網(wǎng)絡(luò)分析與綜合網(wǎng)絡(luò)圖論課件

在前面所學(xué)的“電工原理”等課程中，由于網(wǎng)絡(luò)（即所謂的“電路”）結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，人們可以比較容易地利用“電工原理”中介紹的各種方法去求解網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。然而隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和提高，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜（支路數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)大大地增加），再用那些傳統(tǒng)的方法來分析和設(shè)計(jì)已經(jīng)是力不從心了，因此有必要尋找一種全新的系統(tǒng)化的即能夠把計(jì)算機(jī)作為輔助計(jì)算工具的方法來進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)分析和設(shè)計(jì)，這種方法就是網(wǎng)絡(luò)圖論。返回2023/6/111圖論雖然屬于拓?fù)鋵W(xué)的范疇，但是它的應(yīng)用已滲透到許多學(xué)科領(lǐng)域，它在電路（網(wǎng)絡(luò)）中的應(yīng)用稱為網(wǎng)絡(luò)圖論或網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹１菊陆榻B圖的一些基本知識(shí)，并結(jié)合電路分析的方法，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞闹R(shí)，系統(tǒng)地建立各種網(wǎng)絡(luò)方程的基本矩陣形式，以便進(jìn)行分析和計(jì)算。2023/6/112本章主要內(nèi)容圖的基本知識(shí)拓?fù)渚仃囯娋W(wǎng)絡(luò)的矩陣分析法返回2023/6/113圖的基本知識(shí)圖論的發(fā)展簡(jiǎn)史

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞幕靖拍?/p>

樹

基本回路、基本割集

基本回路

割集

基本割集割集分析法返回2023/6/114圖論的發(fā)展簡(jiǎn)史哥尼斯堡橋

漢密爾登圈平面圖與非平面圖電網(wǎng)絡(luò)方程四色定理返回2023/6/115哥尼斯堡橋瑞士數(shù)字家歐拉（Euler）發(fā)表了一篇討論哥尼斯堡（這是原十八世紀(jì)東普魯士、現(xiàn)為立陶宛的一個(gè)城市）七橋（如圖所示，其中A、B、C、D為四塊陸地，其余為連接為四地的七座橋梁）難題的論文。2023/6/116哥尼斯堡橋這篇論文討論的主要內(nèi)容是：從A、B、C、D任何一地出發(fā)，走遍七座橋，但每座橋只能經(jīng)過一次（一筆畫）。這個(gè)想法能不能實(shí)現(xiàn)？歐拉經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)都沒有成功；最后歐拉認(rèn)為上述目的是無法實(shí)現(xiàn)的，并總結(jié)出一個(gè)通用判定準(zhǔn)則：2023/6/117哥尼斯堡橋⑴連接奇數(shù)個(gè)橋的陸地只有一個(gè)或超過兩個(gè)以上時(shí)，不能實(shí)現(xiàn)一筆畫；⑵連接奇數(shù)個(gè)橋的陸地僅有二個(gè)時(shí)，則從兩者中的任一塊陸地出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)一筆畫，但終止在另一塊陸地上；⑶每塊陸地都接有偶數(shù)個(gè)橋時(shí)，則從任一塊陸地出發(fā)都能實(shí)現(xiàn)一筆畫，并且回到原出發(fā)點(diǎn)。2023/6/118哥尼斯堡橋?qū)㈥懙赜命c(diǎn)來表示，橋用線段來表示，就構(gòu)成了一個(gè)圖。要想一筆畫出這個(gè)圖，就要求這個(gè)圖滿足下面的條件：圖必須是連通的，且每個(gè)頂點(diǎn)所關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)都是偶數(shù)，此時(shí)，一筆畫的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同；若其中僅有一對(duì)頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)是奇數(shù)，則可以從這兩頂點(diǎn)之一出發(fā)，終止于另一個(gè)頂點(diǎn)完成一筆畫。2023/6/119哥尼斯堡橋哥尼斯堡七橋等效模擬圖見圖，由于該圖中A、B、C、D四點(diǎn)所關(guān)聯(lián)的邊都是奇數(shù)，因而不可能實(shí)現(xiàn)不重復(fù)地走遍七座橋。歐拉最先一個(gè)實(shí)際問題化為一個(gè)圖論的問題，并加以解決，所以后來人們公認(rèn)歐拉為圖論的創(chuàng)始人，把一筆畫出來的路稱為歐拉路。返回2023/6/1110漢密爾登圈英國數(shù)學(xué)家漢密爾登（Hamiltonian）發(fā)明了一種稱為EulerTrail的游戲：在一個(gè)畫在平面上有20個(gè)頂點(diǎn)的圖中，把這20個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)作20個(gè)城市，旅行者從其中某一個(gè)城市出發(fā)，能否找出一條經(jīng)過所有城市，但只能經(jīng)過一次的閉合路徑？回答是肯定的（如圖中按從小到大的數(shù)字即1→2→3→…→19→20→1的路徑就是滿足要求的一條路徑）。該回路稱為漢密爾登圈，而含有漢密爾登圈的圖稱為漢密爾登圖。2023/6/1111漢密爾登圈

2023/6/1112漢密爾登圈歐拉路與漢密爾登圈的區(qū)別：前者的一條路必須經(jīng)過每一條邊且只能經(jīng)過一次，而經(jīng)過各頂點(diǎn)的次數(shù)不限；后者的一條路必須經(jīng)過每一個(gè)頂點(diǎn)且只能經(jīng)過一次，而經(jīng)過邊的次數(shù)不限，也可以不經(jīng)過。返回2023/6/1113如果圖中的所有邊在頂點(diǎn)以外的地方均不相交，那么這個(gè)圖就稱為平面圖，否則就是非平面圖。判斷一個(gè)圖是不是一個(gè)平面圖，可以看它是否滿足公式：n–b+f=2

（其中n、b、f分別為圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)），如果滿足，這個(gè)圖就是平面圖，反之，這個(gè)圖就是非平面圖。平面圖與非平面圖返回2023/6/1114電網(wǎng)絡(luò)方程如何確定及列出給定電網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立方程是較長(zhǎng)時(shí)間困擾人們的問題?；鶢柣舴颍↘irchhoff）由樹的概念提出了解決確定獨(dú)立方程數(shù)的方法；還提出了列出集總（或分布）參數(shù)電網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)方程的兩個(gè)基本方法：KVL（基爾霍夫回路電壓定律）、KCL（基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律）。返回2023/6/1115四色定理四色定理起源于對(duì)地圖的染色：一個(gè)英國人提出，他只需四種顏色，就能使平面地圖上任兩個(gè)相鄰國家的顏色不同，這里所謂的相鄰是指兩個(gè)國家有一段公共邊界。將這個(gè)四色問題轉(zhuǎn)化成圖論的問題則為：用一個(gè)頂點(diǎn)代表一個(gè)國家，如果某二個(gè)國家相鄰，就用一條線（邊）將對(duì)應(yīng)二個(gè)頂點(diǎn)連接起來，證明只需要有四種顏色，就可以使所有相鄰的頂點(diǎn)有不同顏色，這就是四色定理（該定理在1976年得到了證明）。返回2023/6/1116網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞幕靖拍罟?jié)點(diǎn)的度

子圖

通路

連通圖和非連通圖

回路

圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示

與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞

返回2023/6/1117圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示圖：一組頂點(diǎn)與線段（邊）的集合，邊的兩端終止于頂點(diǎn)，又稱為“線圖”，可用G（graph）表示。它把實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用頂點(diǎn)和線段抽象地表示成幾何圖形。電網(wǎng)絡(luò)中各支路兩端的電壓、流過各支路的電流之間的規(guī)律服從于定理KVL、KCL，它們只與網(wǎng)絡(luò)的連接形式有關(guān)，而與各支路中所含的元件類型無關(guān)。2023/6/1118圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示圖或線性圖，還可以簡(jiǎn)稱為“圖”。為了習(xí)慣或方便，我們?nèi)钥煞Q圖中的頂點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)（Node），稱線段為支路（Branch）。我們用圓點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)（或稱結(jié)點(diǎn)），用線段表示支路，這樣就可以得到一個(gè)抽象的描述網(wǎng)絡(luò)連接情況的圖，把它稱為網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱D，也可以稱為線2023/6/1119圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示其中線段上沒有方向箭頭的圖稱為無向圖；如果各線段上有箭頭，它表示所對(duì)應(yīng)支路的電流或電壓降的參考方向的圖稱為有向圖，又稱為有向線圖，在實(shí)際應(yīng)用中，有向圖用得比較多。返回2023/6/1120與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞——節(jié)點(diǎn)的度G中某節(jié)點(diǎn)的度，表示與該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的支路數(shù)。如圖中節(jié)點(diǎn)①、②、③、④的度都為3，因?yàn)榕c它們相關(guān)聯(lián)的支路都有3條。返回2023/6/1121與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞——子圖G中的任一部分節(jié)點(diǎn)與支路的集合，可以用表Gs示（Sub-graph）。如圖中節(jié)點(diǎn)①、②、③與支路b2、b4構(gòu)成一個(gè)子圖，節(jié)點(diǎn)①、②、③、④與支路b1、b5、b6構(gòu)成一個(gè)子圖，節(jié)點(diǎn)①、②、③、④與支路b3、b5也構(gòu)成一個(gè)子圖……。返回2023/6/1122與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞——通路兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)，通過內(nèi)節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)支路相連而構(gòu)成的子圖（或路徑）。端節(jié)點(diǎn)：僅與一條支路相連的節(jié)點(diǎn)，它的度為1。內(nèi)節(jié)點(diǎn)：與二條或二條以上的支路相連的節(jié)點(diǎn)，其度大于等于2（但通路的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的度只能為2）。2023/6/1123與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞——通路在圖中如果單看節(jié)點(diǎn)①、②、④與支路b1、b2就構(gòu)成一條通路（其中節(jié)點(diǎn)②、④為端節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)①為內(nèi)節(jié)點(diǎn)），節(jié)點(diǎn)①、②、③、④與支路b2、b3、b5也構(gòu)成一條通路（其中節(jié)點(diǎn)③、④為端節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)①、②為內(nèi)節(jié)點(diǎn)）。返回2023/6/1124與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞——連通圖和非連通圖

若G中任二個(gè)節(jié)點(diǎn)間至少有一條通路，則稱G為連通圖（ConnectedGraph），否則G為非連通圖（UnconnectedGraph）。如圖中節(jié)點(diǎn)①、②、④與支路b1、b2構(gòu)成的子圖和節(jié)點(diǎn)①、②、③、④與支路b1、b5、b6構(gòu)成的子圖都是連通圖，而節(jié)點(diǎn)①、②、③、④與支路b3、b5構(gòu)成的子圖就是非連通圖。返回2023/6/1125與圖有關(guān)的幾個(gè)名詞——回路通路的兩端節(jié)點(diǎn)重合時(shí)形成的一個(gè)閉合路徑就是回路（Loop或Circuit）?；芈返奶攸c(diǎn)是：當(dāng)移去其中任何一條支路時(shí)，路徑則沒有閉合，或者它其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度均為2。如圖中節(jié)點(diǎn)①、②、③與支路b2、b3、b4構(gòu)成的子圖，節(jié)點(diǎn)①、③、④與支路b1、b3、b6構(gòu)成的子圖，節(jié)點(diǎn)②、③、④與支路b4、b5、b6的子圖……。特殊地，一個(gè)節(jié)點(diǎn)和一條支路也可以構(gòu)成一個(gè)回路，我們把它稱為“自環(huán)”。返回2023/6/1126樹樹在拓?fù)淅碚撚绕湓谖覀冞@里的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲惺且粋€(gè)非常重要的概念。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械臉涫且唤M支路及與它們相關(guān)節(jié)點(diǎn)的集合，對(duì)于每個(gè)連通圖來說，其樹的選擇不是唯一的，而一旦確定了樹以后，整個(gè)圖就分成了樹枝和連枝二部分：構(gòu)成樹的各支路稱為樹枝，而圖中除樹以外的剩余部分支路則被稱為連枝，其集合又稱為對(duì)應(yīng)樹的“補(bǔ)樹”。返回2023/6/1127樹樹的定義

兩種特殊類型的樹：線樹、星樹

樹的幾個(gè)基本定理

返回2023/6/1128樹的定義包含有圖G中所有節(jié)點(diǎn)但又無回路的連通子圖。詳細(xì)來說就是：具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路連通圖G的一個(gè)連通子圖，若具有下列特性中的任意兩個(gè)：⑴包含圖G的所有節(jié)點(diǎn)；⑵具有n條支路；⑶沒有回路。這就是圖G的一個(gè)樹（Tree），可以用T

表示。2023/6/1129下面是左圖所示網(wǎng)絡(luò)的部分樹。樹的定義返回2023/6/1130兩種特殊類型的樹——線樹如果其所有樹枝僅連成了一條通路（路徑），那么這個(gè)樹就稱為線樹，如下圖所示的樹；返回2023/6/1131兩種特殊類型的樹——星樹如果其所有樹枝有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，那么這個(gè)樹就稱為星樹，如下圖所示的樹（它們的公共頂點(diǎn)分別是節(jié)點(diǎn)④和節(jié)點(diǎn)①）；返回2023/6/1132樹的幾個(gè)基本定理定理一：每一個(gè)連通圖G至少存在一個(gè)樹：⑴如果G中不含有回路，則G就是一個(gè)樹；⑵如果G中含有回路，那么在保證G連通的前提下，移去某一回路的一條支路，并按照這種方法，破壞掉所有的回路，剩下的就是樹。定理二：若連通圖中包含有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么它的樹必定有n條樹枝。定理三：如果連通圖G中的任意兩節(jié)點(diǎn)之間，當(dāng)且僅當(dāng)存在一條通路（路徑）時(shí)，則G就是一個(gè)樹。2023/6/1133樹的幾個(gè)基本定理定理四：在含有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖G中，若具有如下性質(zhì)之一，則G就是一個(gè)樹；反之，如果G是一個(gè)樹，則它就具有以下性質(zhì)：⑴

G連通但沒有回路；⑵

G有n條支路，且無回路；⑶

G連通，且含有n條支路；⑷

G沒有回路，但任意在兩節(jié)點(diǎn)間加一條支路，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)回路；⑸

G連通，但移去一條支路后，G就不連通了；⑹從G中任一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，有且僅有一條通路（或路徑）。返回2023/6/1134基本回路基本回路是回路的一種，是一種特殊的回路。定義：（一般在有向圖中考慮）單連枝回路，即它是由且僅由一條連枝支路，其余均為樹枝支路構(gòu)成的。2023/6/1135基本回路的特點(diǎn)其方向取連枝支路的電流參考方向；對(duì)給定的連通圖（節(jié)點(diǎn)有n+1個(gè)，支路有b

條）來說，基本回路的數(shù)量是一定的，為 b-n

個(gè)。

返回2023/6/1136割集定義：連通圖G中一個(gè)邊（支路）的最小集合c。性質(zhì)：⑴移去c中所有的支路后，G就被分成兩個(gè)不相連的子圖Gs（也可以分成兩個(gè)以上的Gs，但如果不加說明，后面所指割集均是只分成兩個(gè)Gs的簡(jiǎn)單割集）；⑵若保留c中任一條支路，而移去其余支路，G仍是連通的。2023/6/1137割集頂點(diǎn)割集：移去c后，兩個(gè)中Gs有一個(gè)孤立頂點(diǎn)。如右圖中，取b1、b5、b6為一個(gè)割集c5，移去c5

后剩下二部分：其一為④節(jié)點(diǎn)，其二為①、②、③節(jié)點(diǎn)和支路b2、b3、b4，這二部分不連通，且一部分就只剩④節(jié)點(diǎn)，所以把這個(gè)c5

割集稱為頂點(diǎn)割集。同理，左圖中，c3

也是一個(gè)頂點(diǎn)割集。返回2023/6/1138基本割集同樣道理，基本割集是割集的一種，一種特殊的割集。定義：（一般在有向圖中考慮）單樹枝割集，即它是由且僅由一條樹枝支路，其余均為連枝支路構(gòu)成的?；靖罴奶攸c(diǎn)：⑴其方向取樹枝支路的電流參考方向；⑵對(duì)給定的連通圖（節(jié)點(diǎn)有n+1個(gè)，支路有b條）來說，基本割集的數(shù)量也是一定的，為n個(gè)（與樹枝數(shù)相同）。返回2023/6/1139割集分析法我們對(duì)電網(wǎng)絡(luò)的分析方法有四種：利用基爾霍夫回路電壓定律KVL的回路分析法、網(wǎng)孔分析法（當(dāng)回路恰好是網(wǎng)孔的時(shí)候，回路分析法就變成了網(wǎng)孔分析法，所以說網(wǎng)孔分析法是回路分析法的特例），利用基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律KCL的割集分析法、節(jié)點(diǎn)分析法（當(dāng)割集恰好都是頂點(diǎn)割集的時(shí)候，割集分析法就變成了節(jié)點(diǎn)分析法，所以說節(jié)點(diǎn)分析法是割集分析法的特例）。這里通過一個(gè)例子來介紹割集分析法。2023/6/1140割集分析法首先選擇一棵樹，利用由基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律KCL的對(duì)基本割集列出的一組電流方程是獨(dú)立的方程組，求解這個(gè)方程組，可以得到樹枝電壓，進(jìn)而利用網(wǎng)絡(luò)中各支路之間的基本關(guān)系可以求出除樹以外支路的電壓和所有支路的電流。2023/6/1141割集分析法如圖，首先選b1、b4、b5、b7為樹枝，取對(duì)應(yīng)四個(gè)基本割集。利用KCL對(duì)基本割集列電流方程：與割集方向相同的支路電流取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)，于是有：2023/6/1142割集分析法這里設(shè)b3支路有一個(gè)電流源Ig3（若是電壓源Ug3，可以利用諾頓定理變換成電流源Ig3=G3Ug3），方向與支路方向相同，于是有：前式為

2023/6/1143割集分析法設(shè)各支路導(dǎo)納為Gi，電壓為Ui，連枝電壓用樹枝電壓來表示（電壓方向與電流方向成關(guān)聯(lián)關(guān)系）為：2023/6/1144割集分析法將代入得2023/6/1145割集分析法整理得：由上式可以看出：第一個(gè)方程是對(duì)第一個(gè)割集列寫的，其左邊第一項(xiàng)是本割集樹枝電壓U1與本割集所有相關(guān)聯(lián)支路導(dǎo)納總和的乘積，第二項(xiàng)是第二割集樹枝電壓與第一、二割集所有公共支路導(dǎo)納之和G2的乘積，因?yàn)榈谝?、二割集方向相反，故第二?xiàng)前取負(fù)號(hào)，由于第一割集與第三、四割集無公共支路，故方程的第三、四項(xiàng)為零，另外方程右端為零，表示無電流源流過本割集；第二方程右端為一個(gè)負(fù)電流源Ig3，表示電流源Ig3與割集方向相同。2023/6/1146割集分析法找出如上規(guī)律，就可以由電路的有向圖直接寫出上面的割集方程組了，而不需要再重復(fù)前面的步驟。最后，就可以求解割集方程組得到樹枝電壓U1、U4、U5和U7，并根據(jù)連枝電壓與樹枝電壓的關(guān)系求出連枝電壓U2、U3和U6，最后再由Ii=GiUi

求出各支路的電流。總結(jié)以上討論的結(jié)果，我們可以得到如下割集分析法的一般步驟：2023/6/1147割集分析法步驟⒈畫出電路對(duì)應(yīng)的有向圖。⒉為電路選擇一棵樹，其原則是：①盡可能選“星樹”，這樣列出方程通常比較簡(jiǎn)單；②電壓源應(yīng)選為樹枝，這樣可以少列方程；③盡可能地把待求電壓支路選為樹枝，這樣解出割集方程也得到了待求電壓。⒊取基本割集。2023/6/1148割集分析法步驟⒋列割集方程，此時(shí)要注意的是：①本割集樹枝電壓與本割集所關(guān)聯(lián)的所有導(dǎo)納總和和乘積項(xiàng)永遠(yuǎn)取“+”號(hào)；②相鄰項(xiàng)的“+”、“-”號(hào)取決于二個(gè)相關(guān)割集的方向是否相同，相同取“+”號(hào)，相反取“-”號(hào)；③方程右邊為流過本割集的電流源，其“+”、“-”號(hào)與電流源的方向、割集的方向都有關(guān)，當(dāng)電流源的方向與割集方向相同時(shí)取“-”號(hào)，相反時(shí)則取“+”號(hào)。2023/6/1149割集分析法步驟⒌解割集方程組求出樹枝電壓。⒍由樹枝電壓求出連枝電壓。⒎由樹枝電壓、連枝電壓及各支路導(dǎo)納（或阻抗）求出各支路電流。返回2023/6/1150拓?fù)渚仃囙徑泳仃?/p>

關(guān)聯(lián)矩陣

回路矩陣

割集矩陣

矩陣A、Bf、Qf

之間的關(guān)系

返回2023/6/1151鄰接矩陣表征節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間關(guān)系的矩陣，用表示，其元素

dij

的取值如下：注：相鄰表示有支路相連。2023/6/1152例子返回2023/6/1153關(guān)聯(lián)矩陣表征節(jié)點(diǎn)與支路之間關(guān)系的矩陣。無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣

增廣關(guān)聯(lián)矩陣

關(guān)聯(lián)矩陣

2023/6/1154無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣用表示，其元素的取值如下：這里的關(guān)聯(lián)表示節(jié)點(diǎn)i

為支路j

的一個(gè)端點(diǎn)，否則就不是。2023/6/1155例子2023/6/1156無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣性質(zhì)

每列只有2個(gè)1元素；每行1元素的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的度；對(duì)連通圖，關(guān)聯(lián)矩陣的每一行至少有一個(gè)1元 素；如果某一行只有一個(gè)1元素，那么這個(gè)1

元素 所在的列對(duì)應(yīng)的支路一定是一條懸掛支路。如果形如，則對(duì)應(yīng)的圖為一個(gè)具有 兩個(gè)連通子圖的非連通圖。2023/6/1157增廣關(guān)聯(lián)矩陣用表示，其元素的取值如下：2023/6/1158例子2023/6/1159增廣關(guān)聯(lián)矩陣性質(zhì)①每一列只有兩個(gè)非零元素1和-1，且同列元素之和為零；②任一行元素等于其它各行元素之和，且符號(hào)相反。這說明全部節(jié)點(diǎn)均寫方程的話，肯定至少有一個(gè)方程非獨(dú)立，由此可以劃掉一行（一般劃去電位參考點(diǎn)所在的那一行），由此得關(guān)聯(lián)矩陣（或稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣，節(jié)點(diǎn)矩陣）。2023/6/1160關(guān)聯(lián)矩陣?yán)纾ǚ謩e取節(jié)點(diǎn)④、③為參考節(jié)點(diǎn)）的關(guān)聯(lián)矩陣分別為：2023/6/1161關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)下圖，如果選b1、b4、b5、b7為樹，把A

分成左右兩部分：左邊為樹枝塊AT

，右邊為連枝塊AL（腳標(biāo)各自從小到大排列），則顯然有，。返回2023/6/1162回路矩陣回路矩陣（回路－支路）基本回路矩陣（基本回路－支路）表征（有向圖中）回路與支路關(guān)系的矩陣。

返回2023/6/1163回路矩陣（回路－支路）用表示，其元素的取值如下：2023/6/1164例子如圖所示，除三個(gè)網(wǎng)孔分別構(gòu)成l1、l2、l3回路外，還有l(wèi)1與l2兩網(wǎng)孔合并構(gòu)成一個(gè)回路l4，l2與l3兩網(wǎng)孔合并構(gòu)成一個(gè)回路l5，最后還有整個(gè)外圍構(gòu)成一個(gè)回路l6。假設(shè)均取順時(shí)針方向?yàn)榛芈返姆较?，依定義可以列出如下回路矩陣：返回2023/6/1165基本回路矩陣（基本回路－支路）用表示，回路的方向與連枝方向相同，其元素bij

的取值與上面的相同，顯然會(huì)有樹枝選的不同，連枝也就不一樣，這樣Bf也就不一樣，例如對(duì)下圖如果選b1、b4、b5、b7為樹（如粗線所示），那么連枝為b2、b3、b6，對(duì)應(yīng)的基本回路如右邊幾個(gè)圖，其Bf如下式：2023/6/1166例子若取b1、b2、b3、b6為樹(如圖粗線所示)，那么連枝就是b4、b5、b7，對(duì)應(yīng)的基本回路也如圖所示，其Bf如下右式：可以表示為：。其中：：與樹枝相關(guān)聯(lián)的部分；：與連枝相關(guān)聯(lián)部分。返回2023/6/1167割集矩陣割集矩陣（割集－支路）基本割集矩陣（基本割集－支路）表征割集與支路關(guān)系的矩陣。返回2023/6/1168割集矩陣（割集－支路）用表示，其元素的取值如下：（其中c為總的割集數(shù)）2023/6/1169例子如圖所示，除了c1、c4、c5、c7四個(gè)割集外，還有很多割集。為了不至于遺漏，可以采用c1c4、c1c5

、c4c5

、c1c4c5……等等這樣的方式，把它們所有的組合都列出來，就構(gòu)成相應(yīng)電路的割集矩陣。2023/6/1170例子注意：①式中由于未標(biāo)出割集的方向，這時(shí)僅用“1”表示該割集與相應(yīng)支路相關(guān)聯(lián)，用“0”表示該割集與相應(yīng)支路無關(guān)聯(lián)；②式中的有些割集不只把圖分成了二個(gè)子圖。

返回2023/6/1171基本割集矩陣（基本割集－支路）以一條樹枝，數(shù)條連枝做一個(gè)割集，取樹枝方向?yàn)楦罴姆较颉＠?，如果選b1、b4、b5、b7為樹枝，那么連枝為b2、b3、b6，于是對(duì)應(yīng)Qf

的如下（其中：為與樹枝關(guān)聯(lián)的部分，為與連枝關(guān)聯(lián)的部分。同樣，樹選的不同，Qf

也就不一樣）：返回2023/6/1172矩陣A、Bf

、Qf

之間的關(guān)系在選定相同的樹，且在先樹枝后連枝，支路順序相同時(shí)所列出的拓?fù)渚仃嘇、Bf、Qf

有如下關(guān)系：∵若節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+1個(gè)，支路數(shù)為b條，則樹枝為n條，連枝為b-n

條，則各矩陣的大小為：于是有：2023/6/1173矩陣A、Bf

、Qf

之間的關(guān)系由前面的例子可以得到：

2023/6/1174矩陣A、Bf

、Qf

之間的關(guān)系于是，利用以上關(guān)系，可以由一種矩陣求出其它兩種矩陣。2023/6/1175例子（2.1)已知：，試畫出對(duì)應(yīng)的有向圖，并求矩陣Bf及Qf

。解：由矩陣可以畫出如圖所示的有向圖。2023/6/1176例子選擇支路b2、b3、b4、b8為樹枝，則b1、b5、b6、b7為連枝，于是重新列寫矩陣A為：2023/6/1177例子∴返回2023/6/1178電網(wǎng)絡(luò)的矩陣分析法支路阻抗矩陣節(jié)點(diǎn)分析法回路分析法割集分析法純電源的變換返回2023/6/1179支路阻抗矩陣無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路有受控電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路有受控電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路

返回2023/6/1180無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路無互感作用有互感作用返回2023/6/1181無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路：其中下標(biāo)i表示該支路為第i條標(biāo)準(zhǔn)支路；為元件導(dǎo)納；為元件阻抗（有）；為獨(dú)立電壓源；為獨(dú)立電流源；為支路電壓；支路電流；為元件電流；為元件電壓。2023/6/1182無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用由圖可以得到：用矩陣表示為：第i條支路兩端的電壓為:流過第i條支路的電流為:2023/6/1183無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用設(shè)：支路電壓列向量：支路電流列向量：支路獨(dú)立電流源列向量：支路獨(dú)立電壓源列向量：于是，對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)而言，有：2023/6/1184無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——

無互感作用即：或：2023/6/1185無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——

無互感作用這里，同樣也有并且（或），，故也有即：或：返回2023/6/1186無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——

有互感作用當(dāng)支路電感之間有互感耦合時(shí)，則式還應(yīng)考慮互感電壓的影響。若各支路間均有影響，那么上式可以表示為（其中）：于是式應(yīng)寫成：2023/6/1187無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用當(dāng)用矩陣表示時(shí)：其中：，并且有2023/6/1188無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用此時(shí)式或式仍然適用，但，而是于是式

可以寫成

返回2023/6/1189有受控電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路含有電流控制電壓源含有電壓控制電壓源流控電源和壓控壓源均存在時(shí)此處式為：返回2023/6/1190有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個(gè)受第d條支路電流控制的電壓源時(shí)，則由式可以得到第i條支路兩端的電壓為于是當(dāng)時(shí)，式可以表示為此處:或（當(dāng)時(shí)）2023/6/1191有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路由式可以提到流過第i

條支路的電流為于是當(dāng)時(shí)，式可以表示為整理一下上式2023/6/1192有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路這里：可以證明式中有即，所以后面只需求出或即可。返回2023/6/1193有電壓控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個(gè)受第d條支路電壓控制的電壓源時(shí)，則式可以表示為當(dāng)時(shí)，式可以表示為這里或（當(dāng)時(shí)）返回2023/6/1194流控壓源和壓控壓源均存在的標(biāo)準(zhǔn)支路或（當(dāng)時(shí)）返回2023/6/1195有受控電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路含有電流控制電流源含有電壓控制電流源流控流源和壓控流源均存在

此處式為：返回2023/6/1196有電流控制電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個(gè)受第d條支路電流控制的電流源時(shí)，則由式可以得到流過第i條支路的電流為當(dāng)時(shí)，式可以表示為這里返回2023/6/1197有電壓控制電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個(gè)受第d

條支路電流控制的電流源時(shí)，則由式可以得到流過第i條支路的電流為當(dāng)時(shí)，式可以表示為這里返回2023/6/1198流控流源和壓控流源均存在的標(biāo)準(zhǔn)支路若含有受控電流源的網(wǎng)絡(luò)中的支路電感之間有互感耦合時(shí)，上式中的應(yīng)該用來代替。其中返回2023/6/1199包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路我們研究的網(wǎng)絡(luò)都是線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)，因而討論如圖所示的標(biāo)準(zhǔn)電路的等效阻抗時(shí)，只需把前面討論各種結(jié)果相加即可。返回2023/6/11100包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)受控電壓源：及受控電流源：作用時(shí)，由式，可以得到總的支路阻抗矩陣為：2023/6/11101包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路其中：當(dāng)時(shí)，上式為2023/6/11102包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路至此為止，我們已經(jīng)討論了各種情況下的支路阻抗矩陣的求解方法，所以在后面在網(wǎng)絡(luò)的求解過程中，對(duì)這部分就不再累敘了，而直接使用或，即用下圖就可以了。返回2023/6/11103節(jié)點(diǎn)分析法關(guān)聯(lián)矩陣A每一行表征的是節(jié)點(diǎn)與支路之間的關(guān)系，那么如果用A的一行與電流列向量相乘，得到的是一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流之和，于是根據(jù)基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律KCL可以得到矩陣形式的方程：關(guān)聯(lián)矩陣A每一列，即表征的是支路與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，用與節(jié)點(diǎn)電壓列向量相乘可以得到用節(jié)點(diǎn)電壓表示的各支路電壓：返回2023/6/11104節(jié)點(diǎn)分析法對(duì)整個(gè)電路而言，支路電流與電壓的關(guān)系式為式：將⑶式代入

得將⑵式代入得2023/6/11105節(jié)點(diǎn)分析法令（節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣）（節(jié)點(diǎn)等效電流源列向量）于是式可以寫成2023/6/11106節(jié)點(diǎn)分析法求解步驟依電路畫出相應(yīng)的有向圖，求出關(guān)聯(lián)矩陣A及；按上一小節(jié)的方法求出支路導(dǎo)納矩陣Yb

，寫出獨(dú)立電壓源列向量和獨(dú)立電流源列向量；求出節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣：；求出節(jié)點(diǎn)電壓向量：；求出支路電壓向量：；求出支路電流向量：。返回2023/6/11107回路分析法基本回路矩陣Bf每一行表征的是基本回路與支路之間的關(guān)系，那么如果用Bf的一行與電壓列向量相乘，得到的是一個(gè)回路各支路的電壓之和，于是根據(jù)基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電壓定律KVL可以得到矩陣形式的方程：基本回路矩陣Bf每一列，即表征的是支路與基本回路之間的關(guān)系，用與節(jié)點(diǎn)電流列向量相乘可以得到用基本回路電流表示的各支路電流：返回2023/6/11108回路分析法對(duì)整個(gè)電路而言，支路電壓與電流的關(guān)系為將⑶式代入⑴式（

）后，有再將⑵式代入，得2023/6/11109回路分析法令 （基本回路阻抗矩陣）（基本回路等效電壓源列向量）

于是⑸式可以寫成如果我們選的是“星樹”或某些特殊類型的樹時(shí)，對(duì)應(yīng)的基本回路恰好是網(wǎng)孔，那么基本回路電流也就是網(wǎng)孔電流，所以網(wǎng)孔分析法實(shí)際上是回路分析法的特例。2023/6/11110回路分析法求解步驟⒈依電路畫出相應(yīng)的有向圖，求出基本回路矩陣Bf及；⒉按前面的方法求出支路阻抗矩陣Zb

，寫出獨(dú)立電壓源列向量和獨(dú)立電流源列向量；⒊求出基本回路阻抗矩陣：；⒋求出回路電流向量：；⒌求出支路電流向量：；⒍求出支路電壓向量：。

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