12,22第二章推理與證明教材分析與教學建議

1-2，2-2一、地位與作用及日常生活中的作用，從而架起數(shù)學與生活的橋梁，形成嚴謹?shù)睦硇运季S和科學精神。二、內(nèi)容說明1-22-2中數(shù)學的重要基礎，在高中數(shù)學中占有極其重要的地位和作用．三、課標要求合情推理與演繹推理理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．能運用它們進行一些簡單推理．通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．直接證明與間接證明合法的思考過程、特點．特點．數(shù)學歸納法（文科不做要求）四、本章重點與難點1．1）合情推理、演繹推理（2）直接證明與間接證明。2．1）演繹推理和反證法（）對數(shù)學歸納法的理解（只限理科五、教學內(nèi)容及課時安排理科課時安排（合情推理與演繹推理3課時，直接證明與間接證明2課時，數(shù)學歸納法2課時，小結8）節(jié)次2．1內(nèi)容合情推理和演繹推理課時32．1．1合情推理12．1．2演繹推理22．2直接證明與間接證明22．2．1分析法與綜合法12．2．2反證法12．3數(shù)學歸納法2本章小結1文課時安排（合情推理與演繹推理44210）節(jié)次節(jié)次2．12．1．1內(nèi)容合情推理和演繹推理合情推理課時422．1．2演繹推理22．2直接證明與間接證明42．2．1分析法與綜合法22．2．2反證法2本章小結2六、教材分析教學建議能有意識地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、論證有據(jù)的習慣．（一）合情推理與演繹推理教學重點與難點用“三段論”進行一些簡單推理．教學難點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題．教材分析合情推理和演繹推理是數(shù)學推理的兩種基本推理形式．“合情推理”是高中數(shù)學課程標準的亮點之一．從解放后首次制定年）中小學數(shù)學教學大1978年7月《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）中，強調在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論的作用，而且在教材中專門設置了合情推理的內(nèi)容．歸納推理和類比推理是合情推理的兩種常用的思維方法．歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，可靠，只能算是一種猜想．理是由特殊到特殊的推理，因此結論不一定可靠，只能算是一種猜想．合情推理具有兩大功能：一是探索一般結論，二是發(fā)現(xiàn)解題思路．演繹推理是由一般到特殊的推理（）大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情況；結論 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．

M是P，S是M∴S是P三段論可用右邊的格式來表示．用集合觀點就是：若集合M的所有元素都具有性質是MS中所有元素都具有性質錯誤的結論．合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差異：①從推理形式和推理所得結論的正確性上講，二者有差異．合情推理是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、（即演繹推理）是可靠的、無可置疑的和終決的．合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的②從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度上講，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的．合情推理理可以為演繹推理提供方向和思路，演繹推理可以驗證合情推理的結論的正確性．（公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比等，即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤．對于數(shù)學學習來說，既要學會證明，也要學會猜想．教學建議要注意結合實際例子，使學生了解合情推理的含義；要通過學生學過的簡單的數(shù)學例子，讓學生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；要通過數(shù)學史事，使學生認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用；要通過學生學過的簡單的數(shù)學例子，讓學生掌握演繹推理的基本?！叭握摗蓖评砟Ｊ?；要通過反例，讓學生理解演繹推理的前提與結論之間的蘊涵關系；又學會證明．（二）直接證明與間接證明教學重點與難點證明的一種基本方法——反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過程、特點．教材分析出結論的一種證明方法．分析法的思維特征是：執(zhí)果索因．即從結論入手進行反推，看看需要知道什么，最后推出一個已證的命題（定義、公理、定理、公式等）這種方法進行思考的，有時也將綜合法和分析法結合起來使用．以考慮使用反證法．反證法證題的步驟可歸結為：反設—歸謬—結論．教學建議先講綜合法，后講分析法．綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決用，但學生在理解上顯然不如綜合法那樣容易．要突破分析法這一教學難點．分析法的主要困難有兩點：一是學生對這種證明方法的思考過程讓學生感受分析法證明的可靠性，以及“要證……只需證……”這種表達的必要性；二是將分析法與綜合法對比著進行講解］幫助學生加深對分析法思考過程及特點的理解．通過具體的數(shù)學實例，幫助學生形成既分析又綜合的思維方式，學會將分析法與綜合法結合起析法與綜合法結合起來，證明某些較復雜的數(shù)學問題．結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，幫助學生了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的解．一是要提煉用反證法證題的基本模式．反證法證題的步驟可歸結為：反設—歸謬—結論．其中，正確（歸謬因此，在反證法教學前，宜先復習常用邏輯用語中的相關知識．二是總結反證法的適用范圍．反證法主要適用于以下兩種情形：①要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；種情形．（三）數(shù)學歸納法教學重點與難點證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關的數(shù)學命題．）對數(shù)學歸納法基本原理的理解（）系．教材分析的重點是用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，教科書安排了兩個例題，通過證明數(shù)學命題鞏固對數(shù)學歸納法的認識．數(shù)學歸納法是一種特殊的直接證明的方法．在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）n形．用數(shù)學歸納法證題分為兩大步驟：第一步（歸納奠基：證明當nn0

時命題成立，其中n0

是命題成立的初始值，不一定是自然數(shù)1．這一步是論證的基本保證，是遞推的基礎，必須保證其真實性．第二步（歸納遞推：假設nk(kn0

kN時命題成立，證明nk1時命題也成立．這一步是命題具有后續(xù)傳遞性的保證，是遞推的依據(jù)．由kk1時必須使用歸納假設，否則不算數(shù)學歸納法．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0

開始的所有正整數(shù)n都成立．法．教學建議通過遞推數(shù)列求通項問題，引發(fā)學習數(shù)學歸納法的欲望，說明探索新的證明方法的必要性．分析“多米諾骨牌”全部倒下的原理—遞推思想．給出數(shù)學歸納法的基本原理．和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可．向學生指明數(shù)學歸納法的適用范圍．教學時要使學生明確，數(shù)學歸納法一般被用于證明某些與n（n取無限多個值）nknk1果問題中存在可利用的遞推關系，則數(shù)學歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學歸納法就有困難．讓學生經(jīng)歷數(shù)學研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進一步熟悉數(shù)學歸納法．在教科書例2的教學中，應引導學生關注兩個問題：一是歸納猜想；二是歸納遞推，要注意從nk時的情形到nk1時的情形是怎樣過渡的．七、例題分析例1（歸納推理從1223432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為 用數(shù)學表達式表示)解：n(n1)(n2) 2)(2n1)2例2（類比推理）1所c2

a2

b2設想正方形換成正方體，把截線換成如圖2所示的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN如果用S,S,S表示三個側面面積表示1 2 3 4截面面積，那么你類比得到的結論．圖1 圖2S

S2S

S24 1 2 3例3（假言推理）設a為實數(shù)，求證方程x

2axa20有相異的兩實根。x22axa20的判別式0，則這個方程有實根，而判別式4a22(2a1)270x22axa20有相異的兩實根。例4（三段論推理）已知空間四邊形ABCD中，點、F分別為AADE∥平面BC。AEAEFDC證明：連結BD。因為點E、F分別為AB、AD的中點所以EF∥BDEFBCD，BDBCDEF∥平面BCD例5（關系推理）已知abc, 求證：1 1 4 .bbcabab bc

abc

ab bc acacacabbcabbc2bcab

22 4ab bc ab bc ab bca

a

1 1 4 .ab bc ab bc ac6（完全歸納推理）f(x)x8x5x2x1的值恒為正值。 證明：當x0時，f(x)的每一項均為正數(shù)，故函數(shù)f(x 當0x1時，f(x)x8x5x2x1=x8x21x3 x0； x1f(x)x8x5x2x1x5x31xx1

10。綜上所述，函數(shù)f(x)x8x5x2x1的值恒為正值例7（綜合法）求證：a2b23ab 3(ab)?！遖2b22ab,a232 ,b232 ;將此三式相加得2(a2b23)2ab2 2 ,∴a2b23ab 3(ab).bbmb例8（分析法）已知ab,m0，求證： 。bm證明：ab0,m0，為了證明

am ab，b只需證明 mm只需證明 ambm只需證明 ab

am a因為ab成立，故原不等式成立。例9（反證法）若a,b,c均為實數(shù)，且 , , ,求證：，c中至少有一個大于0。

證明：假設a,b,c都小于0，則abcx2

2y y22z z22x x2

2y

3z

630與假設矛盾，故假設不成立，原命題成立，所以a，b，c中至少有一個大于0。:1

1

... 1

1 1 1

...

1.由nk到2 3 4 2n1 2n n1 n2 2nnk+1時,兩邊應同時加( D)1 1(A)2k1(B)-2k

(C)

12(k

(D)

1 11 2k - k21 例11．欲用數(shù)學歸納法證明:對于足夠大的自然數(shù)n,總有2n

n3n,則（C）0(A) n=1 (B) n是大于1而小于10的某個整數(shù)(C) n 10 (D) n=2。0 0 0 0。3．正項數(shù)列n

a1

2，且滿足a

n1

n an1 求a2

,a,3

；a

的一個通項公式，并用數(shù)學歸納法證明。n1 2 2 2 3 1 2解:(1)a2

a 1 ;a2 1 2 2

a ;a3 2 3

a 4 3 2 4(2)由此猜想,an

,:n①當n1a1

1,公式成立2②假設當nk時公式成立,即akk k 2 2

,則當nk+1kak

ak1

= k1 k k1由①、②可知，對一切nN

*，公式都成立。八、練習題一、選擇題下列表述正確的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤“若pq，為，為真，是演繹推理中的（ ）A．假言推理 B．三段論推理 C．關系推理D．完全歸納推3.下面使用類比推理正確的是（ ）A.“若a3b3,則ab”類推出“若a0b0ab”“若(ab)cacbc”類推出“(ab)cacbc”“若(ab)cacbc”類推出“a

ab

（0”（abn

anbn”（a

c c canbn”4．觀察下列:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,中的值依次是( )A．42,，41，123 B．13，39，123 C．24，23，123 已知命題p:xR，sinx≤1，則（ ）Ａ．p:xR，sinx≥1Ｃ．p:xR，sinx1

Ｂ．p:xR，sinx≥1Ｄ．p:xR，sinx1函數(shù)yax21的圖像與直線yx相切，則a=( )18

14

12

1有一段演繹推理是這樣的b平面直線a平面直線b∥平面則直線b∥直線a的結論顯然是錯誤的這是因為（ ）A.大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)結論顯然是錯誤的，是因為( ) C大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（ ）(A)假設三內(nèi)角都不大于60度 (B)假設三內(nèi)角都大于60度(C)假設三內(nèi)角至多有一個大于60度 (D)假設三內(nèi)角至多有兩個大于60度f0

(x)sinx,f1

(x)

'(x)，f0

(x)f'(x),1

,fn1

(x，n∈Nn

2007

(x)( )A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx拋物線x24y上一點A的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點的距離( )1A.2 B.3 C.4 D.5112.設f(x)x1||x|,則f[f()]( )212

10 C.2

D.1 已知向量a(x,b(2,x),且ab,則由x的值構成的集合( )A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6}有一段演繹推理是這樣的b平面，直線a平面，直線b∥平面，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為( )A.大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤f(xg(x)都是定義在實數(shù)集Rxf[g(x)]0f[g(x．是(

1 1 1 1x

x

x

x C．x

D．x2 5 5 5 5若數(shù)列n

8項的值各異，且

n8

a對任意的nNn

都成立，則下列數(shù)列中，可取遍a的n前8項值的數(shù)列是（ ）

2k

B．

3k

C．

4k

D．

6k117．已知fx12f(),f(11（xN，猜想f(的表達式( )f(x)2A.f(x) 4 B.f2

C.f(x) 1

D.f(x) 22x2 2f(x)

x1

2x118.已知f(x1) ,f(1)1（xN，猜想f(的表達式( )f(x)24 2 1 2A.f(x) B.f(x) C.f(x) D.f(x)2x2 x1 x1 2x1{a}

S SS S T a a a19.設數(shù)列

的前n項和為n

，令T 1 2n n n

n，稱

為數(shù)列，n 1

，……，2

的“理想數(shù)”，n已知數(shù)列a1 2

，……，a500

的”2a1 2

，……，a500

的理想”（ ）A．2008 B．2004 C．2002 D．2000已知aa1

a 0，則使得(1ax)23 i

1(i1,2,3)都成立的x取值范圍是（）1A.（0， ）a1

2B.（0， ）a1

1C.（0， ）a3

2D.（0， ）a3下面的四個不等式：①a

b2

c2

abbcca；②a

；③a

2 ；④ a2b2c2

acbd

.其中不成立的有( )

4 b a個 B.2個 C.3個 D.4個數(shù)列中表示前n項和，且S成等差數(shù)列，通過計算S，S，猜想當nn 1 n n n+1 1 1 2 3≥1時，S=（ ）n2n1A． 2n1

2n1B．2n1

n(nC．2n

1D．1－ 2n1二、填空題一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個依此規(guī)律繼續(xù)下得到一系列的那么在前120個圈中的●的個數(shù)。類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABCAB、ACAB

AC

BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABCACDADB面積與底面積之間滿足的關系.25.從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推廣到第n個等式.26.從1223432，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為 (用數(shù)學表達式表示)27.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關.設平面內(nèi)有ｎ條直線(n3)f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)；當ｎ＞４時，f(n)（用含n的數(shù)學達式表示1所標邊長，由勾c2

a2

b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖2所示的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN如果用S,S,S表示三個側面面積，S 表示截面面積那1 2 3 4么你類比得到的結論．12知數(shù){a滿足S＋a則a,a,a的值分別推測

的表達式.n n n 1 2 3 n3 5 3由數(shù)列的前四項：，1，，，……，歸納出通項公式a=

(n∈N*)．2 8 8 n

aa}，(n∈N*)是等差數(shù)則有數(shù)列b = 1 2n n

ann

(n∈N*)也是等差數(shù)列，類比上述(n∈N*)也是等比數(shù)列．

}是等比數(shù)列,且Cn

＞0(n∈N* )，則有d =nPrivateKeyCryptosystem原理如下圖：解密密鑰密碼加密密鑰密碼 發(fā)送解密密鑰密碼明文 密文 密文 明文現(xiàn)在加密密鑰為ylog (x2)，如上所示，明文6”通過加密后得到密文3，再發(fā)送，接受方通a過解密密鑰解密得到明文6．問：若接受方接到密文為，則解密后得明文 ．34．f(n)1111(nN

f(2)

3,f(4)2,f

5,f(16)3,f(32)

7，推測2 3 n

2 2 2當n2時，．三、解答題35.求證：(1)a2b23ab 3(ab); (2)

6725+ >2 +6725536.證明：2, 3,5

不能為同一等差數(shù)列的三項.37．已知abc, 求證：1 1 4 .ab bc ac觀察以下各等式：3sin230cos260sin30cos60 43sin220cos250sin20cos50 343sin215cos245sin15cos45 34分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明。在△ABCsinAsinBsinC，判斷△ABCcosBcosC已知：空間四邊形ABCD分別為的中點，判斷直線EF與平面ABD結論.f(x)xxf(x△ABCabc的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：角B900. 1 1在各項為正的數(shù)列an

中，數(shù)列的前n項和S 滿足S n n

2anan（1）求aa1 2

,a（2）由1）猜想數(shù)列a3

（）求Sn44.18、設a，b，x，y∈R，且若a,b,c0。

, , ,求證：a，b，c中至少有一個大通過計算可得下列等式：22122113222221 4232231 ┅┅(n1)2n22n1將以上各式分別相加得：(n1)212223nn,即：123n

n(n2類比上述求法：請你求出12

22

32

n2的值.直角三角形的兩條直角邊的和為a，求斜邊的高的最大值。

xx

xx f(x)(xR0，x

Rf

fx

2f 1

2f 1

2恒1 2 1

2 2 2 成立.求證：f(x)是偶函數(shù).第二章推理與證明參考答案一、選擇題1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.D12.D 13.C14.A 15.B 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.A 22.B二、填空題23.14 24. S2BCD

S2ABC

S2ACD

S225.14916...n1n2()n1123...n26.n(n1)(n2) 2)(2n1)21

27.f(2.5)>f(1)>f(3.5)3 7 15 128.5；（n+1）(n-2) 29.S2S2S2S2

30.a＝ ,a＝ ,a＝ ,a＝2－ 2 4 1 2

1 2 2 4 3 8 n 2n31.

n2 32.ncnccc

n233.14 34.f(2n)2三、解答題35.1）∵a2b22ab,a232 ,b232 ;將此三式相加得2(a2b23)2ab2 2 ,∴a2b23ab 3(ab).7254240（2）要證原不等式成立，72542406只需證（ +6

）2>（2

+ ）2，即證2

2 。∵上式顯然成立,23∴原不等式成.36．證明：假設 、 23

5為同一等差數(shù)列的三項，則存在整數(shù)m,n滿足53252= +md ① = +nd ②3252352①n-②m得： n- m=352

(n-m) 兩邊平方得：3n2+5m2-2

mn=2(n-m)215左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無理數(shù)15235所以，假設不正確。即 、 、 不能為同一等差數(shù)列的三.23537（綜合法）abcacacabbcabbc2bcab

22 4ab bc ab bc ab bcbcababc