微積分ii高中喜老師

§2.3

三重積分的計算一、在直角坐標系中的計算與二重積分類似，三重積分

f

(x,y,z

)dxdydzV也可以化為三次積分來進行計算。下面我們通過計算物體的質(zhì)量來得到三重積分的計算公式.將V投影到xoy面上，得投影閉Dxy，以Dxy的邊界曲線為準線，作母線平行于z軸的柱面，該柱面與區(qū)域V的邊界曲面的交線把V的邊界曲面分成上、下兩部分，其方程分別是設(shè)空間閉區(qū)域V的邊界曲面與平行于z軸穿過V的內(nèi)部的直線交點不多于兩個，S1

:

z

=

z1

(

x,

y),S2

:

z

=

z2

(

x,

y),z1

(x,y),z2

(x,y)在Dxy上連續(xù)，且z1

(x,y)￡

z2

(x,y)假設(shè)V中分布有體密度為f

(x,y,z)的某種物質(zhì)，在Dxy上點(x,

y)處取面積元素ds

=

dxdy以ds的邊界曲線為準線，作母線平行于z

軸的細長柱體，，該細長柱體可以看成以z為變量的細桿，它通過曲面S1:

z

=z1

(x,y)

進入?yún)^(qū)域V然后，通過曲面S2

:

z

=

z2

(

x,

y)穿出區(qū)域V外，其進入點與穿出點的豎坐標分別是與z

=

z1

(

x,

y)

z

=

z2

(

x,

y)因此，該細長柱體的質(zhì)量為：(

)(

)2z x

,

yfx,

y,

z

dz

dxdy.

z1

(x,

y

)(

)(

)2z x

,

yDxyfx,

y,

z

dz

dxdy.m

=

z1

(x,

y

)

(

)

(

)12xyy如果Dxy表示為

D

=x

￡

y

￡

y

x

,(

)(

)(

)22by

xz x

,

yay1

(x

)z1

(x,

y

)dxdyfx,

y,

z

dz.則有

m

=這里對

z

積分時，先將

x

,

y

看成常數(shù)，此時f

(x,y,z)只看作z

的函數(shù).a

￡

x

￡

b,于是總質(zhì)量為：所求質(zhì)量就是所要求的三重積分的值V

V

f

(x,

y,

z

)dV

=

f

(x,

y,

z

)dxdydz(

)(

)1xyz2

(x

,

y

)z x

,

yDdxdyfx,

y,

z

dz=

(

)(

)

(

)1

1by2

(x

)z2

(x

,

y

)a

y

xz x

,

ydxdyfx,

y,

z

dz.=類似地，可以將區(qū)域V投影到y(tǒng)oz、zox平面上，可得三重積分按其它順序的三次積分。DxyDxyy=1-x11的點在平面z=0,

離開區(qū)域V的點在平面z=1-x-y上.例1

計算三重積分

ydxdydz

，其中V為三個0

￡

z

￡

1

-

x

-

yV坐標面及平面x

+y

+z

=1所圍成的閉區(qū)域.解

在Dxy

內(nèi)任取一點，作

平行于z

軸的直線，進入?yún)^(qū)域VV

=

0

￡

y

￡

1

-

x

0

￡

x

￡

1100dx1-

x=y

(1

-

x

-

y

)dy(

)(

)131=1

-

x

3

-

131

-

x

dx0

224=

1

.000dxdyydz1 1-

x1-

x-

y

0

￡

z

￡

1

-

x

-

yV

=

0

￡

y

￡

1

-

x

0

￡

x

￡

1ydxdydz

=Vz=y例2計算

x2

zdv其中V是由拋物柱面y

=x2V與平面z

=0,

y

=1,z

=y圍成的閉區(qū)域.解

x2

zdVV2120yxdyx

zdz-11=

dx

211xx2dxy2dy-1=

11216-1=x2

(1

-

x6

)dx27=

2

.2y

=

x11解例3

化三重積分I

=

f

(x,y,z)dxdydz為三次W積分，其中積分區(qū)域W

為由曲面z

=x2

+2

y2及z

=2

-x2所圍成的閉區(qū)域.2

z

=

x2

+

2

y2z

=

2

-

x由得交線投影區(qū)域Dxyx2

+

y2

￡

1,1dxf

(x,

y,z)dz.\

I

=1-

x2

2-

x2-1

-

1-

x2

x2

+2

y2dy122

x2

+

2

y2

￡

z

￡

2

-

x2￡

y￡

1

-

x故V：-1

-x-1

￡

x

￡

1以上將三重積分化為三次積分是先計算一個定積分再計算一個二重積分，稱之為“先一后二”。事實上，我們也可以先計算一個二重積分，再作一個定積分，我們稱之為“先二后一”。下面進行討論：(2

"

z

?

c1

,c2用過z

點且平行于xoy(1)把積分區(qū)域V向某軸(例如z軸投影，得投影區(qū)間：c1

,c2面的平面去截V，得截面Dz(3)計算二重積分

f

(x,y,z

)dxdyDz其結(jié)果為z

的函數(shù)；cc1

D

z（4）最后計算定積分

2

f

(x,y,z

)dxdy

dz.0V

Dzdxdy

,zdxdydz

=

zdz

1Dz

dxdy

=

2(1

-

z)(1

-

z)解10原式=z

1

(1

-

z)2dz

=

1

2

24x

+

y

=

1

-

zV坐標面及平面x

+y

+z

=1所組成的閉區(qū)域.1例4

計算三重積分

zdxdydz，其中V為三個例5V計算

e

z

dv，V

:

x2

+

y2

+

z2

￡

1.解zze

dv

=

2

e

dv

V

V上10zDze

dzdxdy=

210=

2p

(1

-

z2

)ezdz=

2p

.注:1.被積函數(shù)中只含有一個變量;2.

截面圖形是一規(guī)則圖形,且易于計算該圖形的面積.x2

y2

z2z2dxdydz,

其中是由橢球面+

+

=1a2

b2

c2V所圍成的空間區(qū)域.例6:ozyxc-cz2

dz

dxdyDz解:原式=)Dz

=

(x

,

y

)|x2y2+￡

1z2z2a2(1-)

b2(1-c2c2zz2

z2

z2

a2

1

-2

=

pab

1

-2

c

c

c

\

dxdy

=

pD22

b

1

-c4-cz2

2

3pab

1

-

2

z dz

=

pabcc

15\原式=注:對稱性的應(yīng)用應(yīng)注意兩點(以下兩條件缺一不可)VV

V上1.

區(qū)域V有對稱性;2.被積函數(shù)有相應(yīng)的奇偶性.當(dāng)V關(guān)于xoy面對稱 f(x,y,z)是z的奇函數(shù),

fdV

=0;偶函數(shù),

fdV

=2

fdV

.VV當(dāng)V關(guān)于yoz面對稱 f(x,y,z)是x的奇函數(shù),

fdV

=0;偶函數(shù),

fdV

=2

fdV

.VV

V右當(dāng)V關(guān)于zox面對稱V前f(x,y,z)是y的奇函數(shù),

fdV

=0;偶函數(shù),

fdV

=2

fdV

.dxdydzz

ln(

x2

+

y2

+

z2

+

1

)x2

+

y2

+

z2

+

1計算其中積分區(qū)域例72V1

V2C

:

zdV

=

4

zdV

;V1

V2B

:

ydV

=

4

ydVV1

V2D

:

xyzdV

=

4

xyzdVV1

V2V :

x2

+

y2

+

z2

￡

R2

,

z

?

0和V :

x2

+

y2

+

z2

￡

R2

,1x

?0,y

?0,z

?0,則A

:

xdV

=

4

xdV

;VV={(x,y,z)|x2

+y2

+z2

￡

1}例8規(guī)定：0

￡

r

<+￥

,0

￡

q

￡

2p

,-￥

<

z

<

+￥

.二、三重積分在柱坐標系中的計算設(shè)M

(

x,y,

z)為空間內(nèi)一點，并設(shè)點M在xoy面上的投影P的極坐標為r,q，則這樣的三個數(shù)(r,q

,

z

就叫點M的柱面坐標．

x

=

rcosq

,

y

=

rsinq

,柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為

z

=

zr為常數(shù)q為常數(shù)z為常數(shù)圓柱面；半平面；平面．q用柱坐標系中的三組坐標面來分割閉區(qū)域V，對r,q

,z分別取得增量dr,dq

,dz時所形成的小柱體的體積為極坐標系中的面積元素rdrdq與dz乘積,于是柱坐標系中的體積元素為dv

=

rdrdqdz.

f

(

x,

y,

z)dvV=

f

(r

cosq

,

r

sinq

,

z)rdrdqdz.V所以，柱坐標系中三重積分的計算公式為：與直角坐標系中一樣，在柱坐標系中三重積分同樣可化為對

r,q

,

z

的三次積分，一般總是先對z

積分，余下的二重積分就是極坐標系中的二重

積分，有時也可以先計算極坐標系中的二重積分，再對z積分。解r

2

=

3z

z

=

1,

r

=

3

,知交線為r

2

+z2

=4例1

計算I

=

zdxdydz

,

其中V是拋物面x2

+

y2

=

3zV與球面x2

+

y2

+

z2

=

4所圍的立體.

x

=

rcosqz

=

z由

y

=rsinqr

=

3z

=

4

-

r

2r

2z

=

323r

2￡

z

￡

4

-

r330r

zdz2p4-r

2I

=dq

0

dr

r

213=

4

p

.D0

￡

r

￡

3,xy

=

0

￡

q

￡

2p

.例2計算x2

+y2

dv，其中V是由旋轉(zhuǎn)拋物面Vz

=x2

+y2與z

=1所圍成的閉區(qū)域.xyD

=

0

￡

r

￡

1,0

￡

q

￡

2p

.解x2

+

y2

￡

z

￡

1

r

2

￡

z

￡

1\Vx2

+

y2

dv

=

r

rdrdqdzV15200r1

4pdz

=

.2p1dq

r

2dr=

z

=

1

-

x2

-

y2z

=

1

-

r

2z=0

zdxdydz

=

zrdrdqdzV

V00rdrzdz2p0dq1 1-r

2=(

)120012dr2pdq=r

1

-

r例3V計算

zdxdydz,

V

:

x2

+y2

+

z2

￡

1,

z

?

0.解=

p4zz=az=raD解

z

=

r

,

x2

+

y2

=

z2\

r

￡

z

￡

axyD

=

0

￡

r

￡

a,0

￡

q

￡

2p

.例4

計算I

=

(x2

+

y2

)dxdydz

,其中V是錐面I

=20aa0

rrdrr

dz2pdq30a=

2pr

(a

-

r

)dr5a

.p10=Vx2

+y2

=z2與平面z

=a

(a

>0)所圍的立體.三、三重積分在球面坐標系中的計算Pxyzoj

rM

(x

,

y

,

z

)zyxA

q

設(shè)M

(x

,

y,z

為空間內(nèi)一點，則點M可用三個有次序的數(shù)r,j

,q來確定，其中r為原點O與點M間的距離，j為有向線段OM與z軸正向所夾的角，q為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角這里P為點M在xoy面上的投影，這樣的三個數(shù)(r,j,q稱為點M的球面坐標0

￡

r

<

+￥

,規(guī)定：0

￡

j

￡

p

,0

￡

q

￡

2p

.r

為常數(shù)球面；圓錐面；j

為常數(shù)q

為常數(shù)半平面．(r,j

,q

x

=

r

sinj

cosq

,

y

=

r

sinj

sinq

,

z

=

r

cosj

.記住此公式Pxyzoj

rM

(x

,

y

,

z

)zqyx設(shè)點M在xoy面上的投影為P,點P在x軸上的投影為A,則OA

=x,AP

=y,PM

=z.直角坐標與球面坐標的關(guān)系為Adv

=

r2

sinjdrdjdq記住此體積元素用球面坐標系中的坐標面來分割閉區(qū)域V，由

r,j

,q

分別取得增量

dr,dj

,dq

所形成的六面體，去掉高階無窮小后，可將這個六面體當(dāng)作長方體，其長為

rdj

,寬為

r

sinjdq

,

高為dr,于是體積元素dv

在球坐標系中為：因此，得到球坐標系中三重積分的計算公式VV

f

(

x,

y,

z)dv

=

f

(

x,

y,

z)dxdydz

=

f

(

r

sinj

cosq

,

r

sinj

sinq

,

r

cosj

)r

2

sinjdrdjdq

.V記住此計算公式2R4p

jR例1

計算x2

+y2

+z2

dV

,其中V是由半球面Vz

=

R

+R2

-

x2

-

y2(R

>0)與錐面z

=

x2

+

y2

所圍成的閉區(qū)域.解 在球坐標系中z

=

R

+

R2

-

x2

-

y2p0

￡

r

￡

2R

cosj

,V

=

0

￡

j

￡

4

,0

￡

q

￡

2p

.

r

=

2R

cosj

,z

=

x2

+

y2

tanj

=

1p

j

=4故VVx2

+

y2

+

z2

dVr

r

2

sinjdrdjdq=300p402p2

R

cosjsinjdjr

dr=

dq0p4=

2p45psinj

4R4

cos4

jdj

=R

(8

-

2

).2R4p

jRzz=az=raDcosjr

=

a

,acosj2px2

+

y2

=

z

j

=

,4,acosj\

V

: 0

￡

r

￡Vx2

+

y2

=

z2例2

計算I

=

(x2

+

y2

)dxdydz

,

其中V是錐面與平面z

=a

(a

>0)所圍的立體.解 采用球面坐標

z=

a

r

=0

￡

j

￡

p

, 0

￡

q

￡

2p

,4VI

=

(

x2

+

y2

)dxdydz000ap42pcosjdjr4sin3jd

r=

dq3501a5p4sin

j5 cos

j=

2p(

-

0

)dj10=

p

a5

.zz=az=raDcosjr

=

a

xR1

R3V例3

計算

cos

(x2

+

y2

+

z2

)

dxdydz,0

<

R1

<

R2

.其中V

:

R2

￡

x2

+

y2

+

z2

￡

R2

,1

2

R1

￡

r

￡

R2

,0

￡

q

￡

2p

.解

V

=

0

￡

j

￡

p

,Vr

2

sinjdrdjdqI

=

cos

r

3230

0RR12p

pdqsinjdjcos

r

r

2dr=()3321.43p

sin

R=-

sin

R解

r

=

2a,4

j

=

p

,40

￡

r

￡

2a,V

=

0

￡

j

￡

p

,0

￡

q

￡

2