法”.（2）將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式相乘，即“累積法”或用逐項(xiàng)迭代法.第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三(方法二)因?yàn)閍n+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三(2)(方法一)因?yàn)閍n=

,所a2=,a3=,a4=,…,an=,相乘得a2·a3·…·an=··…·an==.(方法二)因?yàn)?，所以an=··…···a1=··…·××1=.第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例4求滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式分析：兩邊取倒數(shù)，利用逐差法求即利用公式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求解：由兩邊取倒數(shù)得則b1=1，bn-bn-1=n-1（n≥2）

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+1+2+3+…+(n-1)=第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法大致分為兩類：一是根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)歸納猜想出an的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；二是將已知遞推關(guān)系整理，變形為可用“累加法”“累乘法”或新的等差數(shù)列、等比數(shù)列等，再求其通項(xiàng).第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三變式練習(xí)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.3,n=1,2n,

n≥2.an=第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三學(xué)例1(2009·湖北卷)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種行狀來研究數(shù)，例如：第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()CA.289B.1024C.1225D.1378第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)an=(n+1),同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)bn=n2,由bn=n2(n∈N*),在區(qū)間（1000，1250）中是平方數(shù)的只有322，332，342，352，又由an=(n+1)知an必為奇數(shù)，故只可能是332或352，經(jīng)檢驗(yàn)只有352==1225.第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三學(xué)例2(2009·重慶卷)已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=,n∈N*.（1）求b1,b2,b3的值；（2）設(shè)cn=bnbn+1,Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求證Sn＞17n；（3）求證：|b2n-bn|＜·.第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三

(1)因?yàn)閍2=4,a3=17,a4=72，所以b1=4,b2=,b3=.(2)證明：由an+2=4an+1+an,得=4+