線性代數(shù)第四章知識(shí)要點(diǎn)課件

(3)

向量的線性運(yùn)算若

=(a1,

a2,···,an),=(b1,b2,···,bn),則＝△

+(a1+b1,a2+b2,···,an+bn);＝△(a1,a2,···,an

),其中R.

4)

線性運(yùn)算滿足下列八條規(guī)律:

+=+;(+)+·=+(+·);

+0=;

+(-)=0;1·=;

()=();

(+)=+;(+)=+,其中

,,·為n

維向量,,R.

2.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

(1)

線性組合，線性表示，線性相關(guān)設(shè)有n

維向量組A:1,2,···,m,B:1,2,···,s,對(duì)于向量

,如果有一組數(shù)1,2,···,m,使

=11+22+···+mm,則稱向量是向量組A

的線性組合,或稱可由A線性表示.如果存在一組不全為零的數(shù)

k1,

k2,···,km,使k11+

k22+···+

kmm=0,則稱向量組A

線性相關(guān),否則稱A

線性無(wú)關(guān).

如果向量組

A

中的每一個(gè)向量都能由向量組B

中的向量線性表示,則稱向量組A

能由向量組B

線性表示

.如果A

能由B

線性表示,且B

也能由A

線性表示,則稱A

與B

等價(jià).

向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性.

(2)

線性相關(guān)的性質(zhì)

定理1向量組1,2,···,m(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余m

-1個(gè)向量線性表示.

定理2

設(shè)1,2,···,m

線性無(wú)關(guān),而1,2,···,m,

線性相關(guān),則能由1,2,···,m

線性表示,且表示式是唯一的.(3)

線性相關(guān)性的判定定理

定理3若1,2,···,r

線性相關(guān),則1,2,···,r,r+1,···,m也線性相關(guān).定理4

r

維向量組的每個(gè)向量添上n-r

個(gè)分量,成為n維向量組,若r維向量組線性無(wú)關(guān),則

n維向量組也線性無(wú)關(guān).反言之,若n

維向量組線性相關(guān),則

r維向量組亦線性相關(guān).定理5

m

個(gè)n

維向量組成的向量組,當(dāng)維數(shù)n

小于向量個(gè)數(shù)m

時(shí)一定線性相關(guān).

3.向量組的秩

(1)定義設(shè)有向量組T,如果

(i)

在T

中有r

個(gè)向量1,2,···,r

線性無(wú)關(guān);

(ii)

T

中任意r+1個(gè)向量(如果T

中有r+1個(gè)向量的話)都線性相關(guān),那么稱1,2,···,r

是向量組T

的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組,簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組;數(shù)r

稱為向量組T

的秩.并規(guī)定:只含零向量的向量組的秩為0.

(2)性質(zhì)

性質(zhì)1向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它所含向量個(gè)數(shù)等于它的秩.

性質(zhì)2設(shè)矩陣A的某個(gè)

r階子式D是A的最高階非零子式,則D所在的r

個(gè)行向量即是矩陣A的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;D

所在的r個(gè)列向量即是矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.

性質(zhì)3

R(A)=A的行秩=A的列秩.

性質(zhì)4

設(shè)向量組A:1,2,···,r

是向量組T的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,則向量組A

與向量組T

等價(jià).

定理6

設(shè)有兩個(gè)向量組:

A:1,2,···,r,

B:1,2,···,s

,如果A

組能由B

組線性表示,且A

組線性無(wú)關(guān),則A

組所含向量個(gè)數(shù)

r

不大于B

組所含向量個(gè)數(shù)s,即r

≤

s.

推論1

設(shè)向量組A

的秩為r1,向量組B

的秩為r2,若A

組能由

B

組線性表示,則r1

≤

r2.

推論2

等價(jià)的向量組有相同的秩.

4.向量空間

(1)

設(shè)V

為

n

維向量的集合,如果集合V

非空且集合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉,那么就稱集合V

為向量空間.

所謂封閉,是指對(duì)V,V

及k

R,有

+V,kV.

(2)由向量組1,2,···,m所生成的向量空間為

L={x|x=k11+k22+···+kmm|k1,···,km

R}.

(3)設(shè)有向量空間V1及V2,若V1V2,就稱V1是V2的子空間.

(4)設(shè)V為向量空間,如果r

個(gè)向量

1,2,···,r

V,且滿足

(i)

1,2,···,r線性無(wú)關(guān);

(ii)

V中任一向量都可由1,2,···,r線性表示.那么,向量組1,2,···,r

就稱為向量空間V的一個(gè)基,r稱為向量空間V的維數(shù),并稱V

為

r維向量空間.二

基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)

基本要求

1.

掌握n

維向量的概念,能熟練地進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.

2.

掌握線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、最大無(wú)關(guān)組等概念.能熟練地判斷向量組的線性相關(guān)性,求出其最大無(wú)關(guān)組.

3.

掌握向量組的秩、矩陣的秩、矩陣的等價(jià)等概念,會(huì)求向量組的秩和矩陣的秩.

4.

掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu),會(huì)求方程組的解.重點(diǎn)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、最大無(wú)關(guān)組、秩等概念;判斷線性相關(guān)性及求秩的方法.

難點(diǎn)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念及其判定法.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容