數(shù)學物理方程 分離變量法

數(shù)學物理方程分離變量法第一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三

分離變量法是定解問題的一種基本解法，適用于大量的各種各樣的定解問題，其基本思想是把偏微分方程分解為幾個常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件而構成本特征值問題

2.1特征值問題2.1.1矩陣的特征值問題

矩陣的特征值問題

設A為一n階實矩陣，其特征值滿足一般來說，特征值和線性無關的特征向量不多于n個。任意n階矩陣都有n個線性無關的廣義特征向量，以此n個線性無關的廣義特征向第二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三

量作為的一個新基，矩陣就能夠化為

約當標準型。

實對稱矩陣對角化

若A為一n階實對稱矩陣，存在正交陣T使得其中為實對角陣。設則（2）可以有如下形式或可以看出，正交陣T的每一列都是實對稱陣A的特征向量，并且這nn個特征向量是相互正交的。

定理1n階實對稱陣特征值全為實數(shù)且可以正交對角化。第三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三

特征值問題做線性問題求解中具有重要意義，

下面舉例說明。

為簡化問題，下面例子中，假設A為n階非奇異陣，且有n個線性無關的向量。

例1設，求解線性方程組解A的n個線性無關的特征向量可以作為的一個基。將x，b按此基展開為，則等價于或第四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三由于線性無關，比較系數(shù)有則為原問題的解。

例2設求解非齊次常微分方程組其中為已知向量函數(shù)，解和例1相似，將按基分別展開第五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三則（4）等價于化為n個一階線性方程組的初始值問題，最后再帶回2.1.2一個二階線性微分算子的特征值問題實對稱矩陣A換為二階微分算子A，一般取第六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三下面討論二階線性微分算子的特征值問題。邊界條件，設是A的特征函數(shù)，即且滿足等價于對此特征值問題求解。首先證明非負。因為第七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三積分得第一項分部積分，得故有第八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三當時，方程的通解為，利用邊界條件可得因此，不是特征值。當時，方程的通解為利用邊界條件，確定常數(shù)即有所以第九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三所以，可得故，特征值問題（7）的解為第十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三

2.2分離變量法

對于一個給定的偏微分方程實施變量分離應該具備什么條件？對于任何二階線性（齊次）偏微分方程通過適當?shù)淖宰兞孔儞Q轉化為下列標準形式：

假設：標準形式的解有下列分離的形式其中分別是單個變量的二次可微函數(shù)。第十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三代入標準形式即有討論:1.常系數(shù)偏微分方程若（*）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的

代表，將方程兩邊同除以XY,則第十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三1.常系數(shù)偏微分方程討論:若原方程的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的

代表，將方程兩邊同除以XY,則第十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三要等式恒成立，只能它們等于一個既不依賴于x,也不依賴于y的常數(shù)，記為，從而得到兩個常微分方程2.變系數(shù)偏微分方程對于變系數(shù)函數(shù)

，假設存在某一個函數(shù)

，使得方程除以后變?yōu)榭煞蛛x的形式第十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三上式要恒成立，只有它們均等于同一個常數(shù)，記為，從而得到兩個常微分方程由以上討論知道：對于常系數(shù)二階偏微分齊次方程，總是能實施變量分離

需要滿足一定的條件，即必須找到討論2中適當?shù)暮瘮?shù)才能實施變量分離．但對于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程第十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第一類邊界條件第二類邊界條件邊界條件可實施變量分離的條件一維的情形（設在邊界點處），常見的

三類邊界條件為第三類邊界條件第十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三假設具體定解問題（以弦的橫振動為例）的邊界條件為齊次的：可見，只有當邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數(shù)的邊界條件．此外，進行分離變量時，還須根據(jù)具體情況確定直角坐標系，球坐標系以及柱坐標系．求定解問題的不恒等于零的解須因此得第十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例1

求解兩端固定弦振動方程的混合問題泛定方程：邊界條件：初始條件：對于確定的頻率，解是駐波：波腹波節(jié)每一點繞平衡位置振動振幅隨位置變化駐波解：這是解的分離變量182.2.1齊次邊界弦振動方程定解問題第十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三解分四步求解第一步分離變量，求解特征值問題。即由齊次方程和齊次邊界條件，利用變量分離法導出該問題的特征值問題并求解。令，帶入到對應的齊次方程中得到或左右只能為常數(shù)，記為，則有由第一個方程可得第十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三由齊次邊界條件即又不恒等于0，可得第一個問題可以化為其解為特征值特征函數(shù)第二十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第二步正交分解過程。即將初始條件函數(shù)，自由項以及u(x,t)用特征函數(shù)系表出。這里第二十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三而下面來求。第三步待定系數(shù)法。即先將的級數(shù)帶入原方程中，導出關于滿足的的常微分方程。再利用初值條件求的初始條件。假設可逐項求導，并將第二十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三帶入泛定方程中，可得即比較系數(shù)有第二十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三由令t=0，有比較系數(shù)，有同理比較系數(shù)，有第二十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三所以有第四步求解上面的定解問題，結果代入對齊次方程其通解為第二十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三對應的非齊次方程利用常數(shù)變易法，其解具有這樣的形式第二十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第二十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三由初始條件代入上面的式子，可得第二十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三代入可得又第二十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三所以第三十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三（4）有初始條件確定通解系數(shù)（傅立葉展開）注1分離變量法概要：（1）將齊次偏微分方程分為若干常微分方程（2）參數(shù)常微分方程與齊次邊界條件構成本征值問題（3）將特征解疊加無窮級數(shù)，給出通解31注2

對齊次問題第三十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三記令則簡諧波在弦上固定一點x，則表述了一個振幅為，頻率為，初相位為的簡諧振動。就整個弦來說，這個簡諧波有第三十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三如下的顯著特點：第三十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例2

設有一均勻細弦，其線密度為，若端為自由端，端固定。初始速度和初始位移都為零，并受到垂直于弦線的外力作用，其單位長度所受外力為。求此弦的振動。

解所求問題為利用特征函數(shù)法求解該問題。情形1非共振問題，即該定解問題的特征值問題為第三十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三當時，方程的通解為利用初始條件，求的其解為將按特征函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，即第三十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三令則有比較系數(shù)有第三十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三得滿足得其齊次方程的通解為得其齊次方程的通解為留給同學們計算。第三十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三情形2共振問題，即存在使得不妨假設此時，在情形1中求解所得到的不變。當時，要求解以下問題其齊次方程通解為要求原方程的一個特解，需要將自由項換為，而求以下問題的一個特解第三十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三令并帶入到上面的非齊次方程，可得，所以有取其虛部為原方程的一個特解所以，原方程的通解為由初始條件確定，可得代入第三十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第四十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例3設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動時的位移。解：第四十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第四十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。第四十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三解：例4

求下列定解問題第四十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第四十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第四十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三初始條件第四十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三若l=1,a=10時的震動。第五十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例5

求下列定解問題解：第五十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例6

求下列定解問題令帶入方程：解：第五十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第五十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三2.2.2熱傳導方程定解問題例7

求解下面的熱傳導方程定解問題

解利用特征函數(shù)法求解首先將邊界條件齊次化，取記，則原方程轉化為第六十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三利用變量分離法，解上面的方程令可得特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為將分別按展開成傅里葉級數(shù)第六十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三其中又其中令代入第六十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三可得所以又因為t=0時有第六十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三所以，有此方程為一階常微分方程初值問題，其齊次方程通解為令，代入上面方程，確定系數(shù)得方程通解為用初值條件，可得第六十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三則有又由第六十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三則第六十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例8：細桿熱傳導。初始均勻溫度為，保持一端溫度不變，另一端有恒定熱流流入。第一類邊界條件第二類邊界條件非齊次(不為零)邊界條件,無法直接根據(jù)邊界條件確定本征函數(shù)解＝齊次邊界條件的通解＋非齊次邊界條件的特解非齊次邊界條件的特解：齊次邊界條件的通解:67第六十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三初始條件:分離變量:和68第六十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三“和”是迅速衰減的部分。近似：只保留

k=0項。69第六十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三泛定方程邊界條件本征值問題本征值本征函數(shù)

k=1,2,3…

k=0,1,2,3…

70k=0,1,2,3…

k=0,1,2,3…

第七十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三2.2.3平面上位勢方程定解問題考慮矩形區(qū)域上的Poisson方程邊值問題假設或。否則，利用邊界條件齊次化方法化非齊次邊界條件為齊次邊界條件。當然，也可以利用疊加原理將此問題分解為兩個問題，其中一個關于x具有齊次邊界條件，而另一個關于y具有齊次邊界條件。例9

求解Dirichlet問題第七十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三

解令，代入上面方程的齊次形式，可得可得和第七十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三是的特征值問題，其解為將代入，有該齊次方程有兩個線性無關的解，由于第七十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三也是該齊次方程的兩個線性無關的解，所以其通解為由所以第七十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三所以所以，原方程的解為其中第七十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三非齊次方程特解法設定待求拉普拉斯方程例10:圓域76第七十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三邊界條件令77第七十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例11：78第七十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三的聯(lián)立代數(shù)方程79第七十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例11：求下面扇形域上Dirilet定解問題

解

令，則上式化為令代入上面方程，并結合邊界條件，有第八十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三（1）便是極坐標方程的特征值問題求解特征值問題（1）可得代入（2），有由于求的是有界解，所以有第八十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三所以有利用邊界條件有比較系數(shù)有所以有則第八十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三例12

求定解問題解：將原問題變換到極坐標系下：第八十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第八十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第八十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三第八十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期三2.邊界條件齊次或周期邊界條件？

若否:①令u=v+w(x,t)

，選w,使v滿足齊次邊界,轉3

或②令u=v+w(x)，使v

滿足齊次方程齊次邊界,轉4①