微積分基本定理及其生活應(yīng)用

微積分基本定理及其生活應(yīng)用第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二一、教材分析⒈地位、作用：歐洲數(shù)學家們沖出了古希臘人“嚴格證明”的圣殿，以直觀推斷的思維方式，創(chuàng)立了被恩格斯譽為“人類精神的最高勝利”的微積分學，微積分基本定理正是它的核心！第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二2．教學重點、難點分析：重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的雛形，進而把結(jié)論一般化,是這節(jié)課的重點.難點：進一步引導學生應(yīng)用定積分的基本思想來探究問題，同時利用導數(shù)的意義作為橋梁來轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課的難點。第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒊教學目標分析：知識目標：使學生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，直觀了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理解導數(shù)與定積分的互逆關(guān)系；通過計算兩個簡單的定積分，使學生體會微積分基本定理的優(yōu)越性，理解微積分在數(shù)學史上舉足輕重的地位。第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二能力目標：

讓學生能夠體會微積分運動變化地思維方式和初等數(shù)學中靜態(tài)的思維方式的區(qū)別，并且培養(yǎng)學生在探索過程中善于變通的思想，敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神!第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二情感目標：A揭示尋求計算定積分新方法的必要性,激發(fā)學生的求知欲。B體會“以直代曲”——臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)的思想。C感受用近似無限接近精確的方法。第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒋教學方法和手段：盡管已是高中學生，但抽象的概念依然令學生望而生畏，因此著眼于個別實例的研究，強調(diào)來龍去脈，淡化證明過程。學生既不用面對極限、無窮項求和、導數(shù)、積分綜合難題的證明，又不失為良好的推導微積分基本定理的過程。第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒉由于學生剛學習了導數(shù)，知道導數(shù)的幾何意義即為切線的斜率,路程對時間的導數(shù)即為速度二、學情分析：⒈根據(jù)函數(shù)曲線圖學生不難看出位移差第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二二、學情分析：⒊上一節(jié)中剛學習了“汽車行駛的路程”，學生明白路程的計算實際上是一個求定積分的過程，即對的定積分。⒋讓學生再一次感受小區(qū)間不斷細分對近似程度的影響，如何通過逐步逼近而求出定積分。第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二教學過程：⒈引題——追根溯源：公元3世紀誕生的劉徽著名的“割圓術(shù)”：

割之彌細，所失越少．則與圓周合體而無所失矣．割之又割，以至于不可割，第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二教學過程：⒉情景設(shè)置：①首先讓學生回顧計算的過程：（分割、近似代替、求和、取極限）=第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二教學過程：②接著動手利用定義計算

=③重復(fù)以上步驟學生遇到了麻煩；引導學生分析原因：和式難求．

④當被積函數(shù)是

如何求呢？第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二=⒊探究——問題模型：尋求新方法

如圖，一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律是由導數(shù)的概念可知，它在任意時刻t的速度是。設(shè)這個物體在時間段內(nèi)的位移為S，你能分別用，表示Ｓ嗎？

第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二觀察圖象得到物體的位移s，即

第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二分析:

下面我們討論如何用速度函數(shù)v(t)來表示位移s，因為在上一節(jié)“汽車行駛的路程”中，學生知道了位移就是對速度函數(shù)v(t)的定積分，在此學生肯定會聯(lián)想到只要知道了v(t),不就解決了嗎？但是題目已知的只是路程函數(shù)s(t),因此接下來的關(guān)鍵在于建立v(t)與s(t)的關(guān)系。下面分8個步驟來討論：

第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二微積分基本定理就是勾股定理）以研究這小段山高為例：問題1能否把一小段的山高近似地看作一個直角三角形呢？

問題2假設(shè)是直角三角形，那么斜邊如何構(gòu)造呢？問題3在這個直角三角形種哪些量是已知或可求的？

通過討論發(fā)現(xiàn)山高那么把所有累加起來不正好就是山的高度嗎？

第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒈分割：等分成n個小區(qū)間

第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二=

可用線段ＡＤ來近似代替曲邊AB，得到直角三角形ACD，AD正是曲線在左端點A處的切線，由導數(shù)的幾何意義可知：AD的斜率就是tan∠DAC，所以

另一方面曲線S在左端點A處的切線就是，引進導數(shù)．⒉近似代替：當很小時，我們可以認為

第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒊求和：⒋取極限：物體的總位移的近似值

就越接近精確值S．即第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二=讓學生觀察，這不正是速度函數(shù)的定積分嗎？（引入定積分得到左邊雛形）

（建立導數(shù)與積分的關(guān)系）

第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二歸納小結(jié)：③式表明，速度函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于位移函數(shù)

在區(qū)間[a，b]的右端點處的函數(shù)值s(b)與左端點處的函數(shù)值s

(a)之差．③式是否具有一般性呢？第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒋水到渠成：給出微積分基本定理的一般形式。

連續(xù)函數(shù)f(x),若，則即牛頓——萊布尼茲公式（Newton—LeibnizFormula）。

第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二（1646－1716）人類精神的卓越勝利（1642－1727）巨人的肩膀第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒍活學活用：利用微積分基本定理解決前面的問題

以學生練習、討論為主，讓學生與上一節(jié)例題比較，得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計算定積分簡單，教師給出規(guī)范的書寫格式。初步展示利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性。第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒎知識的延伸：通過計算下列定積分得到定積分的幾何意義

通過計算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試利用曲邊梯形的面積表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二我們發(fā)現(xiàn)：（１）定積分的值可取正值也可取負值，還可以是0；（2）當曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值；（3）當曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值；（4）當曲邊梯形位于x軸上方的面積等于位于x軸下方的面積時，定積分的值為0．得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的代數(shù)和。第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二⒏生活鏈接：假設(shè)一物體從飛機上扔下，t秒物體的下落速度近似為：（，）（1）寫出t秒后物體下落距離的表達式；

（2）如果是從高出地面5000m的高空處扔下，那么大約經(jīng)過多少秒后將觸到地面？第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二四、教學評價設(shè)計：

整個是由特殊到一般，直觀到抽象，這樣一個合情推