數(shù)學(xué)問題中的發(fā)散和逆向思維

數(shù)學(xué)問題中的發(fā)散和逆向思維第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三樹立一種好的思維方法的重要性本科學(xué)生學(xué)習(xí)馬克思主義哲學(xué)的必要性與應(yīng)用上的盲目性世界觀：反過來就是觀世界，培養(yǎng)觀察世界各種現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律。復(fù)雜多樣的自然現(xiàn)象造就了學(xué)科內(nèi)容的多樣性，地質(zhì)地貌造就了地質(zhì)學(xué)，地貌學(xué)，地殼運(yùn)動(dòng)學(xué)，采掘，采礦，冶金，石油，勘探，生物化學(xué)，物理學(xué)，天體物理學(xué)。造就了世界眾多的自然科學(xué)家，如哥白尼，開普lie張衡、祖沖之牛頓，愛因斯坦，法拉第，霍金。這些人無一不是用數(shù)學(xué)方法在刻畫世界。大自然賦予人類眾多的財(cái)富，礦藏，石油，海洋，森林，賦予人們美輪美奐的自然美景，讓我們?nèi)ハ碛谩５步o人類提出了警示，產(chǎn)生眾多的社會科學(xué)，如可持續(xù)發(fā)展，保護(hù)環(huán)境，減排，低碳，計(jì)劃生育，控制人口等。人生觀，反過來就是觀人生，指人們對人生意義的不同理解，用不同的思維方式去看待人生，認(rèn)識人類社會的演進(jìn)。第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三方法論方法論是哲學(xué)科學(xué)或科學(xué)哲學(xué)的另外一個(gè)重要方面，一個(gè)好的世界觀和觀察事物的方法是任何科學(xué)家的共同特質(zhì)。如達(dá)爾文發(fā)現(xiàn)與發(fā)展生物進(jìn)化學(xué)說；牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力并創(chuàng)立牛頓力學(xué)和天體物理學(xué)；法拉第發(fā)現(xiàn)了電和磁并創(chuàng)立了電磁學(xué)；貝爾發(fā)現(xiàn)電話改變了世界。高斯，莫比烏斯等。這些無一不與他們具有觀察事物的超人能力和科學(xué)的方法相關(guān)。

第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)科學(xué)的強(qiáng)大滲透力和獨(dú)立性數(shù)學(xué)可以作為其他任何科學(xué)的基礎(chǔ)，其本身也是高度抽象而獨(dú)立于其他科學(xué)的科學(xué)，自成體系。從邏輯思辨角度來看，其他科學(xué)往往沒有數(shù)學(xué)的邏輯體系這么復(fù)雜多樣，因?yàn)槠渌麑W(xué)科往往著力于具體應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)。而數(shù)學(xué)則不然，只要符合邏輯的概念都可以定義（但不要成為空集），而應(yīng)用科學(xué)往往強(qiáng)調(diào)于可實(shí)現(xiàn)性。兩種思維：先存在理論，后尋找背景；先存在背景，后尋找理論第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三碩士生與博士生的學(xué)習(xí)方法碩士生的歷程介于本科生與博士生之間，他們既有被動(dòng)接受知識的一面，也是一個(gè)逐步樹立創(chuàng)新思維的過程，一個(gè)好的碩士生往往也具備一定的創(chuàng)新能力，但相對于博士生而言，他們還沒有具備系統(tǒng)的科學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力。博士生的學(xué)習(xí)則主要基于創(chuàng)新思維的系統(tǒng)訓(xùn)練和獨(dú)立研究能力的形成，他們不再是以學(xué)習(xí)知識為主要方面，而是通過獨(dú)立的研究過程來培養(yǎng)他們的思維方式，擴(kuò)大他們的知識面，形成自己獨(dú)特的知識結(jié)構(gòu)體系和思維方法。第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三發(fā)散思維能力的培養(yǎng)象牙尖的觀點(diǎn)既肯定又否定；每一個(gè)研究方向雖然特殊但又存在不同的分支內(nèi)容；第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)問題中成對出現(xiàn)的問題歸納分析：連續(xù)——不連續(xù)；可導(dǎo)——不可導(dǎo)；收斂——發(fā)散；代數(shù)：可約——不可約；可逆——不可逆；可交換——不可交換；交換代數(shù)——不可交換代數(shù)；正交——非正交；幾何：歐氏幾何——非歐幾何；笛卡爾坐標(biāo)系——仿射坐標(biāo)系微分方程：線性——非線性；穩(wěn)定不穩(wěn)定；最優(yōu)化：光滑——非光滑；凸——非凸，單目標(biāo)——多目標(biāo)第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三看看一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問題及其啟示一個(gè)n階實(shí)矩陣A必定存在一個(gè)復(fù)數(shù)（或?qū)崝?shù)）z，使得z是A的特征值也就是一定存在一個(gè)非零的n維向量X，使得AX=zX第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三學(xué)生的常規(guī)思維，被動(dòng)接受，一般不會考慮其它的問題，也不會提出其他問題。第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三反向思維啟示反過來問，任意給定一個(gè)復(fù)數(shù)z，能否找到一個(gè)實(shí)矩陣A，以z作為它的特征值？這樣的矩陣如何確定？！這就是數(shù)學(xué)中的反問題或者稱為逆問題。這類現(xiàn)象在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中均大量存在。兩個(gè)雜志介紹：

IP:InverseProblemsQM:QuestionMathematices第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三問題的進(jìn)一步發(fā)散任何一個(gè)n階實(shí)矩陣A，必定存在n個(gè)復(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)）作為它的特征值。反過來，它的逆問題是：任意給定n個(gè)復(fù)數(shù)或者（實(shí)數(shù)），如何來確定一個(gè)實(shí)（復(fù)）矩陣，使得這個(gè)矩陣的n個(gè)特征值剛好就是給定的n個(gè)復(fù)數(shù)？這樣的矩陣是否一定存在？！再進(jìn)一步，要求這個(gè)矩陣還是非負(fù)的（非負(fù)逆特征值問題，NonnegativeInverseEigenvaluesProblem——NIEP）；如果給定的n個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則稱RNIEP再進(jìn)一步問，在給定的n個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)的情況下，確定的矩陣不僅要求是非負(fù)的，而且還要求是對稱的！SNIEP第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三這就是著名的三大公開問題，非負(fù)逆特征值問題NIEPs(NonnegativeInverseEigenvalueseProblems)。它由前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家Kolmogorov在1937年所提出。第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三看看背景1937年,Kolmogorov[1]問一個(gè)問題:何時(shí)一個(gè)給定的復(fù)數(shù)是一個(gè)非負(fù)矩陣的特征值？這個(gè)問題很快得到證明：答案是:任何一個(gè)復(fù)數(shù)都是一些非負(fù)矩陣的特征值[2].Suleimanova([3],[25])在1949擴(kuò)張了Kolmogorov的問題成為如下叫做非負(fù)逆特征值問題nonnegativeinverseeigenvalueseproblem(NIEP)的公開問題.第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三也就是：問題1(NIEP).

確定n個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)n階非負(fù)矩陣的特征值的必要與充分條件。問題1對于n>=4時(shí)仍然是未決問題，n=2時(shí)容易解決，n=3時(shí)已經(jīng)被Loewy和London解決[4](R.LoewyandD.D.London,Anoteonaninverseproblemfornonnegativematrices,LinearandMultilinearalgebra,6(1978),83-90).第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三在同一篇論文中，Suleimanova[3]也給出了下列非負(fù)逆特征值問題，并給出了一個(gè)充分條件問題2(RNIEP).確定n個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)n階非負(fù)矩陣的譜的充分必要條件.問題2仍然是未決問題當(dāng)n>=5.第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三Fiedler[5]在1974年提出了下列對稱非負(fù)的逆特征值問題

問題3(SNIEP).

確定n個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)非負(fù)對稱矩陣的譜的充分必要條件。問題3對于n>=5時(shí)仍然是未決問題.第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三相關(guān)研究背景全世界有許多學(xué)者研究上述這些問題，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，大約有300多篇學(xué)術(shù)論文研究此問題。多次召開專門的國際會議討論，有專門撰寫相關(guān)的學(xué)術(shù)專著的，有廣泛流傳的網(wǎng)絡(luò)資料材料.pdf文件。第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三主要的參考文獻(xiàn)列舉如下[1]A.N.Kolmogorov,Markovchainswithcountablymanypossiblestates,Bull.Univ.Moscow(A)3(1937)1–16(inRussian).[2]H.Minc,NonnegativeMatrices,JohnWileyandSons,NewYork,1988,p166.[3]K.R.Suleimanova,Stochasticmatriceswithrealeigenvalues,SovietMath.Dokl.66(1949)343–345(inRussian).[4]R.Loewy,D.London,Anoteonaninverseproblemfornonnegativematrices,LinearandMultilinearAlgebra6(1978)83–90.[5]M.Fiedler,Eigenvaluesofnonnegativesymmetricmatrices,LinearAlgebraApp.9(1974)119–142.[6]MoodyT.Chu,GeneH.Golub,InverseEigenvalueProblems:Theory,Algorithms,andApplications,OxfordUniversitypress.P93-122.[7]RicardoL.SoTo,Reliabilitybysymmetricnonnegativematrices,http://www.scielo.cl/pdf/proy/v24n1/art06.pdf.[8]A.Borobia,Onthenonnegativeeigenvalueproblem,LinearAlgebraAppl.223–224(1995)131–140.[9]M.Boyle,D.Handelman,Thespectraofnonnegativematricesviasymbolicdynamics,Ann.Math.133(1991)249–316.[10]P.Egleston,Nonnegativematriceswithprescribedspectra,Ph.D.Dissertation,CentralMichiganUniversity,2001.[11]C.Johnson,Rowstochasticmatricessimilartodoublystochasticmatrices,LinearandMultilinearAlgebra10(1981)113–130.第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三[12]C.Johnson,T.J.Laffey,R.Loewy,Therealandthesymmetricnonnegativeinverseeigenvalueproblemsaredifferent,Proc.Amer.Math.Soc.124(1996)3647–3651.[13]F.Karpelevich,Ontheeigenvaluesofamatrixwithnonnegativeelements,Izv.Akad.NaukSSSRSer.Mat.15(1951)361–383.[14]R.B.Kellogg,Matricessimilartoapositiveoressentiallypositivematrix,LinearAlgebraAppl.4(1971)191–204.[15]C.Knudsen,J.J.McDonald,Anoteontheconvexityoftherealizablesetofeigenvaluesfornonnegativesymmetricmatrices,Electron.J.LinearAlgebra8(2001)110–114.[16]T.Laffey,RealizingMatricesintheNonnegativeInverseEigenvalueProblem,TextsinMathematics(SeriesB),Univ.Coimbra,1999,pp.21–32.[17]T.Laffey,E.Meehan,ArefinementofaninequalityofJohnson,Loewy,andLondononnonnegativematricesandsomeapplications,Electron.J.LinearAlgebra3(1998)119–128.[18]T.Laffey,E.Meehan,Acharacterizationoftracezerononnegative5×5matrices,LinearAlgebraAppl.302–303(1999)295–302.[19]J.J.McDonald,M.Neumann,TheSoulesapproachtotheinverseeigenvalueproblemfornonnegativesymmetricmatricesoforder-5,Contemp.Math.259(2000)387–407.[20]L.Mirsky,H.Perfect,Spectralpropertiesofdoublystochasticmatrices,Monatsh.Math.69(1965)35–57.第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三[21]H.Perfect,Methodsofconstructingcertainstochasticmatrices,DukeMath.J.20(1953)395–404.[22]N.Radwan,Aninverseeigenvalueproblemforsymmetricandnormalmatrices,LinearAlgebraAppl.248(1996)101–109.[23]R.Reams,Aninequalityfornonnegativematricesandtheinverseeigenvalueproblem,LinearandMultilinearAlgebra41(1996)367–375.[24]G.Wuwen,Eigenvaluesofnonnegativematrices,LinearAlgebraAppl.266(1997)261–270.[25]XingzhiZhan,MatrixTheory,AcademicPress(InChinese),2008.6.p127.[26]PatriciaD.E