時間序列分析與應用

時間序列分析與應用1第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

在時間序列模型的發(fā)展過程中，一個重要的特征是對統(tǒng)計均衡關系做某種形式的假設，其中一種非常特殊的假設就是平穩(wěn)性的假設。而大多數(shù)經(jīng)濟時間序列都是非平穩(wěn)的，因此，由20世紀80年代初Granger提出的協(xié)整概念，引發(fā)了非平穩(wěn)時間序列建模從理論到實踐的飛速發(fā)展。2第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三非穩(wěn)定序列轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定序列數(shù)據(jù)變量的平穩(wěn)性是傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟分析的基本要求之一。只有模型中的變量滿足平穩(wěn)性要求時，傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟分析方法才是有效的.而在模型中含有非平穩(wěn)時間序列時，基于傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟分析方法的估計和檢驗統(tǒng)計量將失去通常的性質(zhì)，從而推斷得出的結(jié)論可能是錯誤的。因此，在建立模型之前有必要檢驗數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。在很長時間里，學者們在分析經(jīng)濟變量時都假定所分析的數(shù)據(jù)已滿足平穩(wěn)性的要求。3第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三然而，近年來，尤其是納爾遜和普洛瑟(NelsonPlosser，1982)的開創(chuàng)性論文發(fā)表后，隨著計量經(jīng)濟學的發(fā)展，學者們對經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)，尤其是宏觀經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)的看法發(fā)生了根本的變化。許多經(jīng)驗分析表明，多數(shù)宏觀經(jīng)濟變量都是非平穩(wěn)的，由此引發(fā)了宏觀經(jīng)濟分析方法尤其是周期分析方法的一場革命，即“單位根革命”。

4第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三解決的問題1、如何判別虛假回歸（偽回歸）問題？2、怎樣檢驗一組變量存在協(xié)整關系？3、一組變量若存在協(xié)整關系，怎樣建立誤差修正模型？

如何更好的通過已有數(shù)據(jù)反映變量之間的長、短期關系。5第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三一、序列相關三、協(xié)整和誤差修正模型

二、非平穩(wěn)時間序列四、Eviews案例應用

6第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三一、序列相關7第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三§1.1

序列相關及其產(chǎn)生的后果

對于線性回歸模型(1.1)隨機擾動項之間不相關，即無序列相關的基本假設為(1.2)如果擾動項序列ut表現(xiàn)為：(1.3)即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立的，而是存在某種相關性，則認為出現(xiàn)了序列相關性(serialcorrelation)。8第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三由于通常假設隨機擾動項都服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關性也可以表示為：(1.4)特別的，如果僅存在

(1.5)稱為一階序列相關，這是一種最為常見的序列相關問題。

9第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

如果回歸方程的擾動項存在序列相關，那么應用最小二乘法得到的參數(shù)估計量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P可能引起的后果歸納為：②使用OLS公式計算出的標準差不正確，相應的顯著性水平的檢驗不再可信；

③如果在方程右邊有滯后因變量，OLS估計是有偏的且不一致。④回歸得到的參數(shù)估計量的顯著性水平的檢驗不再可信。

①在線性估計中OLS估計量不再是有效的；10第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

EViews提供了檢測序列相關和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關。虛假序列相關是指模型的序列相關是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個重要的解釋變量，資本對產(chǎn)出的影響就被歸入隨機誤差項。由于資本在時間上的連續(xù)性，以及對產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導致隨機誤差項的序列相關。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中?！?.2

序列相關的檢驗方法

11第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

EViews提供了以下3種檢測序列相關的方法。

1．D_W統(tǒng)計量檢驗

Durbin-Watson統(tǒng)計量（簡稱D_W統(tǒng)計量）用于檢驗一階序列相關，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對于擾動項ut建立一階自回歸方程：

(1.6)D_W統(tǒng)計量檢驗的原假設：=0，備選假設是

0。

12第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

如果序列不相關，D.W.值在2附近。如果存在正序列相關，D.W.值將小于2。如果存在負序列相關，D.W.值將在2～4之間。正序列相關最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗，對于有大于50個觀測值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說明殘差序列存在強的正一階序列相關。13第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

Dubin-Waston統(tǒng)計量檢驗序列相關有三個主要不足：1．D-W統(tǒng)計量的擾動項在原假設下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗不再有效。3．僅僅檢驗是否存在一階序列相關。其他兩種檢驗序列相關方法：Q-統(tǒng)計量和Breush-GodfreyLM檢驗克服了上述不足，應用于大多數(shù)場合。

14第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三2.序列相關的LM檢驗

與D.W.統(tǒng)計量僅檢驗擾動項是否存在一階自相關不同，Breush-GodfreyLM檢驗（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應用于檢驗回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗仍然有效。

LM檢驗原假設為：直到p階滯后不存在序列相關，p為預先定義好的整數(shù)；備選假設是：存在p階自相關。檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。15第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

（1）估計回歸方程，并求出殘差et(1.7)

（2）檢驗統(tǒng)計量可以基于如下回歸得到(1.8)

這是對原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和T×R2統(tǒng)計量。F統(tǒng)計量是對式（5.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗。T×R2統(tǒng)計量是LM檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數(shù)T乘以回歸方程（5.1.9）的R2。一般情況下，T×R2統(tǒng)計量服從漸進的2(p)分布。16第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

在給定的顯著性水平下，如果這兩個統(tǒng)計量小于設定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設定的顯著性水平下不存在序列相關；反之，如果這兩個統(tǒng)計量大于設定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關性。

在EView軟件中的操作方法：

選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對高階的，含有ARMA誤差項的情況執(zhí)行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗序列的最高階數(shù)。17第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例1:含滯后因變量的回歸方程擾動項序列相關的檢驗考慮美國消費CS

和GDP及前期消費之間的關系，數(shù)據(jù)期間：1947年第1季度～1995年第1季度，數(shù)據(jù)中已消除了季節(jié)要素，建立如下線性回歸方程：

t

=

1,2,,T

應用最小二乘法得到的估計方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

18第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三如果單純從顯著性水平、擬合優(yōu)度及D.W.值來看，這個模型是一個很理想的模型。但是，由于方程的解釋變量存在被解釋變量的一階滯后項，那么D.W.值就不能作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關的標準，如果殘差序列存在序列相關，那么，顯著性水平、擬合優(yōu)度和F統(tǒng)計量將不再可信。所以，必須采取本節(jié)中介紹的其他檢驗序列相關的方法檢驗殘差序列的自相關性。這里采用LM統(tǒng)計量進行檢驗(p=2)，得到結(jié)果如下：LM統(tǒng)計量顯示，回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關性。19第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

下面給出殘差序列的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)，相關圖如下：

本例1～3階的自相關系數(shù)都超出了虛線，說明存在3階序列相關。各階滯后的Q-統(tǒng)計量的P值都小于5%，說明在5%的顯著性水平下，拒絕原假設，殘差序列存在序列相關。20第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三二、非平穩(wěn)時間序列21第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

如果隨機過程的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于t，則稱ut是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的：注意，如果一個隨機過程是弱平穩(wěn)的，則ut與ut-s之間的協(xié)方差僅取決于s，即僅與觀測值之間的間隔長度s有關。一般所說的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。

對所有的

t

對所有的

t

對所有的

t和

s

(2.1)(2.2)(2.3)§2.1平穩(wěn)時間序列的概念22第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三個模型只適用于刻畫一個平穩(wěn)序列的自相關性。一個平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時間的變化而變化的，時間序列在各個時間點上的隨機性服從一定的概率分布。也就是說，對于一個平穩(wěn)的時間序列可以通過過去時間點上的信息，建立模型擬合過去信息，進而預測未來的信息。

§2.2非平穩(wěn)時間序列建模

23第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

實際上，一般情況下，在我們討論的實證研究問題中，都暗含了殘差序列是一個平穩(wěn)序列。這是因為，如果殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規(guī)則，隨著時間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢，這樣的模型是不能夠用來預測未來信息的。24第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

對于一個非平穩(wěn)時間序列而言，時間序列的數(shù)字特征是隨著時間的變化而變化的。

非平穩(wěn)時間序列在各個時間點上的隨機規(guī)律是不同的，難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的隨機性。因此，對于一個非平穩(wěn)序列去建模，預測是困難的。但在實踐中遇到的經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時間序列。25第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三圖2.1中國1978年～2002年的GDP序列26第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

1.確定性時間趨勢和單位根過程

描述類似圖2.1形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟時間序列有兩種方法，一種方法是包含一個確定性時間趨勢

(2.4)

其中ut是平穩(wěn)序列；a+t是線性趨勢函數(shù)。這種過程也稱為趨勢平穩(wěn)的，因為如果從式(2.4)中減去a+t，結(jié)果是一個平穩(wěn)過程。注意到像圖2.1一類的經(jīng)濟時間序列常呈指數(shù)趨勢增長，但是指數(shù)趨勢取對數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢（彈性概念）。

§2.3非平穩(wěn)序列和單整27第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

另一種常用的方法是設定為單位根過程，非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過差分運算（從式2.5至式2.6的過程），得到具有平穩(wěn)性的序列，考慮下式

(2.5)也可寫成(2.6)

其中a是常數(shù)，ut是平穩(wěn)序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一個白噪聲序列。若令a=0，y0=0，則由式(2.5)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），顯然違背了時間序列平穩(wěn)性的假設。而式(2.6)的差分序列是含位移a的隨機游走，說明yt的差分序列yt是平穩(wěn)序列。28第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

2.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運算，得到平穩(wěn)性的序列稱為單整(integration)序列。定義如下：

定義：如果序列yt，通過d次差分成為一個平穩(wěn)序列，而這個序列差分d–1次時卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt～I(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt～I(0)。29第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的階數(shù)。對于上面的隨機游走過程，有一個單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。

一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價格資產(chǎn)總值、儲蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整I(2)；以不變價格表示的消費額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整I(1)；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整I(0)。30第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

§2.4

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗

檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗。有6種單位根檢驗方法：ADF檢驗、DFGLS檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗、ERS檢驗和NP檢驗，重點將介紹DF檢驗、ADF檢驗。

31第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

DF檢驗的局限性：只有當序列為AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。在這種情況下，使用增廣的DF檢驗方法（augmentedDickey-Fullertest），即用ADF來檢驗含有高階序列相關的序列的單位根。

32第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

ADF檢驗

ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量yt的滯后差分項來控制高階序列相關

(2.7)(2.8)(2.9)33第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三例2檢驗中國GDP序列的平穩(wěn)性

在圖2.1中，我們可以觀察到GDP具有明顯的上升趨勢。在ADF檢驗時選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項。GDP序列的ADF檢驗如下：檢驗結(jié)果顯示，GDP序列以較大的P值，即87.83%的概率接受原假設，即存在單位根的結(jié)論。34第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三將GDP序列做1階差分，然后對ΔGDP進行ADF檢驗，結(jié)果如下：檢驗結(jié)果顯示，ΔGDP序列在5%的顯著性水平下拒絕原假設，接受不存在單位根的結(jié)論，即GDP～I(1)。

35第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三三、協(xié)整和誤差修正模型

36第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三一般而言，經(jīng)濟變量非平穩(wěn)，多為I(1)或I(2)。變量非平穩(wěn)，但某些經(jīng)濟變量的線性組合卻有可能是平穩(wěn)的。比如凈收入與消費、政府支出與稅收、男、女人口比例等都存在這種均衡關系。雖然經(jīng)濟變量在變化中經(jīng)常會離開均衡點，但內(nèi)在的均衡機制將不斷地消除偏差維持均衡關系。非平穩(wěn)經(jīng)濟變量間存在的這種長期穩(wěn)定的均衡關系稱作協(xié)整(co-integration)。協(xié)整是對非平穩(wěn)經(jīng)濟變量長期均衡關系的統(tǒng)計描述。37第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

§3.1

協(xié)整的定義

k維向量Yt=（y1t，y2t，…，ykt）的分量間被稱為d,b階協(xié)整，記為Yt～CI(d，b)，如果滿足：

(1)Yt～I(d)，要求Yt的每個分量yit

～I(d)；(2)存在非零向量，使得

Yt～I(d-b)，0<b≤d。簡稱Yt是協(xié)整的，向量

又稱為協(xié)整向量。

38第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三協(xié)整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，如Johansen協(xié)整檢驗；另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，如CRDW檢驗、DF檢驗和ADF檢驗。

本節(jié)將主要介紹Engle和Granger（1987）提出的協(xié)整檢驗方法。這種協(xié)整檢驗方法是對回歸方程的殘差進行單位根檢驗。從協(xié)整理論的思想來看，自變量和因變量之間存在協(xié)整關系。

§3.2

協(xié)整檢驗39第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

也就是說，因變量能被自變量的線性組合所解釋，兩者之間存在穩(wěn)定的均衡關系，因變量不能被自變量所解釋的部分構(gòu)成一個殘差序列，這個殘差序列應該是平穩(wěn)的。40第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三通常地，可以應用上節(jié)中的ADF檢驗來判斷殘差序列的平穩(wěn)性，進而判斷因變量和解釋變量之間的協(xié)整關系是否存在。？變量是否協(xié)整？殘差序列是否平穩(wěn)41第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

檢驗的主要步驟如下：（1）若k個序列y1t和y2t，y3t，…，ykt都是1階單整序列，建立回歸方程模型估計的殘差為

42第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

（2）檢驗殘差序列?t是否平穩(wěn)，也就是判斷序列?t是否含有單位根。通常用ADF檢驗來判斷殘差序列?t是否是平穩(wěn)的。

（3）如果殘差序列?t是平穩(wěn)的，則可以確定回歸方程中的k個變量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之間存在協(xié)整關系，并且協(xié)整向量為；否則（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之間不存在協(xié)整關系。43第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

協(xié)整檢驗的目的：判別一組非穩(wěn)定序列的線性組合是否具有協(xié)整關系，即：通過協(xié)整檢驗來判斷線性回歸方程設定是否合理、穩(wěn)定。

利用ADF的協(xié)整檢驗方法來判斷殘差序列是否平穩(wěn)，如果殘差序列是平穩(wěn)的，則回歸方程的設定是合理的，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間存在穩(wěn)定的均衡關系。反之，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間不存在穩(wěn)定均衡的關系，即便參數(shù)估計的結(jié)果很理想，這樣的一個回歸也是沒有意義的，模型本身的設定出現(xiàn)了問題，這樣的回歸是一個偽回歸。44第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

§3.3誤差修正模型

誤差修正這個術語最早是由Sargen(1964)提出的，但是誤差修正模型基本形式的形成是在1978年由Davidson、Hendry等提出的。傳統(tǒng)的經(jīng)濟模型通常表述的是變量之間的一種“長期均衡”關系，而實際經(jīng)濟數(shù)據(jù)卻是由“非均衡過程”生成的。因此，建模時需要用數(shù)據(jù)的動態(tài)非均衡過程來逼近經(jīng)濟理論的長期均衡過程。最一般的模型是自回歸分布滯后模型(autoregressivedistributedlag，ADL)。45第四十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期三

如果一個內(nèi)生變量yt

只被表示成同一時點的外生變量

xt的函數(shù)，xt對yt

的長期影響很容易求出。然而如果每個變量的滯后也出現(xiàn)在模型之中，其長期影響將通過分布滯后的函數(shù)反映，這就是ADL模型。先考慮一階自回歸分布滯后模型，記為ADL(1,1)