數(shù)字圖象處理

數(shù)字圖象處理第一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三2第八章小波圖像編碼第二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三38.1概述

第三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三4主要內(nèi)容小波變換離散小波變換

多分辨率分析和Mallat算法

Matlab中常用小波基介紹小波變換在圖像編碼中的應用第四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三58.2小波變換第五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三6一維連續(xù)小波給定稱為連續(xù)小波或分析小波(AnalyzingWavelet)

叫基本小波或母小波（MotherWavelet）。其中a是伸縮因子，b為平移因子。

定義

第六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三7一維連續(xù)小波變換CWT設|a|-1/2規(guī)范化因子，可使定義

是連續(xù)小波

記則函數(shù)的連續(xù)小波變換：第七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三8基小波或允許小波設則為一個基小波或允許小波。

定義

是連續(xù)小波且滿足容許性條件：第八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三9允許小波的性質(zhì)1．小波逆變換存在性且有

令是允許小波，對所有有：第九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三10允許小波的性質(zhì)2．能量比例性

上式為能量公式，在允許性條件下，小波變換幅度的平方的積分與信號能量成正比。

令是允許小波，對所有有：第十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三11允許小波的性質(zhì)3．正則性

p=1可直接由允許性條件驗證，至于其他情況，能使上式成立的n越大越好.令是允許小波，要求其前n階原點矩為零，且n越大越好，即第十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三12小波變換的性質(zhì)1．線性性

如果則第十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三13小波變換的性質(zhì)2．平移不變性

如果則第十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三14小波變換的性質(zhì)3．伸縮共變性

如果則第十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三15小波變換的性質(zhì)4．自相似性對應不同尺度參數(shù)和不同平移參數(shù)的連續(xù)小波變換之間是自相似的。5．冗余性（1）由連續(xù)小波變換恢復信號的重構公式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構不存在一一對應關系，而Fourier變換與反Fourier變換是一一對應的。（2）小波變換的核函數(shù)即函數(shù)存在許多可能的選擇（例如，非正交小波、正交小波、雙正交小波,甚至允許是彼此線性相關的）。

第十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三168.3離散小波變換第十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三17離散小波尺度離散化：取一個合理的值a0，使尺度因子只取a0的整數(shù)冪，即定義

位移離散化：當尺度取a0時，取位移b=b0，各位移為k·b0。當時，取，其中固定的。離散小波函數(shù):

第十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三18離散小波變換離散小波變換：定義

改變a和b的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。第十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三19離散小波變換定義

令：a0=2，b0=1時，尺度為2

j，而位移為2

jk即：尺度為2

j，而位移為2

jk則：二進離散小波：相應的小波變換記：第十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三20框架理論定義

設存在，對有：則稱為一個框架如果A=B，則框架為緊框架有：第二十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三21框架理論框架算子定義

稱T為框架算子如果是框架有線性算子：I恒等算子

第二十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三22框架理論對偶框架定義

則

也是框架，且其框架界為B-1和A-1稱是的對偶框架設是框架令：第二十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三23框架理論對偶框架算子

可以得到：設對偶框架的框架算子則：第二十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三248.4多分辨率分析和Mallat算法第二十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三25多分辨率分析則空間集合稱為依尺度函數(shù)的多分辨率分析

定義

若下列條件成立：

(1)嵌套性：(2)稠密性：(3)分立性:(4)尺度性:(5)Riesz基存在性:中一系列嵌套函數(shù)子空間序列

構成V0的Riesz基且第二十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三26小波分解和重建{Vk}一個多分辨分析,

{Wk}是{Vk}關于{Vk+1}的補空間

則：對分解

第二十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三27小波分解和重建雙尺度方程令：則：分解

第二十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三28小波分解和重建由：推廣得：分解

第二十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三29小波分解和重建由于,分別是對應空間的Riesz基：所以(a)分解

第二十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三30小波分解和重建將a式代入得:分解

第三十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三31小波分解和重建由于：，線性無關得分解算法:，

分解算法示意圖分解

第三十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三32小波分解和重建重建

第三十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三33小波分解和重建由于：，線性無關得重構算法:小波重建示意圖重建

第三十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三348.5Matlab中常用小波基介紹第三十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三35常用小波函數(shù)介紹（1）Harr小波

尺度函數(shù)第三十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三36常用小波函數(shù)介紹（2）Daubechies（dbN)小波系

除db1（Haar小波），其余的db系列小波函數(shù)沒有解析的表達式第三十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三37常用小波函數(shù)介紹（3）Symltes（symN）小波系

sym小波在保持db小波簡單性的基礎上提高了小波的對稱性第三十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三38常用小波函數(shù)介紹（4）Coiflet(coifN)小波族

具有更長支集長度和更大消失矩,是對稱性比較好的小波系

coif3的小波尺度、小波函數(shù)和分解重構濾波器第三十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三39常用小波函數(shù)介紹（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）雙正交小波系

正交基與正交小波變換從數(shù)學角度上說是最理想的，但Daubechis已經(jīng)證明，除Haar基外，所有正交基都不具有對稱性。這在圖像編碼這類型失真的應用中，會引入相位失真，是很不理想的，因此希望有對稱性質(zhì)的小波基。Cohen和Daubechies構造了一類具有緊支撐性和一定正則性的對稱雙正交小波基，它的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，主要應用在信號與圖像重構。第三十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三40常用小波函數(shù)介紹（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）雙正交小波系

Bior2.4小波、對偶小波及濾波器第四十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三41與小波函數(shù)有關的Matlab函數(shù)WAVEINFO函數(shù)：提供小波工具箱中所有小波信息。WAVEFUN函數(shù)：返回一維小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)（如果尺度函數(shù)存在的情況下）的近似值。

WFILTERS函數(shù)：返回指定小波的分解和重構濾波器

第四十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三42與小波函數(shù)有關的Matlab函數(shù)例8。2Matlab程序waveinfo('db');%顯示db系小波信息[phi,psi,xval]=wavefun('db2',10);%得到db2的尺度函數(shù)和小波函數(shù)subplot(242);plot(xval,phi,'k');%顯示尺度函數(shù)axis([03-0.51.5]);axissquare;title('db2尺度函數(shù)');subplot(243);plot(xval,psi,'k');%顯示小波函數(shù)axis([03-1.51.5]);axissquare;title('db2小波函數(shù)');

[lo_d,hi_d,lo_r,hi_r]=wfilters('db2');%得到db2的相關濾波器subplot(245);stem(lo_d,'ok');title('db2分解低通濾波器');subplot(246);stem(hi_d,'ok')；title('db2分解高通濾波器');subplot(247);stem(lo_r,'ok');title('db2重構低通濾波器');subplot(248);stem(hi_r,'ok');title('db2重構高通濾波器');第四十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三43與小波函數(shù)有關的Matlab函數(shù)例8。2結果第四十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三448.6小波變換在圖像編碼中的應用第四十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三45數(shù)字圖像的小波分解設是一個二維可分離的多分辨率分析，，其中是上的一個多分辨率分析，其尺度函數(shù)為，小波函數(shù)為，那么有相應于二維的可分離的尺度函數(shù)和三個可分離的方向敏感小波函數(shù)，，為：

第四十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三46數(shù)字圖像的小波分解沿著不同的方向小波函數(shù)會有變化，度量沿著列變化（例如，水平邊緣），度量沿著行變化（例如，垂直邊緣），則對應于對角線方向。每個小波上的H表示水平方向，V表示垂直方向，D表示對角線方向。第四十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三47數(shù)字圖像的小波分解由前的尺度和小波函數(shù)，定義一個伸縮和平移的基函數(shù)：第四十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三48數(shù)字圖像的小波分解同一維一樣，可得到分解算法：第四十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三49數(shù)字圖像的小波分解令分解序列為Lo_D和Hi_D

數(shù)字圖像小波分解數(shù)據(jù)流示意圖

第四十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三50數(shù)字圖像的小波分解數(shù)字圖像小波分解流程圖

第五十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三51數(shù)字圖像的重構同樣，則重構算法：令重構序列為Lo_R和Hi_R數(shù)字圖像小波分解數(shù)據(jù)流示意圖

第五十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三52數(shù)字圖像的分解例其Matlab程序如下：I=imread('cameraman.tif','tif');%讀入并顯示原始圖像figure(1)；subplot(121);imshow(I);[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(I,'db2');%用'db2'小波對圖像進行一層小波解I2=[ca1,ch1*4;cv1*4,cd1*4;%組成變換后的矩陣

%圖像不能反映實際情況，要作一些處理。min=min(I2(:));max=max(I2(:));subplot(122);imshow(I2,[min,max]);%顯示變換后近似和細節(jié)圖像X=idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,'db2');%用idwt2作反變換rmes=compare(I,X)%反變換結果與原始圖像比較第五十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三53數(shù)字圖像的分解例二維小波一層分解圖

第五十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三54數(shù)字圖像的分解例二維小波一層分解圖

第五十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三55數(shù)字圖像的分解例多級二維小波變換結果

第五十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三56小波基的選擇

不同于Fourier分析，小波基不是唯一，顯然選擇最優(yōu)的小波基用于圖像編碼是一個非常困難的事，一般情況下需考慮以下幾個因素：小波基的正則性和消失矩；小波基的線性相位；要處理圖像與小波基的相似性；小波函數(shù)的能量集中性；綜合考慮壓縮效率和計算復雜度。第五十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三57小波基的選擇

圖像壓縮中幾種常用小波基

N0±1±3±3±445/6419/64-1/8-3/643/1281/21/4

雙正交樣條小波bior2.4

第五十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三58小波基的選擇

雙正交樣條小波，接近正交性的

N0±1±3±3±40.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267490.5575430.295636-0.028772-0.0456360第五十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三59小波基的選擇

雙正交樣條小波，接近正交性的bior4.4

N0±1±3±3±40.60.25-0.050017/2873/280-3/56-3/2800第五十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三60小波基的選擇

雙正交樣條小波(jpeg9.7)

N0±1±3±3±40.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267491.11510.59127-0.057544-0.0912720第六十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三61小波變換域小波系數(shù)分析1.小波變換的能量緊致性分析

子圖（M*N個像素）的能量定義為:

第六十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三62小波變換域小波系數(shù)分析2.小波變換系數(shù)分析

圖號最大值最小值均值方差能量比層能量合計LL4213.40.8696.9272141.886.31

92.01

4.36

2.56

1.07HL4109.0-113.94-0.142281.32.10LH4129.9-114.13-0.085374.92.81HH483.6-67.590.074105.80.79HL3167.3-131.52-0.191260.11.95LH3102.2-148.53-0.095248.51.86HH369.0-88.400.051474.030.55HL2139.2-117.460.097151.91.14LH2136.7-170.36-0.024138.31.04HH277.3-113.20-0.00151.30.38HL175.7-92.010.03757.80.43LH167.2-92.61-0.06158.30.43HH158.3-59.27-0.01127.90.21Lena圖小波系數(shù)統(tǒng)計分析表

第六十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三63小波變換域小波系數(shù)分析2.小波變換系數(shù)分析

各層小波系數(shù)分布圖

第六十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三64小波變換域小波系數(shù)分析

小波系數(shù)規(guī)律:

（1）

隨著分層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來越大，說明越往后層次的小波系數(shù)越重要。（2）除LL4外，其他子帶方差和能量明顯減少，充分說明低頻系數(shù)在圖像編碼中的重要性。（3）對同一方向子帶，按從高層到低層（從低頻到高頻）子帶，有：HL4→HL3→HL2→HL1，LH4→LH3→LH2→LH1，HH4→HH3→HH2→HH1，大部分情況下其方差從大到小，有一定的變換規(guī)則。（4）第一層中有90%的系數(shù)絕對值集中在0零附近。以上規(guī)律對圖像壓縮編碼算法有很重要的指導意義

第六十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三65小波變換域小波系數(shù)分析

例第六十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三66直接閾值編碼法

對小波系數(shù)C(i,j),在圖像壓縮中常用的閾值法為：

閾值化處理的關鍵問題是選擇合適的閾值的選取，如果閾值太小，壓縮效果不明顯，閾值太大，壓縮圖像重構就是丟失很多細節(jié)，產(chǎn)生模糊

第六十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三67直接閾值編碼法小波變換系數(shù)的二種閾值方法：

對所有子帶用一個全局閾值；

對各子帶分別用不同的閾值；第六十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三68直接閾值編碼法例第六十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三69基于小波樹結構的矢量量化法人眼視覺系統(tǒng)是對高頻分量不敏感，而對低頻分量反應很敏感。根據(jù)這一特點，在壓縮時應盡量降低低頻分量的失真，即在量化編碼的碼率分配時，低頻區(qū)碼率相對高，高頻區(qū)碼率相對低。二級小波分解和矢量量化位率分配圖第六十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三70基于小波樹結構的矢量量化法前面章節(jié)已經(jīng)指出若對圖像進行L層分解,其變換系數(shù)有以下幾個特點：（1）圖像的能量主要集中在低頻的LL子帶上。（2）子帶LH，HL，HH表現(xiàn)出明顯的方向性，它們分別代表水平、垂直和對角方向的邊沿或紋理信號。（3）各子帶的相應位置的系數(shù)有明顯的相關性。

第七十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三71基于小波樹結構的矢量量化法

例矢量量化結果

第七十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三72嵌入式小波零樹編碼（1）零樹表示小波系數(shù)分三種情形：

①零樹根；

②孤立零；

③重要系數(shù)。

第七十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三73嵌入式小波零樹編碼系數(shù)編碼時的掃描順序圖

第七十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三74嵌入式小波零樹編碼系數(shù)編碼的流程圖

第七十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期三75嵌入式小波零樹編碼（2）逐次逼近量化

逐次逼近量化是逐次使用閾值序列T0，T1，…，TN-1以決定重要系數(shù)，其中閾值序列的選取是Ti=Ti-