復(fù)合材料力學(xué)第2章

2.3

單層板的強(qiáng)度2.3.1正交各向異性單層板的基本強(qiáng)度強(qiáng)度：在外力作用下抵抗永久變形和斷裂的能力稱為強(qiáng)度。強(qiáng)度是衡量構(gòu)件本身承載能力（即抵抗失效能力）的重要指標(biāo)。平面應(yīng)力狀態(tài)下，單層板的基本強(qiáng)度指標(biāo)有：Xt—縱向拉伸強(qiáng)度；

Xc—橫向壓縮強(qiáng)度；

Yt—橫向拉伸強(qiáng)度；

Yc—橫向壓縮強(qiáng)度；

Ｓ—面內(nèi)剪切強(qiáng)度。2.3.1正交各向異性單層板的基本強(qiáng)度測定單層板五個基本強(qiáng)度的方法與測定工程彈性常數(shù)的方法一樣，只不過需要測得相應(yīng)于發(fā)生失效的極限載荷，然和求其極限應(yīng)力即得基本強(qiáng)度。區(qū)別于各向同性材料：強(qiáng)度具有方向性。單向玻璃纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料：縱向拉壓強(qiáng)度可高達(dá)

1000MPa以上，而橫向拉伸強(qiáng)度則只有50MPa左右，橫向壓縮強(qiáng)度在100MPa左右。面內(nèi)剪切強(qiáng)度也是由基體性能控制。與材料性質(zhì)無關(guān)的主應(yīng)力不能用來判斷正交各向異性材料的強(qiáng)度2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則強(qiáng)度準(zhǔn)則：各向同性：旨在用單向應(yīng)力狀態(tài)下的實(shí)測強(qiáng)度指標(biāo)來預(yù)測復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的材料的強(qiáng)度。正交各向異性單層板：利用基本強(qiáng)度建立判別正交各向異性單層在各種平面應(yīng)力狀態(tài)下是否失效的準(zhǔn)則。1.最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則復(fù)合材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)入破壞是由于其中某個應(yīng)力分量達(dá)到了材料相應(yīng)的基本強(qiáng)度值。即，若要材料不發(fā)生破壞，其正軸各應(yīng)力分量必須小于相應(yīng)方向上的基本強(qiáng)度。2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則式中，工作應(yīng)力為代數(shù)值，基本強(qiáng)度為絕對值。只要式中任何一個不等式不滿足，意味著單層材料已失效。應(yīng)用最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則時，當(dāng)作用應(yīng)力在偏軸向，必須將應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換到正軸向，然后由正軸向的應(yīng)力分量利用判據(jù)式（2.3.1）判別失效與否。c12最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則的判據(jù)式為-

X

c

<

s1

<

Xt

-Y

<

s

<

Y

2

tt

<

S（2.3.1）2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則2.最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則復(fù)合材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)入破壞狀態(tài)的主要原因，是材料正軸方向的應(yīng)變值達(dá)到了各基本強(qiáng)度所對應(yīng)的應(yīng)變值。最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則的判據(jù)式為c-eX

<

e1

<

eX

-eY

<

e2

<

eYc

tg12

<

gSt

（2.3.2）2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則由于式（2.3.2）中極限應(yīng)變是與單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力狀態(tài)下基本強(qiáng)度相對應(yīng)的，而材料失效前是線彈性的，故12212tcXtYYEEESe=

Xc

Xc

E

1

=

Yt=

YcgS

=

Ge

=

Xt

，e，e（2.3.3）2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則如圖2.1.1所示的復(fù)雜平面應(yīng)力狀態(tài)，c

212-

X

c

<

s1

-u1s

2

<

Xt-Y

<

s

-u

s

<

Y

2

1

tt

<

S（2.3.4）1

1111222

2221121g12

=

G

t12EEEe

=

e

+

e=

se

=

e+

e

=

sE2

ss

1

（

2.1.4）（

1） （

2）（

2

） （

1）1

—

u

2

1

—

u1u2

=

u1E2

E1（2.1.17）利用式（2.3.3）及單層正軸應(yīng)變—應(yīng)力關(guān)系式（2.1.4），（2.1.17），可將式（2.3.2）改寫成用應(yīng)力來表達(dá)的形式，即2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則2.3.2最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則和最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則只要式（2.3.2）或式（2.3.4）中的任何一個不等式不滿足，就意味著單層板破壞。與最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則一樣，最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則也是講復(fù)合材料的各應(yīng)力分量與基本強(qiáng)度相比較，區(qū)別只是最大應(yīng)變準(zhǔn)則考慮了另外一個彈性主方向應(yīng)力的影響，即泊松耦合效應(yīng)。2.3.3蔡-希爾（Tsai-Hill）強(qiáng)度準(zhǔn)則蔡-希爾強(qiáng)度準(zhǔn)則是各向同性材料的vonMises屈服準(zhǔn)則在正交各向異性材料中的推廣。各向同性von

Mises屈服準(zhǔn)則為式中，σS為單軸拉伸的屈服應(yīng)力。在平面應(yīng)力狀態(tài)下為222z

x

x

ySs

y

-sz+

(s

-s

)

+

s-s

+

6

t2

+t2

+t2yz

zx

xy<

2s

2s

2

+s

2

-s

s

+

3t2

<

s

2x

y

x

y

xy

S（2.3.5）材料受純剪應(yīng)力作用發(fā)生屈服破壞也應(yīng)滿足式（2.3.5），由此得純剪屈服應(yīng)力tS

=s

S，/代3入式（2.3.5）得ySSSSs

ss

2

t2s

2s

2

s

2s

2

t2

x

+-x y

+xy<1

（2.3.6）2.3.3蔡-希爾（Tsai-Hill）強(qiáng)度準(zhǔn)則蔡-希爾準(zhǔn)則認(rèn)為：參照上式形式，可假設(shè)正交各向異性復(fù)合材料單層的強(qiáng)度條件式（2.3.7）稱為蔡-希爾準(zhǔn)則。當(dāng)不滿足（2.3.7）式時，材料失效。蔡-希爾準(zhǔn)則原則上只能用于在彈性主方向材料的拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度強(qiáng)度相同（即Xc=Xt=X，Yc=Yt=Y）的復(fù)合材料單層。若材料拉、壓強(qiáng)度不同，則對應(yīng)于拉應(yīng)力σ1時用拉伸強(qiáng)度Xt、拉應(yīng)力σ2時用拉伸強(qiáng)度Yt；對應(yīng)于壓應(yīng)力σ1時用壓縮強(qiáng)度Xc、壓應(yīng)力σ2時用壓縮強(qiáng)度Yc。X

2

X

2

Y

2

S

2s

ss

2

s

2

t2 1

-

1 2

+

2

+

12<1

（2.3.7）2.3.4霍夫曼（Hoffman）強(qiáng)度準(zhǔn)則蔡-希爾準(zhǔn)則沒有考慮單層拉壓強(qiáng)度不同對材料破壞的影響?；舴蚵鼘Σ?希爾準(zhǔn)則作了修正，增加了σ1和σ2的奇函數(shù)項，提出了霍夫曼強(qiáng)度準(zhǔn)則式中，σ1和σ2的一次項體現(xiàn)了單層拉壓強(qiáng)度不相等對材料破壞的影響。顯然，當(dāng)Xc=Xt、Yc=Yt時，上式就成為蔡-希爾準(zhǔn)則了。1

2t

c

t

c

t

c

t

cX

X

YY

X

XYYS

2s

2

t2X

-

X

Y

-Ys

2

-s

s

1

1 2

+

2

+

c

t

s

+

c

t

s+

12

<1

（2.3.8）2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則StephenW.Tsai(蔡為倫)和EdwardM.Wu綜合了多個強(qiáng)度準(zhǔn)則的特征，以張量形式提出新的強(qiáng)度準(zhǔn)則。他們假定在應(yīng)力空間中的破壞表面存在下列形式Fisi

+

Fijsis

j

<1（2.3.9）對于平面應(yīng)力狀態(tài)，式中i,j=1，2，6。在工程設(shè)計中，通常僅取張量多項式的前兩項。故對于平面應(yīng)力狀態(tài)，在材料的正軸方向展開式（2.3.9）得F

s

2

+2F

s

s

+F

s

2

+F

s

2

+2F

s

s

+2F

s

s

+F

s

+F

s

+F

s

<111

1

12

1

2

22

2

66

6

16

1

6

26

2

6

1

1

2

2

6

6（2.3.10）式中，系數(shù)Fi和Fij稱為應(yīng)力空間的強(qiáng)度系數(shù)。2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則式（2.3.10）與蔡-希爾準(zhǔn)則方程不同，式中有應(yīng)力分量的一次項，這對拉壓強(qiáng)度不同的材料是有用的。式（2.3.10）的應(yīng)用前提，是要確定出各個強(qiáng)度參數(shù)。由于在單層板的正軸方向上，材料的剪切強(qiáng)度不受剪應(yīng)力方向的影響，如果改變剪應(yīng)力的方向，材料的力學(xué)狀態(tài)不會發(fā)生變化，如圖

2.3.1所示。2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則故式（2.3.10）中包含σ6（σ6為剪應(yīng)力τ12的張量符號的縮寫）一次方的三項應(yīng)該去掉。方程（2.3.10）簡寫為F

s

2

+

2F

s

s

+

F

s

2

+

F

t2

+

Fs

+

F

s11

1

12

1

2

22

2 66

12

1

1

2

2寫成矩陣的形式縮寫為[12F

Fs1

0

s1

0

]s

2

+[s1

s

2F11

F12t12

]F12

F220t

0F

t

12

66

12

0

s

2

<1

（2.3.12）<1

（2.3.11）{

}

{}

{

}{

}111TTiijFF

s

+

s

s

<1

（i，j=1，2，6）2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則除F12外的其他五個強(qiáng)度參數(shù)可以從正軸向單軸試驗(yàn)中得到。因?yàn)檎S向單軸受力也應(yīng)滿足失效判據(jù)式（2.3.11），即112222661211

t

1

t

1

111

c1

c22

t2

t22

c2

cF

X

2

-

F

XF

X

2

+F

X

=1，僅s

?0,且s

>0=1，僅s

?0,且s

<0（2.3.13）F

Y

2

+F

Y

=1，僅s

?0,且s

>0

F

Y

2

-F

Y

=1，僅s

?0,且s

<0

F

S

2

=1，僅t

?01

11266

661tc

t

ct

cX

XX

XYYS2Y Y

t c

F

=

1

-

1

，F(xiàn)

=，F(xiàn)

=

1

-

1

（2.3.14）F

=

1

，F(xiàn)

=

1從上述方程組解得2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則聯(lián)系兩個正應(yīng)力的強(qiáng)度系數(shù)Ｆ12，由幾何分析方法確定，結(jié)果為有時為簡化計算，可?。?2=0，其誤差在工程上可以接受。表2.3.1給出幾種典型復(fù)合材料在應(yīng)力空間中的強(qiáng)度參數(shù)值。表中參數(shù)值是按式（2.3.14）和式（2.3.15）計算出來的。1

11F11F222

2

Xt

XcYtYcF12

=-=-

（2.3.15）2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則由于復(fù)合材料直到失效前應(yīng)力與應(yīng)變一直保持線性關(guān)系。因而可以將式（2.1.12）﹛σ1﹜＝[Q]﹛ε1﹜代入式（2.3.11）得{

}

{

}

{

}{

}{

}111TTiijGGe

+

ee

<（1

i，j=1，2，6）（2.3.18）{

}{

}

{

}{

}1

11TTTiijFQ

Q

e

+

eF

Q

e

<

（1

i，j=1，2，6）（2.3.16）{

}TTiiijijF

Q

G

=

Q

F

，

G

=

Q（2.3.17）則可得到用應(yīng)變表示的張量多項式正軸準(zhǔn)則方程令2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則12121212G

e1

G11

G122200

e1

e g

]G[G

G

0]

e

+[e

2

2

g

0

g

12

66

12

G

0

e

<1

（2.3.19）G

e2

+

2G

ee

+

G

e2

+

G

g2

+G

e

+G

e

<111

1

12

1

2

22

2

66

12

1

1

2

2（2.3.20）寫成全式為展開后式中，六個系數(shù)G稱為應(yīng)變空間的強(qiáng)度參數(shù)。2.3.5蔡-吳（Tsai-Wu）張量準(zhǔn)則由式（2.3.17）可知266

66

66+F

Q

QG

=F

Q2G

=F

Q2

+

2F

Q

Q

+

F

Q211

11

11

12

11

12

22

12G

=F

Q2

+

2F

Q

Q

+

F

Q222

22

22

12

11

12

11

12G1

=

F1Q11

+F2Q12G2

=

F1Q12

+F2Q2212

11

11

12

12

11

22

12

22

22 12

G

=

F

Q

Q

+

F（Q

Q

+Q

）（2.3.21）應(yīng)變空間中的強(qiáng)度參數(shù)是無量綱的。[例2.3.1]

T300/5208復(fù)合材料單向板的應(yīng)力狀態(tài)如圖

2.3.2所示。已知σx=500MPa，σy=40MPa,Τxy=60MPa，θ=15°。試分別用最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則、最大應(yīng)變強(qiáng)度準(zhǔn)則、蔡-希爾強(qiáng)度準(zhǔn)則和蔡-吳張量準(zhǔn)則校核其強(qiáng)度。[解]由表2.1.1可知T300/5208復(fù)合材料單向板的基本強(qiáng)度為Xt=1500MPa，Xc=1500MPa，Yt=40MPa，Yc=246MPa，S=68MPa（1）首先求出單向板的正軸應(yīng)力將m=cos15°=0.996，n=sin15°=0.259代入式（2.2.1）得20.96620.2592-0.966

·0.259ys

=

n

m22mn

s

s

x

1

-2mn

s

t

-mnn22

m2mn m2

-

n2

t

12

xy

2

·0.966

·0.259

500=

60

0.25920.9662

-2·0.966

·0.259

40

0.966

·0.2590.9662

-

0.2592

499

-63.1

=

40.8

（MPa）

（2）按最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則校核σ2=40.8MPa>Yt=40MPa,不安全。（3）按最大應(yīng)變準(zhǔn)則校核由表2.1.1可查得Ｅ1=181GPa，E2=10.3GPa，υ1=0.28，G12=7.17GPa。由式（2.1.17）求得488MPa<Xt因?yàn)?/p>

32.8MPa<Yt63.1MPa<

S所以式（2.3.4）的三個表達(dá)式都可滿足，因而按最大應(yīng)變準(zhǔn)則校核是安全的。2