水利計(jì)算水文統(tǒng)計(jì)基本方法

水利計(jì)算水文統(tǒng)計(jì)基本方法第一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

第四章水文統(tǒng)計(jì)基本方法

⒈概述

⒉概率的基本概念

⒊隨機(jī)變量及其概率分布

⒋水文頻率曲線線型

⒌皮爾遜—Ⅲ型分布參數(shù)估計(jì)

⒍現(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法—適線法

7.相關(guān)分析

第二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第一節(jié)概述

一、水文現(xiàn)象的隨機(jī)性

二、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在水文分析中的應(yīng)用

三、水文統(tǒng)計(jì)解決的問題

⒈給定樣本，求指定頻率的設(shè)計(jì)值例：求指定頻率的設(shè)計(jì)洪水。

方法：確定頻率曲線。

⒉資料插補(bǔ)展延

方法：建立變量間的相關(guān)關(guān)系第三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

第二節(jié)概率的基本概念

一、事件

定義：指在一定條件組合下，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。分為：必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件。

水文測(cè)驗(yàn)可看作隨機(jī)試驗(yàn)。

二、概率反映隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)：（古典型事件，總體有限）

三、頻率對(duì)于水文現(xiàn)象，用頻率作為概率的近似值：

（非古典型事件，總體無限的，當(dāng)n不大，W(A)是不穩(wěn)定的,當(dāng)n足夠大時(shí),W(A)P(A))第四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

第三節(jié)隨機(jī)變量及其概率分布

一、隨機(jī)變量隨試驗(yàn)結(jié)果而發(fā)生變化的變量，用X表示，取值用表示,。例：水文特征值：年徑流、洪峰流量。離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量?jī)H能取有限個(gè)或可列無窮多個(gè)離散數(shù)值,連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可以取得一個(gè)有限區(qū)間的任何數(shù)值,

水文特征值屬連續(xù)型隨機(jī)變量。

第五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

二、隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量的取值與其概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱為隨機(jī)變量的概率分布。用表示。

對(duì)于水文變量；常研究大于等于某一取值x的概率，即：

例：年洪峰流量序列：

水文上通常稱隨機(jī)變量的累積頻率曲線，簡(jiǎn)稱頻率曲線。

第六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

三、概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的關(guān)系概率分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)負(fù)值，稱為概率密度函數(shù)。第七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

四、隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

⒈均值、均方差、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)

⒉總體統(tǒng)計(jì)參數(shù)、樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)

⒊總體：隨機(jī)變量所有取值的全體。

⒋樣本：從總體中抽取的一部分。

⒌樣本容量：樣本包括的項(xiàng)數(shù)，樣本大小。

⒍水文樣本系列：

統(tǒng)計(jì)參數(shù)是樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)。第八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三⒈均值()：表示系列平均情況。定義模比系數(shù)：則：第九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

⒉均方差：

反映系列中各變量值絕對(duì)集中或離散的程度。例：5，10，15σ=4.081，10，19σ=7.35第十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三⒊變差系數(shù)（Cv）：反映系列中各變量值相對(duì)集中或離散的程度。

例4-1：

5，10，15x=10σ=4.08Cv=0.48995，1000，1005x=1000σ=4.08

Cv=0.0048第十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

⒋偏態(tài)系數(shù)（Cs）:反映系列在均值兩邊的對(duì)稱程度。第十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三正態(tài)曲線或正態(tài)分布：密度函數(shù)：密度曲線：第十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三樣本序號(hào)序列取值13002200318541655150例：計(jì)算系列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)。第十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三樣本系列統(tǒng)計(jì)參數(shù)計(jì)算（P40）樣本序號(hào)系列取值(xi-x)2(xi-x)3KiKi-1(Ki-1)313001000010000001.50.50.1252200001003185225-33750.925-0.075-0.0004218741651225-428750.825-0.175-0.0053593851502500-1250000.75-0.25-0.015625均值2002790165750

0.10359375均方差

52.8

變差系數(shù)

0.2641021.12

偏態(tài)系數(shù)

1.12第十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第四節(jié)水文頻率曲線線型一、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線由實(shí)測(cè)資料（樣本）繪制的頻率曲線。⒈繪制設(shè)某水文要素（如年徑流量）的實(shí)測(cè)系列共n項(xiàng)，按由大到小的次序排列為x1、x2、...、xm、...、xn，第m項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率就是在系列中大于及等于樣本xm

的項(xiàng)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)（m次）與樣本容量（n）之比值，即

第十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)m=n時(shí)，p=100%，即樣本的末項(xiàng)xn是總體中的最小值，顯然不符合實(shí)際，因?yàn)殡S著觀測(cè)年數(shù)的增多，總會(huì)出現(xiàn)更小的數(shù)值。對(duì)上式進(jìn)行修正，有：數(shù)學(xué)期望公式：

在頻率格紙上以系列各項(xiàng)的頻率為橫坐標(biāo)、各項(xiàng)的值為縱坐標(biāo)點(diǎn)圖，再通過點(diǎn)群中心目估繪光滑曲線即經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。第十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三年份年最大洪峰流量序號(hào)由大到小排列經(jīng)驗(yàn)頻率（1）（2）（3）（4）（5）1961720126509.1196210802206018.2196310303144027.3196412504142036.4196514405137045.5196614206125054.5196711207112063.6196820608108072.7196913709103081.8197026501072090.9例4—2(P43)第十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三某樞紐年最大洪峰流量經(jīng)驗(yàn)頻率曲線第二十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三某樞紐年最大洪峰流量經(jīng)驗(yàn)頻率曲線例4--2第二十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三年份年徑流深Ri(mm)序號(hào)由大到小排列Ri頻率年份年徑流深Ri(mm)序號(hào)由大到小排列Ri頻率1952538.311064.541964769.213615.5521953624.9299881965615.514606.7561954663.23964.2121966417.715591.7601955591.74883.3161967789.316587.7641956557.25789.3201968732.917586.76819579986769.22419691064.518567.4721958641.57732.9281970606.719557.2761959341.48709321971586.720546.7801960964.29687.3361972567.421538.3841961687.310663.2401973587.722509.9881962546.711641.544197470923417.7921963509.912624.9481975883.324341.496作業(yè)（第四章P67）第二十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三某樞紐年最大洪峰流量經(jīng)驗(yàn)頻率曲線2、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線存在的問題第二十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三某樞紐年最大洪峰流量經(jīng)驗(yàn)頻率曲線2、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線存在的問題第二十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、理論頻率曲線：1、皮爾遜Ⅲ型分布曲線（P-Ⅲ)一端有限，一端無限的不對(duì)稱單峰曲線可以推證

形狀、尺度、位置參數(shù)第二十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

2、理論頻率曲線的繪制：已知統(tǒng)計(jì)參數(shù)，求不同頻率對(duì)應(yīng)的值：然后在頻率格紙上繪曲線，橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為水文特征值。第二十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4-3：

某站年徑流系列符合P-Ⅲ型分布，已知該系列的R=650mm，CV=0.25，CS=2Cv，試?yán)L理論頻率曲線。

解：當(dāng)CS=2Cv時(shí)，查附表2，得不同頻率下的Kp，代入下式求Xp：P0.010.10.20.330.512Kp2.221.961.871.811.771.671.58Xp144312741215.51176.51150.51085.51027P10205075909599Kp1.331.20.980.820.70.630.52Xp864.5780637533455409.5338第三十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系水文上常用“重現(xiàn)期”來代替“頻率”

1.當(dāng)研究暴雨或洪水時(shí)（一般P≤50%）(大于等于)

例如，當(dāng)某一洪水的頻率為P=1%時(shí)，則T=100年，稱此洪水為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪水平均100年會(huì)遇到一次。

第三十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系

2.當(dāng)研究枯水或年徑流時(shí)（一般P≥50%）(小于等于)

例如:對(duì)于p=80%的枯水流量，則T=5年，稱作以五年一遇枯水流量作為設(shè)計(jì)來水的標(biāo)準(zhǔn)。表示小于等于這樣的流量平均5年會(huì)遇到一次，說明具有80%的可靠程度。第三十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第五節(jié)P—Ⅲ型分布參數(shù)估計(jì)

用有限的樣本觀測(cè)資料估計(jì)總體分布線型中的參數(shù)，如P—Ⅲ型的、CV、CS。

一、矩法用樣本矩估計(jì)總體矩，并通過矩與參數(shù)之間的關(guān)系，來估計(jì)頻率曲線的參數(shù)。均值的無偏估計(jì)：第三十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三CV的無偏估計(jì)量：CS

的無偏估計(jì)量：第三十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三（計(jì)算誤差最大）第三十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、權(quán)函數(shù)法當(dāng)樣本容量較小時(shí)，用矩法估計(jì)的參數(shù)將產(chǎn)生誤差，其中尤以CS的計(jì)算誤差最大，為了提高CS的計(jì)算精度，馬秀峰（1984）提出了權(quán)函數(shù)法。第三十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

三、抽樣誤差

由隨機(jī)抽樣引起的誤差，稱為抽樣誤差。

以均值為例；抽樣誤差定義為：

樣本均值是隨機(jī)變量,抽樣誤差也為隨機(jī)變量。抽樣誤差近似服從正態(tài)分布。

第三十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三可以證明，系列的均方差可作為度量抽樣誤差的指標(biāo)，稱為均方誤。

各參數(shù)的均方誤（抽樣誤差）：第四十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

第六節(jié)水文頻率計(jì)算—適線法（配線法）

適線法（或稱配線法）：是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，得到一條理論頻率曲線。

目估適線法、優(yōu)化適線法。

第四十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、目估適線法

（1）將實(shí)測(cè)資料由大到小排列，計(jì)算各項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率，在頻率格紙上點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量取值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率）。

（2）選定水文頻率分布線型（一般選用P-Ⅲ型）。

（3）初估一組參數(shù)、CV、CS。為了使初估值大致接近實(shí)際，可用矩法或其它方法求出3個(gè)參數(shù)，作為3個(gè)參數(shù)第一次的假定值。

當(dāng)用矩法估計(jì)時(shí)，因CS的抽樣誤差太大，一般不計(jì)算CS，而是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定CS為CV的某一倍數(shù)（如CS=2CV

）。第四十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三（4）根據(jù)假定的、CV、CS，查附表1(或附表2)，計(jì)算xP值，以xP為縱坐標(biāo)，p為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線。將此線畫在繪有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的情況，若不理想，則修改參數(shù)（主要調(diào)整CV、CS）再次進(jìn)行計(jì)算。

（5）最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選擇一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線,相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。

第四十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)頻率曲線的影響：

（1）均值對(duì)頻率曲線的影響1.均值大的位于均值小的之上。2.均值大的較小的陡。第四十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2）CV對(duì)頻率曲線的影響1.隨著CV的增大,頻率曲線越來越陡。第四十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）CS對(duì)頻率曲線的影響

1.CS越大,均值(K=1)對(duì)應(yīng)的頻率越小，頻率曲線中部越向左偏，且上段越陡，下段越平緩。第四十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、計(jì)算實(shí)例：某樞紐處最大洪峰流量頻率計(jì)算某樞紐處年最大洪峰流量計(jì)算表年份洪峰流量序號(hào)排序模比系數(shù)（Ki)Ki-1(Ki-1)2頻率（P）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）19451540127502.2071.2071.45624.51946980223901.9180.9180.84249.119471090318601.4930.4930.242613.619481050417401.3960.3960.157018.219491860515401.2360.2360.055622.719501140615201.2200.2200.048327.31951790712701.0190.0190.000431.819522750812601.0110.0110.000136.41953762912100.971-0.0290.000840.9195423901012000.963-0.0370.001445.5195512101111400.915-0.0850.007350.0195612701210900.875-0.1250.015754.5195712001310500.843-0.1570.024859.1195817401410500.843-0.1570.024863.61959883159800.786-0.2140.045668.219601260168830.709-0.2910.084972.71961408177940.637-0.3630.131777.319621050187900.634-0.3660.134081.819631520197620.611-0.3890.151086.41964483204830.388-0.6120.375190.91965794214080.327-0.6730.452495.5總計(jì)26170

2617021.000.0004.252

均值1246

變差系數(shù)0.46

第四十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、矩法估計(jì)參數(shù)第四十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第四十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第五十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三第五十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三洪峰頻率曲線選配計(jì)算表頻率

P（%）第一次配線第二次配線第三次配線Q=1246CV=0.5

CS=2CV=1.0Q=1246CV=0.6CS=2CV=1.2Q=1246CV=0.5

CS=2.5CV=1.5（1）（2）Kp（3）

Qp（4）Kp（5）Qp（6）Kp（7）Qp12.5131272.8936013373851.9424172.1526792.172704101.6720811.822431.82243201.3817191.4417941.421769500.9211460.8911090.861072750.647970.566980.56698900.445480.354360.39486950.344240.263240.32399990.212620.131620.24299第五十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三權(quán)函數(shù)法估計(jì)參數(shù)：第五十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三序號(hào)排序Qi(m3/s)

（1）（2）（3）（4）（5）127500.00069429-3.420.032.262.733.292223900.00069429-1.980.149.578.798.065318600.00069429-0.570.5739.2419.339.520417400.00069429-0.370.6947.9919.027.536515400.00069429-0.130.8860.9214.363.386615200.00069429-0.110.8961.9813.622.992712700.000694290.001.0069.371.330.025812600.000694290.001.0069.410.770.009912100.000694290.001.0069.29-2.010.0581012000.000694290.001.0069.21-2.570.0951111400.00069429-0.020.9868.25-5.820.4961210900.00069429-0.040.9666.91-8.391.0511310500.00069429-0.060.9465.50-10.311.6231410500.00069429-0.060.9465.50-10.311.623159800.00069429-0.110.9062.37-13.322.845168830.00069429-0.200.8256.86-16.574.829177940.00069429-0.310.7350.94-18.486.707187900.00069429-0.320.7350.66-18.556.789197620.00069429-0.360.7048.68-18.917.349204830.00069429-0.880.4128.74-17.6010.779214080.00069429-1.060.3523.96-16.1210.839總和26170

15.6649261087.60785-79.0174747189.90943292均值1246.19

E-4689.1

G6648976.8

CS1.6

第五十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三兩種參數(shù)估計(jì)方法配線結(jié)果對(duì)比：第五十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三

第七節(jié)相關(guān)分析一、相關(guān)關(guān)系的概念

1、相關(guān)分析：研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系。例如：降雨與徑流之間、上下游洪水之間、水位與流量之間等。

水文計(jì)算中的應(yīng)用：資料的插補(bǔ)展延、水文預(yù)報(bào)等。

2、注意的問題：必須先分析變量在成因上是否有聯(lián)系，不能在兩個(gè)毫不相關(guān)的變量之間硬湊出相關(guān)關(guān)系。第五十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三零相關(guān)3、兩變量之間關(guān)系完全相關(guān)

相關(guān)

直線相關(guān)曲線相關(guān)第五十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、多變量之間的關(guān)系

⑴簡(jiǎn)單相關(guān)：兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，在水文計(jì)算中應(yīng)用較多。

⑵復(fù)相關(guān)：3個(gè)或3個(gè)以上變量的相關(guān)關(guān)系，在水文預(yù)報(bào)中應(yīng)用較多。此外還可分為：直線相關(guān)和非直線相關(guān)。第五十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、簡(jiǎn)單相關(guān)關(guān)系

相關(guān)圖解法相關(guān)分析法

1、相關(guān)分析法（最小二乘法確定參數(shù)a、b）設(shè)：兩變量之間的相關(guān)關(guān)系為：原理：在所有觀測(cè)點(diǎn)與配合的直線在縱軸方向的離差平方和最小的前提下求a、b：第五十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三觀測(cè)點(diǎn)與配合的直線在縱軸方向的離差為：第六十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三要使直線擬合“最佳”，須使離差△yi的平方和為“最小”，即使：