第九章-微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用課件

第九章微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、復(fù)利公式(1)復(fù)利(逐年)年利率，初始資金n年后的資金若將來值為C，則本金為若現(xiàn)在投資A，每年獲得I，N年后資金用盡，則1反過來，(2)連續(xù)復(fù)利年利率r，本金A，一年分m期計(jì)息，則每期的利率為按復(fù)利計(jì)算，一年末的本利和t年末的本利和為若計(jì)息期則第t年末的本利和為2(3)資金的貼現(xiàn)值與投資問題資金A的終值：按年利率r作連續(xù)復(fù)利計(jì)算，第t年末的本利和為稱之為資金A的終值（或?qū)碇担┵Y金A的貼現(xiàn)值：第t年末要得到資金A，需要的資金投入，稱之為第t年末資金A的貼現(xiàn)值.注：在經(jīng)濟(jì)管理中，我們常把不同時(shí)期的資金轉(zhuǎn)化為收入(支出率)t時(shí)刻的收入(支出)，記為均勻收入(支出)流同一時(shí)期的資金來進(jìn)行比較.3問題：設(shè)在時(shí)間段上，收入(支出)率為年利率r，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，求該時(shí)間段上的總收入的貼現(xiàn)值M與終值N.解決方法：微元分析法第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的近似值第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的精確值4(a)求帖現(xiàn)值(b)求終值微元表達(dá)式積分表達(dá)式在時(shí)間段上，總收入貼現(xiàn)值為微元表達(dá)式在時(shí)間段上的總收入在其積分表達(dá)式后的時(shí)間段收入的終值為5例1若在未來7年內(nèi)每年年末支取資金10000元，在固定利率為5%的情況下，現(xiàn)在需要投資多少？解例2若投資2000元，固定利率為5%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)息，則8年后產(chǎn)資本是多少？解6例3某公司為了發(fā)展新業(yè)務(wù)，需要增加5臺電腦，如果購進(jìn)一臺電腦需要一次性支付5000元現(xiàn)金，電腦的使用壽命為15年；如果租用一臺電腦，每年需要支付600元租金，租金均勻支付，按連續(xù)年利計(jì)息：若銀行的年利率為12%，兩種方式哪種合算？利率為6%呢？解方法一將比較的時(shí)期定在現(xiàn)值上租用租用故租比買合算.7例3某公司為了發(fā)展新業(yè)務(wù)，需要增加5臺電腦，如果購進(jìn)一臺電腦需要一次性支付5000元現(xiàn)金，電腦的使用壽命為15年；如果租用一臺電腦，每年需要支付600元租金，租金均勻支付，按連續(xù)年利計(jì)息：若銀行的年利率為12%，兩種方式哪種合算？利率為6%呢？解方法一將比較的時(shí)期定在現(xiàn)值上若租用：故買比租合算8方法二將比較期定在將來值上若故租比買合算若故買比租合算9例4某人決定按照抵押貸款的方式購買一套住房，若房款10萬美元，現(xiàn)有4萬美元，申請貸款6萬美元，期限25年，月利率1%，復(fù)利計(jì)息，問他每月應(yīng)還款多少？解美元.個(gè)月10二、用需求彈性分析收益的變化Elasticity價(jià)格的變動(dòng)會引起需求量的變動(dòng)，但需求量對價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度是不同的。PQDPDQ問題：兩條需求曲線為什么不同？反應(yīng)程度小反應(yīng)程度大OO11彈性（elasticity）的概念彈性指的是因變量對自變量變化的反應(yīng)程度，公式為：12二、用需求彈性分析收益的變化Elasticity問題一價(jià)格的增加如何影響需求量的下降問題二降低價(jià)格會不會影響收益求做令需求彈性設(shè)價(jià)格p，收益R，需求量q13價(jià)格p，收益R，需求量q分析(1)低彈性收益最大即低彈性時(shí)價(jià)格少許上漲帶來收益增加。(2)高彈性即高彈性時(shí)價(jià)格少許上漲會使收益減少。(3)單位彈性14

五種分類價(jià)格無論如何變動(dòng)，需求量都不會變動(dòng)。（如：急救藥）PQD1O(1)完全無彈性（perfectinelastic）15價(jià)格為既定時(shí)，需求量是無限的。銀行以某一固定的價(jià)格收購黃金實(shí)行保護(hù)價(jià)的農(nóng)產(chǎn)品PQD2O(2)無限彈性（perfectelastic）16價(jià)格變動(dòng)的比率=需求量變動(dòng)的比率。這時(shí)的需求曲線是一條正雙曲線。如運(yùn)輸、住房服務(wù)D3OPQ(3)單位彈性（unitaryelastic）17需求量變動(dòng)的比率小于價(jià)格變動(dòng)的比率。主要是生活必需品病人對藥品（不包括滋補(bǔ)品）的需求的價(jià)格彈性<1若某商品價(jià)格上升20％，其需求量下降10％，則該商品的需求價(jià)格彈性為:

缺乏彈性D4PQO(4)低彈性(缺乏彈性)（inelastic）18需求量變動(dòng)的比率大于價(jià)格變動(dòng)的比率。主要是奢侈品。商品價(jià)格上升6%，而需求量減少9%時(shí)，該商品屬于？富有需求彈性。D5POQ(5)高彈性(富于彈性)（elastic）19例如“谷賤傷農(nóng)”：需求缺乏彈性的商品，E<1需求量變動(dòng)的比率小于價(jià)格變動(dòng)的比率。價(jià)格上調(diào),總收益增加,對生產(chǎn)者有利;價(jià)格下調(diào),總收益減少,對生產(chǎn)者不利。征收消費(fèi)稅，會提高商品價(jià)格需求越缺乏彈性，消費(fèi)者負(fù)擔(dān)的比重就越大，而對生產(chǎn)者有利；需求越富有彈性，消費(fèi)者負(fù)擔(dān)的比重就越小，而生產(chǎn)者負(fù)擔(dān)的比重就越大。價(jià)格變動(dòng)的百分比大于需求量變動(dòng)的百分比時(shí)，提高價(jià)格會增加總收益。QPO20例如：為什么化妝品可以薄利多銷而藥品卻不行？是不是所有的藥品都不能薄利多銷？為什么？答：（1）化妝品之所以能薄利多銷，是因?yàn)樗切枨蟾挥袕椥缘纳唐?，小幅度的降價(jià)可使需求量有較大幅度的增加，從而使總收益增加，而藥品是需求缺乏彈性的商品，降價(jià)只能使總收益減少.（2）并不是所有的藥品都不能薄利多銷.例如一些滋補(bǔ)藥品，其需求是富有彈性的，可以薄利多銷.21設(shè)某商品的需求函數(shù)(線性)

試討論解令(1)低彈性收益最大.即價(jià)格少許上漲將帶來收益增加.(2)高彈性需求下降的百分比大于價(jià)格增加的百分比,則收益減少.(3)單位彈性例5彈性的變化.最高價(jià)如果漲價(jià)，22定義9.1供給彈性設(shè)價(jià)格p，供給量q，供給函數(shù)在處可導(dǎo)稱為該商品在與兩點(diǎn)間的供給彈性.稱為該商品在處的供給彈性.注23過原點(diǎn)Es=1與Q平行ES=∞與P軸平行ES=0OO定義9.2供給彈性的分類24缺乏彈性與Q軸相交ES＜1富有彈性與P軸相交Es＞1PQSA同時(shí)與P、Q相交：價(jià)格下跌，反而要增加生產(chǎn)，才可以維持盈利.ES＜0如糧食、銅的供給電腦制品.OOO25設(shè)商品的供給函數(shù)求供給彈性數(shù)及p=1時(shí)的供給彈性.解例626定義9.3局部彈性(1)需求自身價(jià)格彈性設(shè)商品A的多元需求函數(shù)為即當(dāng)和y保持不變,發(fā)生變化時(shí)，需求量的相對改變量與自變量的相對改變量之比的極限稱為需需求自身價(jià)格彈性，記作注：27(2)需求的交叉價(jià)格彈性即當(dāng)和y保持不變,發(fā)生變化時(shí)，需求量的相對改變量與自變量的相對改變量之比的極限稱為需需求的交叉價(jià)格彈性，記作28注：需求的交叉價(jià)格彈性表示一種商品價(jià)格的相對變動(dòng)所引起的相關(guān)商品需求量的相對變動(dòng).(1)A、B是相互競爭的商品，即(2)A、B是相互補(bǔ)充的商品，即29即y發(fā)生變化時(shí)，需求量的相對改變量與自變量y的相對改變量之比的極限稱為需求的收入彈性，記作(3)需求的收入彈性當(dāng)和

保持不變,注30例7設(shè)需求函數(shù)求當(dāng)時(shí)的解故A、B是相互競爭的商品.31三、最大值與最小值的應(yīng)用1、利潤最大化“利潤最大化”原則：最大利潤時(shí)的產(chǎn)量水平在邊際收益與邊際成本相等時(shí)達(dá)到.32例8設(shè)廠商總成本函數(shù)C=C(q)(q為產(chǎn)量=銷售量=需求量)

，需求函數(shù)為P=P(q),其中C(q)、P(q)均是q的二階可導(dǎo)函數(shù)，且廠商的利潤函數(shù)L=L(q)滿足試確定廠商獲得最大利潤的必要條件。解收益函數(shù)利潤函數(shù)圖形凸，故只存在唯一的駐點(diǎn)，即最值點(diǎn).33例8設(shè)廠商總成本函數(shù)C=C(q)(q為產(chǎn)量=銷售量=需求量)

，需求函數(shù)為P=P(q),其中C(q)、P(q)均是q的二階可導(dǎo)函數(shù)，且廠商的利潤函數(shù)L=L(q)滿足試確定廠商獲得最大利潤的必要條件.解設(shè)最值點(diǎn)為則即稱為廠商的均衡產(chǎn)量，為均衡價(jià)格廠商獲得最大利潤的必要條件是：邊際收益=邊際成本即34例9設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q

件的成本函數(shù)為

C(q)=20+4q(萬元)

，產(chǎn)品的需求函數(shù)為p為產(chǎn)品的價(jià)格，若需求量等于產(chǎn)量，那么(1)求p=6時(shí)，需求對價(jià)格的彈性，并解釋經(jīng)濟(jì)意義.其中(2)求p=6時(shí)，收益對價(jià)格的彈性，并解釋經(jīng)濟(jì)意義.(3)問產(chǎn)量q

分別為多大時(shí)，收益最大，求最大收益；利潤最大，并求最大利潤.解(1)說明價(jià)格上漲1%，需求量減少1/3%35(2)說明價(jià)格上漲1%，需求量增加2/3%.36(3)由實(shí)際問題可知由實(shí)際問題當(dāng)q=5時(shí)，由實(shí)際問題可知37例10設(shè)分別為商品Ⅰ,Ⅱ的需求量，它們的需求函數(shù)為數(shù)為成本函問價(jià)格取何值時(shí)，可使得利潤最大(單價(jià)為萬元).收益函數(shù)：利潤函數(shù)：解其中為兩種商品的價(jià)格，38利潤函數(shù)：即駐點(diǎn)駐點(diǎn)唯一，由實(shí)際問題，即為最大值.39例11某牛奶公司生產(chǎn)鮮奶及酸奶，鮮奶每斤純利0.8元，酸奶每斤純利1.2元，制造x斤鮮奶及y

斤酸奶的成本函數(shù)為產(chǎn)的費(fèi)用是31000元，問如何分配生產(chǎn)使利潤最大？利潤函數(shù)：約束條件：解而該公司每日的生構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：40得方程組構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：唯一駐點(diǎn)由實(shí)際問題，每日生產(chǎn)鮮奶3000斤，酸奶5500斤，利潤最大.412、成本最小化(1)經(jīng)濟(jì)批量存貯過多存貯過少庫存需求均勻，不缺貨占資金，費(fèi)用高訂貨費(fèi)用高，缺貨經(jīng)濟(jì)批量基本假設(shè)：目標(biāo)：訂貨費(fèi)與貯存費(fèi)之和最小準(zhǔn)備工作：T訂貨周期、Q每批訂貨量、每次訂貨費(fèi)用每天每噸貨物的貯存費(fèi)用、q

每天對貨物的需求量C一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用模型一（不允許缺貨的貯存模型）42在一個(gè)訂貨期內(nèi)，需求量從Q降為0時(shí)立刻補(bǔ)貨總貯存費(fèi)為貨物的平均貯存費(fèi)用為Q/2，或或解得唯一駐點(diǎn)經(jīng)濟(jì)批量43公式表明貯存費(fèi)越高，則每次訂貨批量應(yīng)越小.訂貨費(fèi)越高，需求量越大，則訂貨批量應(yīng)越大總費(fèi)用44例12某廠生產(chǎn)某商品，年銷售量為100萬件，每批生產(chǎn)需要增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品的年庫存費(fèi)為0.05元如果銷售是均勻的,且上一批售完,立即生產(chǎn)下一批,每批數(shù)量相同,則全年應(yīng)組織幾批生產(chǎn)，使得生產(chǎn)費(fèi)與庫存費(fèi)最小？解設(shè)批量為Q、總費(fèi)用為C，則成本函數(shù)為又故應(yīng)分五批生產(chǎn)，可使費(fèi)用最小.45模型二（允許缺貨的貯存模型）由于缺貨而失去銷售機(jī)會會使利潤減少，缺貨費(fèi)：減少的利潤視為因缺貨而付出的費(fèi)用.準(zhǔn)備工作貨物售完時(shí)間每天每噸貨物的貯存費(fèi)用、q

每天對貨物的需求量C一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用、T訂貨周期、Q每批訂貨量、每次訂貨費(fèi)用、貨物在時(shí)售完，有段時(shí)間缺貨(需求量仍為q),在T時(shí)下一批訂貨量為Q的貨物到達(dá)46訂貨費(fèi)：在一個(gè)訂貨周期T內(nèi)的總費(fèi)用：貯存費(fèi)：缺貨費(fèi)：故總費(fèi)用為47令則記則與不允許缺貨的模型相比較，有48(2)生產(chǎn)函數(shù)目標(biāo)：達(dá)到最佳的經(jīng)濟(jì)效益在產(chǎn)量不變的情況下，成本最小.成本不變的情況下，產(chǎn)量達(dá)到最大.兩種選擇(Q產(chǎn)量,x

是生產(chǎn)要素ⅠⅡ的投入量,P

為價(jià)格)其中：生產(chǎn)函數(shù)為49①在條件的最小值.下求成本函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)50解得即結(jié)論：成本最小的必要條件是關(guān)于各種生產(chǎn)要素的邊際產(chǎn)量之比等于它們對應(yīng)的價(jià)格之比.邊際產(chǎn)量：稱為關(guān)于生產(chǎn)要素的邊際產(chǎn)量.51②在條件的最小值.下求生產(chǎn)函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)52解得即結(jié)論：雖然追求成本最小化與追求產(chǎn)量最大化的著眼點(diǎn)不同，但是所要滿足的條件是相同的.53例13設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品必須投入兩種要素，投入量，Q為產(chǎn)出量；生產(chǎn)函數(shù)為設(shè)兩要素的價(jià)格分別為產(chǎn)量為多少時(shí)可以使投入總費(fèi)用最??？其中解為兩要素的試求當(dāng)在條件的最小值.下求總費(fèi)用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)54構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解得則駐點(diǎn)唯一，由實(shí)際問題即為最值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，投入總費(fèi)用最小.55四、積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用1、由邊際成本求總函數(shù)設(shè)固定成本邊際收益其中q為產(chǎn)量=需求量=銷售量.邊際成本總成本函數(shù)總收益函數(shù)總利潤函數(shù)56例14設(shè)某廠每天生產(chǎn)某產(chǎn)品q

件，邊際成本函數(shù)為元/件，固定成本為20元,且該商品的銷售價(jià)格為18元/件，設(shè)生產(chǎn)出的商品都能售出，求(1)成本函數(shù)C(q)；(2)產(chǎn)量從2件增加到4件時(shí)的成本變化量；(3)每天產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大？并求最大利潤。解(1)成本函數(shù)57(2)或(3)故當(dāng)時(shí)，58例15設(shè)某廠產(chǎn)品的邊際收益為(1)求收益函數(shù)R(q)；(2)求當(dāng)產(chǎn)品的銷售量從10個(gè)單位減少到5個(gè)單位時(shí)，收益的變化量？解(1)成本函數(shù)(2)或592、消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余記作由于實(shí)際購買價(jià)小于預(yù)計(jì)購買價(jià)，省下的錢的總和稱為消費(fèi)者剩余生產(chǎn)者剩余記作由于生產(chǎn)者實(shí)際成交價(jià)大于預(yù)計(jì)成交價(jià)，則此額外收入的總和稱為消費(fèi)者剩余需求曲線供給曲線60例16設(shè)某商品的需求函數(shù)為供給函數(shù)為解先求市場的均衡價(jià)格和均衡產(chǎn)量求消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余生產(chǎn)者剩余61五、微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用(1)新產(chǎn)品推廣模型設(shè)t時(shí)刻的銷售量為飽和水平Logistic模型：Logistic曲線：利用微元分析法，建立有關(guān)經(jīng)濟(jì)量變化形式的微分方程，通過求解方程，得出經(jīng)濟(jì)量的變化規(guī)律.應(yīng)用：可以描述人口的增長、謠言傳播、流傳病傳播市場占有率、生物種群數(shù)量等現(xiàn)象.62分析：Logistic曲線：拐點(diǎn)銷售速度較快銷售速度漸緩63(2)市場價(jià)格調(diào)整模型設(shè)商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為其中當(dāng)時(shí)，得均衡價(jià)格均為常數(shù)，且供大于求：供不應(yīng)求：降價(jià)漲價(jià)64(2)市場價(jià)格調(diào)整模型供大于求：供不應(yīng)求：降價(jià)漲價(jià)故t時(shí)刻的價(jià)格的變化率與超額需求成正比.即65(3)人才分配模型設(shè)t年教師人數(shù)為個(gè)畢業(yè)生，每年退休死亡或每年的畢業(yè)生中從事教師職業(yè)的比率為調(diào)出人員的比率為科技管理人員數(shù)目為一個(gè)教師每年平均培養(yǎng)則(1)(2)66解(1)式通解為故特解為設(shè)則通解為代入(2)式，得則代入可得特解67特解分析：若取即畢業(yè)生全部留在教育界，則說明教師隊(duì)伍迅速增加，科技管理隊(duì)伍不斷萎縮，勢必影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展.取則說明不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師隊(duì)伍，將影響人才培養(yǎng)，最終導(dǎo)致兩支隊(duì)伍全面的萎縮.68六、差分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用(1)價(jià)格與庫存模型通常情況下，庫存量超過合理庫存量，產(chǎn)品價(jià)格下跌設(shè)為第t個(gè)時(shí)段某產(chǎn)品價(jià)格,為合理庫存量.則如果庫存量低于合理庫存量，產(chǎn)品價(jià)格上漲.為第t個(gè)時(shí)段的庫存量,其中c為比例系數(shù)，常數(shù)變形為69其中設(shè)供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為則設(shè)特解為代入方程得(*)對應(yīng)