2022年上海某中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

2022年上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

一、填空題

1.(3分)如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“上”字所在面相對的面上

2.(3分)下面圖1、2、3可分別用于說明—.

(A、“勾股定理”；3、“平方差公式”：C、“完全平方公式”；將A、B、C按對應(yīng)順序

3.(3分)使得16000.仁)"的值是一個(gè)正整數(shù)的整數(shù)”一共有一個(gè).

4.(3分)設(shè)動直線x=f與函數(shù)y=f(x)的圖象交于點(diǎn)P(f,/⑴)，與函數(shù)y=g(x)的圖象

交于點(diǎn)g(/)),當(dāng)展小翅寸，總有PQ,1恒成立，則稱函數(shù)f(x)與g(x)在戰(zhàn)!kh上是

“逼近函數(shù)”，則下列結(jié)論:

①函數(shù)y=-色與丫=色在—啜k1上是“逼近函數(shù)

'2?2

②函數(shù)y=5x與y=x?+5在3勉k4上是“逼近函數(shù)”；

③函數(shù)y=f-l與y=2/-x在魄》1上是“逼近函數(shù)”，其中，正確的命題序號是—.

5.(3分)如果方程+(10+A)x-2Z=0的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的邊長，

則實(shí)數(shù)無=.

6.(3分)如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰

影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為

7.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-6,0)、B(-2,2),動點(diǎn)P在直線y=—x上，動

點(diǎn)。在x軸上，則AP+PQ+Q3的最小值為.

8.(3分)設(shè)玉，x2,x3,%0G是整數(shù)，且滿足下列條件：

①-掇必2,i=l,2,3,....100；

(2)X]+x)+七+,■?+與oo=20；

2

③占2+考+X；+…+xjno=100,則X；+E+石+…+M0ft的最小值和最大值的和為.

9.(3分)如圖，一只小蟲沿著圖示的六邊形構(gòu)成的格子從點(diǎn)力爬行到點(diǎn)8,標(biāo)記有箭頭的

邊只能按箭頭方向爬行，且小蟲爬行同一條邊最多一次，則共有種不同的爬行

二、解答題

10.斜邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形是否全等？判斷并給出理由.

11.有一矩形紙片ABC。，AB=a,BC=b,將矩形ABC。沿對角線AC對折后放于桌面

上，探究其覆蓋桌面的面積.

12.我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)與向量相乘，對于兩個(gè)非零向量&和5,且存在唯一實(shí)數(shù)九，

使得萬=焉，記作/團(tuán)，拉=2,如圖，已知A、B、C、。為同一直線上順次四點(diǎn).

⑴若f（而,DB）=-2,則f（而,AD）=

⑵若您自啰=7,則稱A、B、C、O為調(diào)和點(diǎn)列，請?zhí)骄看藭r(shí)A3、AC、AD這

f(AD,DB)

三條線段的長度滿足的關(guān)系，并證明.

~ACBD~

2022年上海中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題

1.(3分)如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“上”字所在面相對的面上

的漢字是迎

【分析】正方體的平面展開圖中，相對的面一定相隔一個(gè)正方形，據(jù)此作答.

【解答】解：由圖可知，與“上”字所在面相對的面上的漢字是“迎”，

故答案為：迎.

2.(3分)下面圖1、2、3可分別用于說明

(A、“勾股定理”；3、“平方差公式”；C、“完全平方公式”；將A、B、C按對應(yīng)順序

【分析】根據(jù)勾股定理、完全平方公式、平方差公式解決此題.

【解答】解：由圖1得,(?+b)2=a2+b2+2ab,那么可說明C完全平方公式.

由圖2得，設(shè)大正方形的邊長為c,則2必+(a-b)2=c2,即/+匕2=°2,那么可說明A勾

股定理.

由圖3得，(a+b)(a-b)=a2-b2,那么可說明3平方差公式.

故答案為：C、A、B.

3.(3分)使得16000.(|)"的值是一個(gè)正整數(shù)的整數(shù)〃一共有4個(gè).

【分析】因?yàn)?6000=5、x128,根據(jù)16000.(7"的值是一個(gè)正整數(shù)，則〃可以取0,1,2,3.

【解答】解：原式=53xl28x2.

5〃

?.?16000.(])"的值是一個(gè)正整數(shù)，

可以取0,1,2,3,

???”一共有4個(gè).

故答案為：4.

4.(3分)設(shè)動直線x=「與函數(shù)y=/(x)的圖象交于點(diǎn)P(f,與函數(shù)y=g(x)的圖象

交于點(diǎn)Qa,g(f)),當(dāng)成11b時(shí)，總有PQ,,1恒成立，則稱函數(shù)f(x)與g(x)在戰(zhàn)火b上是

“逼近函數(shù)”，則下列結(jié)論：

①函數(shù)y=-2與y=f在-1致k1上是“逼近函數(shù)”；

22

②函數(shù)y=5x與y=f+5在琛上4上是“逼近函數(shù)”；

③函數(shù)y=V-l與y=2V—x在怎/1上是“逼近函數(shù)”，其中，正確的命題序號是①

@(§).

【分析】由“逼近函數(shù)”定義逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：由“逼近函數(shù)”定義知在源!kb上，"(x)-g(x)|,,l時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)在

戰(zhàn)亂6上是“逼近函數(shù)”，

AXX

令y=----------=一工,

122

當(dāng)-啜上1時(shí),弘最大為1,必最小為-1,

???函數(shù))=-楙與y=5在-掇/1上是“逼近函數(shù)”，①正確;

在3領(lǐng)k4上，當(dāng)x=4時(shí)，%最大為1，當(dāng)x=3時(shí)，％最小為一1，

二.函數(shù)y=5x與y=f+5在3領(lǐng)k4上是“逼近函數(shù)”，②正確；

13

222

令y3=2x-x-(x-1)=^-x+l=(x--)+—,

ia

在原k1上，當(dāng)x=0和x=l時(shí)，出取最大值1，%時(shí)，％取最小值為:，③正確;

故答案為：①②③.

5.(3分)如果方程V-7/+(10+幻工-24=0的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的邊長，

則實(shí)數(shù)k=6或紀(jì).

4-

【分析】先確定x=2是方程的一個(gè)根，再由Y—5x+Z=0有兩個(gè)相等的根或Y—5x+Z=0

有一個(gè)根是2,分別求解％的值，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【解答】解:由題意可知爐-7/+(10+&)*-2&=0有兩個(gè)相等的根，

?.?當(dāng)x=2時(shí)，x3-lx2+(\0+k)x-2k=0,

x3-7x2+(10+-2無=(x-2)(x2-5x+k),

?.?方程的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的邊長，

.?.》2一5》+々=0有兩個(gè)相等的根或丁—5%+么=0有一個(gè)根是2,

當(dāng)V-5x+/=0有兩個(gè)相等的根時(shí)，△=25-4%=0,

解得A="，

4

此時(shí)方程的根為x=9,

2

三角形的三條邊長分別為2,-；

22

當(dāng)x2-5x+%=0有一個(gè)根是2時(shí)，k=6,

此時(shí)方程的根為x=2或x=3,

，三角形的三條邊長分別為2,2,3；

綜上所述：k的值為6或生，

4

故答案為：6或4.

4

6.(3分)如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰

影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為22土盛燈.

-3-

【分析】如圖，為BC邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到AB=AC=8C=8,則可判斷

A48C為等邊三角形，則C〃=4,利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC=晅

3

再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到0。的半徑。"=℃+以=苧+|’然后用大圓的面積減去

15個(gè)小圓的面積得到陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，O”為8C邊的高,

?.?所有小圓相切,

:.AB=AC=BC=8,

.?.AAfiC為等邊三角形,

.-.ZOCB=30o

.OHme,

.\CH=4,

:.OH=—CH=—

33

OC=2OH=—

39

???（DC與oo相切,

.??OO的半徑OE=OC+CE=^+1,

,陰影部分的面積=7x（號，+1）2-15xzrxl2=22+：百萬.

故答案為：號3.

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4-6,0）、8（-2,2）,動點(diǎn)P在直線y=-x上，動

點(diǎn)。在x軸上，貝IAP+PQ+Q8的最小值為_3夜+后一

【分析】作3點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)6,作于P,連接即交x軸于點(diǎn)。，由垂線段

最短以及兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)AP+PQ+Q3最短.

【解答】解：作5點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)長，作于尸，連接即交x軸于點(diǎn)。，此時(shí)

PQ+BQ=PB',

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,2).

由直線y=—x可知NAOP=45。，

.?.AAOP是等腰直角三角形，

,,,A(-6,0),

AP=火。.遮x6=3&,P(-3,3),

22

PB'=J(-3+2)2+(3+2)2=病，

AP+PQ+QB=3y/2+>j26.

故答案為：3x/2+726.

8.(3分)設(shè)n，3,x3,x1co是整數(shù)，且滿足下列條件:

①—掇k2,z=1>2,3,...,100；

②%+9+F+...+X0G=20；

③x：+￥+與+…+4）=100,則x：+￡+W+…+工3的最小值和最大值的和為160.

【分析】由題意可設(shè)玉，x2,不，…，Moo中有。個(gè)一1，b個(gè)0，c個(gè)1，d個(gè)2,再由已

知列關(guān)于a,b,c,d的方程組，把a(bǔ),b,c用d表示，求出d的范圍，即可求解

d+石+X；+…+X：x）的最小值和最大值的和.

【解答】解：由題意可設(shè)X1,工2,尤3，…，方00中有。個(gè)一1，6個(gè)0,。個(gè)1,d個(gè)2,

則a+Z?+c+d=100,—a+c+2J=20,a+c+4d=100,

可得。=40-4,b=3d,c=60-3d,

+x；+...+=—ct+c+8d=20+6d,

J..0

40-d0

由，解得：姍20,

3d..O

60-3J..0

，當(dāng)d=0時(shí)，x：+石+x；+…0a的最小值為20,

當(dāng)d=20時(shí)，d+云+X；+…+M0G的最大值為140.

二.片+。+4+...+匕）o的最小值和最大值的和為160.

故答案為：160.

9.（3分）如圖，一只小蟲沿著圖示的六邊形構(gòu)成的格子從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)3,標(biāo)記有箭頭的

邊只能按箭頭方向爬行，且小蟲爬行同一條邊最多一次，則共有64種不同的爬行路

徑.

【分析】如下圖，將圖形分為五步，分別求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五

步的路徑次數(shù)，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路徑次數(shù)的乘積，即

可求出爬行路徑種數(shù).

【解答】解：如下圖，將圖形分為五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五

步的路徑種數(shù)，

第一步：2；

第二步：2；

第三步：4；

第四步：2；

第五步：2；

2X2X4X2X2=64,

二則共有64種不同的爬行路徑.

故答案為：64.

二、解答題

10.斜邊和斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形是否全等？判斷并給出理由.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：全等，理由如下：

證明：設(shè)點(diǎn)O,O,分別為49的中點(diǎn)，則CO=C(7,

?.?8_143于￡),C'￡)'_LA'E于。'，

.-.ZCDB=ZC'iyB'=90°,

RtACDO=RtACDO(HL),

:.ZCOD=ZC'O'D',

.CO=BO,CO=BO,

:.ZOCB=NB,NOCB=NF,

ZB=-(180°-ZCOB)>ZB(=-(l80°-ZCVB1),

22

:.ZB=AB,

11.有一矩形紙片ABC。，AB=a,BC=b,將矩形ABC。沿對角線AC對折后放于桌面

上，探究其覆蓋桌面的面積.

【分析】由圖形可知：折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是原矩形的面積減去重合的部分的

面積，只要求出重合的部分的面積即三角形AEC的面積即可得出結(jié)果.

解：設(shè)折疊后所成圓形覆蓋桌面的面積為S,5<。)，貝心

s=s。BC+S^EDC=/S矩形ABCD+SASC

由RtAABE=RtZ^S石，得召C=AE,

設(shè)EC=x,貝1)"2+8￡=%2,

即a2+(b-x)2=x2,"+",

2b

解得：1=塵土生，

2b

aa2+b2_a3+ab1

c，

^M￡C=22b=4b

32322

,c_1cc_1,1,a+ab4加-a-ab_3ab-o'

??3—33矩形ABCD+XED'C_/+W時(shí)-~^b一—4b~

當(dāng)a＞人時(shí)，同理,

bh2+cTh3+crb

SgEC二

22a~4a

3a2b-b3

224b44

故答案為：*/或石產(chǎn)

12.我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)與向量相乘，對于兩個(gè)非零向量G和6,且&//B,存在唯一實(shí)數(shù)

使得&=義5,記作/①，6）=幾，如圖，已知A、B、C、。為同一直線上順次四點(diǎn).

（1）若f（AD，DB）=-2,則f（DB,AD）=--；

—2—

⑵