第10章第2節(jié)無界函數(shù)的反常積分課件

本節(jié)討論把定積分概念在另一個方面進(jìn)行拓廣,即假定積分區(qū)間仍為有限,但被積函數(shù)在區(qū)間上是無界的.這種情況下的積分稱為無界函數(shù)的反常積分(瑕積分).引言6/11/20231一、無界函數(shù)的廣義積分概念二、無界函數(shù)的廣義積分性質(zhì)三、無界函數(shù)的廣義積分收斂判別法四、無界函數(shù)的廣義積分主值主要內(nèi)容6/11/202321.定義:

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在(a,b]上的廣義積分.

這時也稱廣義積分

收斂.

一.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的概念注意區(qū)間左端點(diǎn)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無界,

取

>0.如果極限如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.6/11/202332.定義:

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在

上的廣義積分.

以上定義中的a，b稱為函數(shù)的奇點(diǎn)或瑕點(diǎn).注意區(qū)間右端點(diǎn)而在點(diǎn)

b的左鄰域內(nèi)無界,取

>0.如果極限（即函數(shù)在區(qū)間上的不連續(xù)點(diǎn)）6/11/20234

若在內(nèi)部有一個奇點(diǎn)c，a<c<b,3.定義:奇點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部則收斂,且有且都收斂,6/11/20235例1:解:6/11/20236所以6/11/20237例2：解：6/11/20238二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的性質(zhì)和無窮積分相仿，瑕積分也有定積分具有的性質(zhì),包括分部積分法和換元法對于瑕積分也成立.瑕積分同樣可以引進(jìn)絕對收斂和條件收斂的概念，并且也有：絕對收斂必收斂，但反之未必.6/11/20239性質(zhì)１6/11/202310性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）6/11/202311性質(zhì)３6/11/202312注:性質(zhì)３說明絕對收斂的積分自身一定收斂．我們稱收斂而不絕對收斂的積分為條件收斂．（這里的結(jié)論與級數(shù)中有關(guān)結(jié)論相似注意比較）但自身收斂的積分不一定絕對收斂．6/11/202313性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價敘述為：6/11/202314柯西判別法極限形式這里關(guān)鍵是記清楚條件中的p、k關(guān)系問題.6/11/202315無窮積分與瑕積分的聯(lián)系：瑕積分無窮積分兩種積分的關(guān)系通過上述等式就聯(lián)系起來了.6/11/202316例3：解：6/11/202317所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).

于是:oyx

a-

加6/11/202318由于解：加作業(yè):P701、2（1、3、5、7）6/11/202319三.瑕積分收斂的判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論會用）6/11/202320*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會用）6/11/202321解根據(jù)比較判別法,加6/11/202322解由洛必達(dá)法則知根據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.

a=1這里k=1，

p=1加6/11/202323四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)的主值1.瑕積分的柯西主值:6/11/2023242.無窮積分的柯西主值:例6：解：作業(yè):P714（2、4、5）6（1、2）6/11/202325特點(diǎn):1.積分區(qū)間為無窮;6/11/2023266/11/202327－函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：6/11/202328小結(jié)一