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文檔簡介
1可用留數(shù)定理求得:設(shè)除在半平面內(nèi)有限孤立奇點(diǎn)拉普拉斯逆變換記為外是解析的,且當(dāng)時(shí),則有2積分變換有下述基本性質(zhì):(1)線性性質(zhì)(2)微分定理1其中是任意常數(shù)。若都可進(jìn)行傅里葉變換(拉普拉斯變換),且在無窮遠(yuǎn)處為0,3(3)微分定理2(4)卷積定理若則有傅里葉變換拉普拉斯變換如果的卷積可作傅里葉變換,則從而對(duì)于拉普拉斯變換也有同樣的卷積定理。4(5)頻移定理(位移定理)(6)延遲定理傅里葉變換拉普拉斯變換傅里葉變換拉普拉斯變換若則有若則有對(duì)變換的參變量而言對(duì)變換的自變量而言其中可簡化為5證明拉普拉斯變換的延遲定理若則有其中證明由拉氏變換的定義知令則上式變?yōu)樽筮?右邊6補(bǔ)充函數(shù)的定義及性質(zhì)(一)函數(shù)的定義:函數(shù)是從某些物理現(xiàn)象中抽象出來的數(shù)學(xué)模型,例如:力學(xué)中瞬間作用的沖擊力,原子彈、氫彈的爆炸等,這些物理現(xiàn)象有個(gè)共同特點(diǎn),即作用時(shí)間極短,但作用強(qiáng)度極大。滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)(沖激函數(shù))(1)(2)若沖激作用不是發(fā)生在處,而是發(fā)生在處,則函數(shù)記為且滿足7(二)函數(shù)的性質(zhì):補(bǔ)充函數(shù)的定義及性質(zhì)(1)抽樣性質(zhì):(2)對(duì)稱性:特別的,為偶函數(shù),則有特別的,自然也有8例1求函數(shù)的傅里葉變換,其中是與自變量無關(guān)的數(shù)。解由定義知利用函數(shù)的性質(zhì)則有同理可得9利用和傅里葉變換的線性性可得從而有公式10例2求的傅里葉變換,其中解由定義知由例2結(jié)論可得11例3求的傅里葉逆變換,其中解由定義知對(duì)求導(dǎo),并利用一次分部積分得12例3求的傅里葉逆變換,其中解利用歐拉(Euler)積分公式知由例3結(jié)論可得13例4求的傅里葉逆變換,其中解由定義知由例4結(jié)論可得14幾類常見的傅里葉變換或逆變換1.2.3.4.5.15幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換1.3.4.特別的,2.5.6.延遲定理的逆變換形式16幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換8.7.余誤差函數(shù)事實(shí)上,拉氏變換微分定理117例5用拉普拉斯變換求解記對(duì)方程兩邊作解拉普拉斯變換得因此對(duì)上式作拉普拉斯逆變換得183.3.1積分變換法舉例積分變換法的優(yōu)點(diǎn)在于把原方程化為較簡單的形式,便于求解。在應(yīng)用上,對(duì)于初值問題通常采用傅氏變換(針對(duì)空間變量),而對(duì)于帶有邊界條件的定解問題,則采用拉氏變換(針對(duì)時(shí)間變量的)。例1求解下列問題的解(37)(38)解首先對(duì)進(jìn)行傅氏變換,記19例1求解下列問題的解(37)(38)解首先對(duì)進(jìn)行傅氏變換,記對(duì)方程(37)兩端關(guān)于取傅氏變換,得(39)它滿足初值條件(40)為了求解常微分方程初值問題(39)(40),記20例1求解下列問題的解(37)(38)解(39)(40)為了求解常微分方程初值問題(39)(40),記對(duì)方程(39)兩端關(guān)于取拉氏變換,并結(jié)合條件(40)得21例1求解下列問題的解(37)(38)對(duì)方程(39)兩端關(guān)于取拉氏變換,并結(jié)合條件(40)得(41)對(duì)式(41)兩邊取拉氏逆變換,得22例1求解下列問題的解(37)(38)對(duì)式(41)兩邊取拉氏逆變換,得(42)為了求出問題(37)(38)的解,還需要對(duì)取傅氏逆變換。23例1求解下列問題的解(37)(38)(42)對(duì)(42)式兩端取傅氏逆變換,得利用卷積定理得24例1求解下列問題的解(37)(38)利用結(jié)論可知?jiǎng)t可得25例1求解下列問題的解(37)(38)則可得即得原定解問題的解。26例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)解將(43)各式的兩端關(guān)于進(jìn)行傅氏變換,記假定則得(44)問題(44)式帶參數(shù)的常微分方程的初值問題,其解為27例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)(45)對(duì)式(45)取傅氏逆變換(46)利用結(jié)論28例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)利用結(jié)論因此可得(46)29例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)利用結(jié)論因此可得(46)將所得結(jié)果代入(46)式,得原問題(43)的解為30例3求解下列問題的解(47)解將(47)各式的兩端關(guān)于分別作傅氏變換,記則(47)化為解問題(48)得(48)31例3求解下列問題的解(47)對(duì)上式取傅氏逆變換得利用結(jié)論(49)即得原問題(47)的解為32例4求解下列問題的解(50)解將(50)(52)(53)的兩端對(duì)分別作拉氏變換,記則問題(50)-(53)化為(51)(52)(53)(54)(55)(56)33是一個(gè)充分大的正數(shù)。(54)(55)(56)其中方程(54)的通解為則問題(50)-(53)化為(57)由條件(56)知再由條件(55)知于是有對(duì)式(57)作拉氏逆變換,得(58)34(50)(51)(52)(53)(58)首先利用結(jié)論則有35(50)(51)(52)(53)(58)再利用拉氏變換的微分定理1則有36(50)(51)(52)(53)(58)于是,原問題(50)-(53)的解為37例5求解半無界弦的自由振動(dòng)問題(59)解將(59)(61)的兩端對(duì)分別作拉氏變換,記則問題(59)-(61)化為(60)(61)(62)(63)其中為已知函數(shù)(滿足拉氏變換條件),且38方程(62)的通解為(62)(63)由條件(63)知于是有對(duì)上式取拉氏逆變換,得(64)利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式39(64)利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式可知?jiǎng)t(64)式可化為即得半無界弦的自由振動(dòng)問題(59)-(61)的解。40例6求解解顯然,對(duì)作拉氏變換,記則問題(65)可化為(65)(66)(67)方程(66)的通解為41由條件(67)知于是有(66)(67)方程(66)的通解為對(duì)上式取拉氏逆變換,則得問題(65)的解此解用分離變量法求得的解是完全一樣的。42(3)(4)(18)1無限長弦自由振動(dòng)問題的達(dá)朗貝爾解為公式(13)其中方程(3)的通解形式為行波法或達(dá)朗貝爾解法本章小結(jié)43
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