數(shù)學(xué)物理方法初值問題

數(shù)學(xué)物理方法初值問題第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三本章基本要求掌握達(dá)朗貝爾公式、泊松公式及其物理意義掌握半無限長問題的延拓法求解2掌握非齊次方程問題的求解方法第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三3.1弦振動方程（一）齊次弦振動方程（達(dá)朗貝爾公式）

3定解問題的提出

第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三齊次方程可以寫為：我們解方程一般是希望解出通解，再根據(jù)條件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很難界定，也較難求。研究表明，對無界情況的定解問題（波動方程和熱傳導(dǎo)）可以求出通解，然后通過初始條件得到特解。4第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)作變量代換此時通過方程兩邊積分，即可求出方程的通解。5可滿足前述要求，此時第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三(1)通解對積分：兩邊再對ε積分：得到6積分常數(shù)依賴于上式中f1為任意二次連續(xù)可微函數(shù)第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三7同理交換積分順序，同樣可以得到此時f2為任意二次連續(xù)可微函數(shù)其中f1和f2均為任意二次連續(xù)可微函數(shù)上式即為通解形式第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三確定待定函數(shù)的形式無限長，即無邊界條件初始條件為和(2)達(dá)朗貝爾公式

8即上面第二式兩端對x積分，得到將上式和前面第一式聯(lián)立，可求出第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三9即上式即為達(dá)朗貝爾公式第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三10（3）物理意義先考慮u2=f2（x-at）：當(dāng)t=t2（t2>t1)時，u2=f2（x-at2）。故波形u2=f2（x-at）隨著時間推移，以常速度a向x軸的正方向移動。我們稱之為右行波。當(dāng)t=t1時，u2=f2（x-at1）；同理u1=f1（x+at）為一個以常速度a向x軸的負(fù)方向傳播的行波。稱為左行波。故達(dá)朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動總是以行波形式分別向兩個方向傳播出去，其傳播速度正好是弦振動方程中的常數(shù)a，故此方法又稱為行波法。第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三

從達(dá)朗貝爾公式可以看出，波動方程的解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產(chǎn)生出超出初始條件的，額外的形式來。而這種演化又受到邊界條件的限制。這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程的解時的重要性。11第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三12（4）依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域從達(dá)朗貝爾公式還可以看出，解在點(diǎn)（x，t）的數(shù)值僅依賴于區(qū)間[x-at,x+at]上的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。稱[x-at,x+at]為點(diǎn)（x，t）的依賴區(qū)間，它是由過點(diǎn)（x，t）的兩條斜率分別為±1/a的直線在x軸所截得的區(qū)間，如下圖所示。tOx(x,t)x-atx+at第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三13當(dāng)t=0時，取x軸上的區(qū)間[x1,x2]，過點(diǎn)x1做斜率為1/a的直線x=x1+at，過點(diǎn)x2做斜率為-1/a的直線x=x2-at，兩直線與區(qū)間[x1,x2]圍成一個三角區(qū)域（如下圖所示），該區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)（x，t）的依賴區(qū)間都落在[x1,x2]內(nèi)，即解在這個區(qū)域內(nèi)的數(shù)值完全由區(qū)間[x1,x2]上的初始條件決定，而與此區(qū)間外的初始條件無關(guān)，這個區(qū)域稱為區(qū)間[x1,x2]的決定區(qū)域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三14若在區(qū)間[x1,x2]的兩端作直線x=x1-at和x=x2+at，則經(jīng)過時間t后，受[x1,x2]上初始擾動影響的區(qū)域?yàn)樵诖藚^(qū)域外的波動不受[x1,x2]上初始擾動的影響，這個區(qū)域稱為[x1,x2]的影響區(qū)域。tOxx1x2x=x1+atx=x1-at第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三15從上面的討論可以看出，直線族在對波動方程的討論中起著很重要的作用，我們稱這兩族直線為波動方程的特征線。在特征線x+at=c1上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常數(shù)值f1（c1），同樣在特征線x-at=c2上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常數(shù)值f2（c2），且這兩個數(shù)值隨特征線的移動（即常數(shù)c1和c2的改變）而改變，所以波動實(shí)際上是沿著特征線傳播的。（5）特征線及二階線性偏微分方程的分類第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三16我們把前面所用的變量代換稱為特征變換，而行波法又稱為特征線法。很容易發(fā)現(xiàn)，特征線是常微分方程的積分曲線族。故上面的方程又稱為偏微分方程的特征方程。第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三17對于一般的二階線性偏微分方程來說，它的特征方程為這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程的特征曲線。可以看到，特征線僅與二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而與低階項(xiàng)系數(shù)無關(guān)。但是，并不是任意二階線性偏微分方程都有兩族實(shí)的特征線。第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三18每一點(diǎn)不存在實(shí)的特征線每一點(diǎn)僅有一條實(shí)的特征線每一點(diǎn)有兩條實(shí)的特征線橢圓型方程拋物型方程雙曲型方程拉普拉斯方程熱傳導(dǎo)方程波動方程反映一些屬于穩(wěn)定、平衡狀態(tài)的物理量的分布狀況反映一些快速消耗、擴(kuò)散的物理量的分布狀況反映一些按一定速度擴(kuò)散的、可逆的物理量的分布狀況第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三（二）半無限長弦的自由振動

19一端固定的弦

第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三延拓法求解第一類邊界條件，作奇延拓令20第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三前述函數(shù)滿足21則第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三22當(dāng)x=0時第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三23第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三（三）非齊次方程的解（強(qiáng)迫振動）

24解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t)

第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三25u1（x，t）和u2（x，t)分別滿足

和

（零輸入）

（零狀態(tài)）

u1（x，t）可直接由達(dá)朗貝爾公式求得；u2（x，t）由沖量原理（齊次化原理）求解；第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三沖量定理法的基本思想將持續(xù)作用力看成前后相繼的瞬時力的疊加；作用時間0—t，由疊加原理，可將持續(xù)力f（x，t）引起26

的振動視為一系列前后相繼的瞬時力f（x，τ）（0≤τ≤t）所引起的振動w（x，t；τ）的疊加：將持續(xù)力引起的振動看成是瞬時力引起振動的疊加。第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三從物理的角度考慮，力對系統(tǒng)的作用對于時間的積累是給系統(tǒng)一定的沖量，短時間間隔△τ內(nèi)f（x、τ）對系統(tǒng)的作用為f（x、τ）*△τ，表示為△τ內(nèi)的沖量，此沖量使系統(tǒng)的動量（速度）有一改變量（f（x、τ）是單位質(zhì)量弦所受外力，動量在數(shù)值上等于速度）。將△τ內(nèi)速度的改變量看成在t=τ時刻一瞬間集中得到，在△τ的其余時間認(rèn)為沒有沖量的作用（無外力作用）。27第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三28則△τ內(nèi)瞬時力f（x、τ）引起的振動的定解問題為第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三29為了方便求解，可設(shè)w（x，t；τ）=v（x，t；τ）*△τ則v滿足：第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三30此時第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三31設(shè)t’=t-τ，則v滿足：由達(dá)朗貝爾公式有第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)檢驗(yàn)：初始條件：積分號下的求導(dǎo)公式：32則第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三非齊次方程33以上這種用瞬態(tài)沖量的疊代替持續(xù)作用力來解決問題的方法，稱為沖量原理。數(shù)學(xué)上稱為齊次化原理。所以有第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三齊次化原理求解過程小結(jié)：

34設(shè)有定解問題為

齊次化原理不僅可用于非其次波動方程的初始值問題，還可用于混合問題及其他方程（如熱傳導(dǎo)方程）的定解問題。第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三例

35解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t)

u1（x，t）直接由達(dá)朗貝爾公式求出：第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三36u2（x，t）由沖量原理（齊次化原理）求解；第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三3.2一維熱傳導(dǎo)方程（一）齊次方程（柏松公式）

37定解問題的提出

（柏松公式）

第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三38物理意義設(shè)細(xì)桿在x軸上，在桿上取一點(diǎn)x0，現(xiàn)假設(shè)初始溫度分布為而根據(jù)柏松公式，細(xì)桿溫度分布為xx0-δx0+δx0第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三39根據(jù)當(dāng)前條件，可以寫為由積分中值定理，有第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三40第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三41

故無窮長桿可以看成由無窮多個點(diǎn)組成，每個點(diǎn)有一個發(fā)出熱量為Q’的初始點(diǎn)熱源。第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三（二）半無限長細(xì)桿問題的求解

42一端絕熱的細(xì)桿

第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三延拓法求解第二類邊界條件，作偶延拓令43其滿足第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三44此問題可直接由泊松公式求解第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三45而當(dāng)x=0時第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三（三）非齊次方程的解（內(nèi)部有熱源）

46解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t)

第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三47u1（x，t）滿足

u1（x，t）可直接由泊松公式求解；第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三48u2（x，t)滿足

u2（x，t）由齊次化原理求解；第四十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三49而u2’（x，t;τ)滿足

根據(jù)前面的解法，有綜合前面各式，求出u（x，t）第四十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期三本章小結(jié)

50初值問題（泛定方程+初始條件）

一維波動方程（達(dá)朗貝爾公式）

一維熱傳導(dǎo)方程（泊松公式）

無限長齊次方程

半無限長齊次方程

無限長非齊次方程

無限長齊次方程

半無限長齊次方程