第五章中心力場

即角動量

是守恒量。因而

也是守恒量。第五章中心力場§5.1中心力場中粒子運動的一般性質(zhì)一、角動量守恒與徑向方程設質(zhì)量為的粒子在中心力場中運動，則哈密頓量算符表示為：對于勢能只與r有關(guān)而與θ,

無關(guān)的有心力場，使用球坐標求解較為方便。于是H可改寫為：當前第1頁\共有43頁\編于星期六\16點在求解中心力場中粒子的能量本征方程時，選用

為力學量完全集是很方便的。這是因為：當選用了守恒量完全集（

，

，

）來對態(tài)進行分類以后，屬于同一個能級的諸簡并態(tài)的正交性問題將自動得到保證。能量本征方程為:考慮到中心力場的特點：球?qū)ΨQ性，選用球坐標系是方便的，此時利用xz球坐標ry當前第2頁\共有43頁\編于星期六\16點左邊第一項稱為徑向動能算符，第二項稱為離心勢能。H的本征方程此式使用了角動量平方算符L2

的表達式：當前第3頁\共有43頁\編于星期六\16點取:分離變量,徑向方程可寫為：當前第4頁\共有43頁\編于星期六\16點徑向波函數(shù)或的歸一化條件可寫成:，（不慢于

）求解方程時，可作以下替換，使得計算更方便，令：

代入式得：由于波函數(shù)要求有限，所以要求這就是徑向方程的一個定解條件。

當前第5頁\共有43頁\編于星期六\16點（1）不同的中心力場中粒子的能量本征波函數(shù)的差別僅在于徑向波函數(shù)Rl(r)或l(r)，它們由中心勢V(r)的性質(zhì)決定。一般而言，中心力場中粒子的能級至少為2l+1重簡并的。注意：（2）在一定邊界條件下求解徑向方程，即可得出能量本征值E。對于非束縛態(tài)，E是連續(xù)變化的。對于束縛態(tài)，則E取離散值。（3）在求解徑向方程時，由于束縛態(tài)邊界條件，將出現(xiàn)徑向量子數(shù)nr.

當前第6頁\共有43頁\編于星期六\16點二、兩體問題化為單體問題

兩個質(zhì)量分別為m1和m2的粒子，相互作用只依賴于相對距離。這個二粒子體系的能量本征方程為：ET為體系的總能量。引入質(zhì)心坐標和相對坐標

1x+r1r2rR2Oyz二體運動可化為：I一個具有折合質(zhì)量的粒子在場中的運動II二粒子作為一個整體的質(zhì)心運動。當前第7頁\共有43頁\編于星期六\16點可以證明：其中——體系的總質(zhì)量，

——約化質(zhì)量或折合質(zhì)量。

對兩個粒子坐標的微商變換成對相對坐標和質(zhì)心坐標的微商。

當前第8頁\共有43頁\編于星期六\16點則二粒子體系的能量本征方程可化為：此方程可分離變量，令得：當前第9頁\共有43頁\編于星期六\16點分解為二個本征方程:描述質(zhì)心運動，是能量為EC的自由粒子的能量本征方程，EC是質(zhì)心運動能量。即質(zhì)心按能量為EC的自由粒子的方式運動。這沒有提供與體系內(nèi)部狀態(tài)有關(guān)的任何信息。描述相對運動，E是相對運動能量?？梢钥闯雠c單粒子能量本征方程形式上相同，只不過應把m理解為約化質(zhì)量，E理解為相對運動能量。當前第10頁\共有43頁\編于星期六\16點§5.4氫原子 量子力學發(fā)展史上最突出得成就之一是對氫原子光譜和化學元素周期律給予了相當滿意得解釋。氫原子是最簡單的原子，其Schrodinger方程可以嚴格求解，氫原子理論還是了解復雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎。當前第11頁\共有43頁\編于星期六\16點氫原子的原子核是一個質(zhì)子，帶電+e，在它的周圍有一個電子繞著它運動。它與電子的庫侖吸引能為（取無窮遠為勢能零點）這是一個兩體問題。1x+r1r2rR2Oyz當前第12頁\共有43頁\編于星期六\16點具有一定角動量的氫原子的徑向波函數(shù)滿足下列方程：

邊界條件：為電子的約化質(zhì)量，me和mp分別為電子和質(zhì)子的質(zhì)量。(1)當前第13頁\共有43頁\編于星期六\16點一、氫原子的能級氫原子的能量本征值：(2)玻爾半徑：主量子數(shù)：n見110頁：氫原子的能級圖當前第14頁\共有43頁\編于星期六\16點當前第15頁\共有43頁\編于星期六\16點與En相應的歸一化的徑向波函數(shù)為：二、氫原子的波函數(shù)

合流超幾何函數(shù)當前第16頁\共有43頁\編于星期六\16點氫原子的束縛態(tài)能量本征函數(shù)為：、定態(tài)波函數(shù)的共同本征函數(shù)。是氫原子體系和主量子數(shù)角動量量子數(shù)磁量子數(shù)當前第17頁\共有43頁\編于星期六\16點當前第18頁\共有43頁\編于星期六\16點當前第19頁\共有43頁\編于星期六\16點1、能級簡并度氫原子的能級只與主量子數(shù)n有關(guān)，對應的本征態(tài)

因此能級是簡并的（除n=1外），簡并度為討論：當前第20頁\共有43頁\編于星期六\16點2、氫原子核外電子的幾率分布當氫原子處于nlm態(tài)時，在點周圍的體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為:人們常常形象地把這個幾率分布叫做“幾率云”或“電子云”.當前第21頁\共有43頁\編于星期六\16點（1）在(r,r+dr)球殼中找到電子的幾率——徑向概率分布

稱為徑向幾率密度或徑向分布函數(shù)。取最大值的半徑稱為最可幾半徑。使當前第22頁\共有43頁\編于星期六\16點例如：氫原子處于基態(tài)，求最可幾半徑?解：

令經(jīng)檢驗為最大值時是最可幾半徑

所以當前第23頁\共有43頁\編于星期六\16點[1，0][2，0][3，0][4，0]0369121518212427303336r/a0a0Wnl(r)0.60.50.40.30.20.1Wnl(r)~r的函數(shù)關(guān)系[n，l]Rnl(r)的節(jié)點數(shù)nr=n––1當前第24頁\共有43頁\編于星期六\16點[2，1][3，1][4，1]04812162024283236404448r/a0a0Wnl(r)0.240.200.160.120.080.04Wnl(r)~r的函數(shù)關(guān)系[n，l]Rnl(r)的節(jié)點數(shù)nr=n––1當前第25頁\共有43頁\編于星期六\16點討論：<1>、關(guān)于描述氫原子核外電子分布問題舊量子論：電子在核外作軌道運動量子力學：由于電子的波粒二象性使軌道概念失去了意義，氫原子核外電子是以幾率分布的形式出現(xiàn)。<2>、關(guān)于氫原子的第一玻爾軌道半徑量子力學幾率分布的觀點解釋a的物理意義：當氫原子處于1s態(tài)時，在r=a處找到電子的幾率最大，在r<a和r>a的區(qū)域仍有電子分布，只不過幾率較小而已。

當前第26頁\共有43頁\編于星期六\16點對r(0∞)積分Rnl(r)已歸一電子在(θ,)附近立體角d=sindd內(nèi)的幾率右圖示出了各種,m態(tài)下，Wm()關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由于它與角無關(guān)，所以圖形都是繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱的立體圖形。該幾率與角無關(guān)例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，與也無關(guān)，是一個球?qū)ΨQ分布。xyz(2)在中找到電子的幾率——角向分布方向的立體角當前第27頁\共有43頁\編于星期六\16點例2.=1,m=±1時，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2

。在

=π/2時，有最大值。在

=0沿極軸方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0時，W1,0()={3/4π}cos2。正好與例2相反，在

=0時，最大；在

=π/2時，等于零。zzyxxyZ當前第28頁\共有43頁\編于星期六\16點m=-2m=+2m=+1m=-1m=0

=2當前第29頁\共有43頁\編于星期六\16點證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。解：

∴的電子，其

∴當時為最大值。即在方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。

在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在～之間。例題1當前第30頁\共有43頁\編于星期六\16點3、類氫離子

以上結(jié)果對于類氫離子（He+，Li++，Be+++等，這些離子的原子核外，只有一個電子）也都適用。但需把核電荷+e換為+Ze（Z是核所帶正電荷數(shù)），而換為相應的約化質(zhì)量。特別是類氫離子的能級公式為

當前第31頁\共有43頁\編于星期六\16點設氫原子處于狀態(tài)

求氫原子能量、角動量平方、角動量z分量的可能值及其幾率，并求其平均值。例題2當前第32頁\共有43頁\編于星期六\16點的可能值為：，解：能量的可能值為：

概率分別為：1/3，1/2，1/6

概率分別為：1/3，1/2，1/6概率分別為：1/3，1/2，1/6

的可能值為：，平均值分別為：當前第33頁\共有43頁\編于星期六\16點設氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。例題3當前第34頁\共有43頁\編于星期六\16點氫原子處在基態(tài)，求：

(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；

(3)最可幾半徑；

(4)動能的平均值；

例題4當前第35頁\共有43頁\編于星期六\16點解：(1)

當前第36頁\共有43頁\編于星期六\16點(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為

令

當為幾率最小位置

∴

是最可幾半徑。

當前第37頁\共有43頁\編于星期六\16點(4)

當前第38頁\共有43頁\編于星期六\16點解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況§5.3二維、三維各向同性諧振子（105頁）當前第39頁\共有43頁\編于星期六\16點（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量分別滿足如下三個方程：因此，設能量本征方程的解為：如果系統(tǒng)Hamilton量可以寫成則必有：當前第40頁\共有43頁\編于星期六\16點（3）簡并度當N確定后，能量本征值確定，但是對應同一N值的n1,n2,n3

有多種不同組合，相應于若干不同量子狀態(tài)，這就是簡并。其簡并度可決定如下：當n1,n2確定后，n3=N-n1-n2，也就確定了