2023年高考數學總復習教師用書：第1章第1講集合含考點分類匯編詳解

第1講集合最新考綱1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算.知識梳理1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.2.集合間的基本關系(1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合關系與運算的常用結論(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個.(2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).診斷自測1.判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)任何集合都有兩個子集.()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.()(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()解析(1)錯誤.空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的.(2)錯誤.集合A是函數y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集.因此A，B，C不相等.(3)錯誤.當x＝1，不滿足互異性.(4)錯誤.當A＝?時，B，C可為任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7練習2改編)若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下列結論正確的是()A.{a}?A B.a?AC.{a}∈A D.a?A解析由題意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2eq\r(2)，知a?A.答案D3.(2016·全國Ⅰ卷)設集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，則A∩B＝()A.{1，3} B.{3，5}C.{5，7} D.{1，7}解析因為A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.答案B4.(2017·杭州模擬)設全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則?U(A∪B)等于()A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5} D.{2，4}解析由題意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴?U(A∪B)＝{2，4}.答案D5.(2017·紹興調研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，則A∪B＝________，(?UA)∩B＝________.解析∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，∴A∪B＝{x|x≥0}，(?UA)∩B＝{x|0≤x<2}.答案{x|x≥0}{x|0≤x<2}6.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個數為________.解析集合A表示圓心在原點的單位圓，集合B表示直線y＝x，易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，且有2個交點，故A∩B中有2個元素.答案2考點一集合的基本概念【例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數是()A.1 B.3 C.5 D.(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8) C.0 D.0或eq\f(9,8)解析(1)當x＝0，y＝0，1，2時，x－y＝0，－1，－2；當x＝1，y＝0，1，2時，x－y＝1，0，－1；當x＝2，y＝0，1，2時，x－y＝2，1，0.根據集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1，0，1，2，共5個.(2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根.當a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值為0或eq\f(9,8).答案(1)C(2)D規(guī)律方法(1)第(1)題易忽視集合中元素的互異性誤選D.第(2)題集合A中只有一個元素，要分a＝0與a≠0兩種情況進行討論，此題易忽視a＝0的情形.(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數集、點集還是其他的集合.【訓練1】(1)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝________.(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數a的取值范圍為________.解析(1)因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，且b＝1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.(2)由A＝?知方程ax2＋3x－2＝0無實根，當a＝0時，x＝eq\f(2,3)不合題意，舍去；當a≠0時，Δ＝9＋8a<0，∴a<－eq\f(9,8).答案(1)2(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,8)))考點二集合間的基本關系【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則()A.AB B.BA C.A?B D.B＝A(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實數m的取值范圍是________解析(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.因此BA.(2)當B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤當B≠?時，若B?A，如圖.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為(－∞，4].答案(1)B(2)(－∞，4]規(guī)律方法(1)若B?A，應分B＝?和B≠?兩種情況討論.(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數滿足的關系.解決這類問題常常要合理利用數軸、Venn圖，化抽象為直觀進行求解.【訓練2】(1)(2017·鎮(zhèn)海中學質檢)若集合A＝{x|x>0}，且B?A，則集合B可能是()A.{1，2} B.{x|x≤1}C.{－1，0，1} D.R(2)(2016·鄭州調研)已知集合A＝{x|eq\r(x)＝eq\r(x2－2)，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為()A.2 B.－1C.－1或2 D.eq\r(2)或2解析(1)因為A＝{x|x＞0}，且B?A，再根據選項A，B，C，D可知選項A正確.(2)由eq\r(x)＝eq\r(x2－2)，得x＝2，則A＝{2}.因為B＝{1，m}且A?B，所以m＝2.答案(1)A(2)A考點三集合的基本運算【例3】(1)(2015·全國Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個數為()A.5 B.4 C.3 D(2)(2016·浙江卷)設集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A.[2，3] B.(－2，3]C.[1，2) D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴?RQ＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(?RQ)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)D(2)B規(guī)律方法(1)在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化.(2)一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數軸表示，用數軸表示時要注意端點值的取舍.【訓練3】(1)(2017·石家莊模擬)設集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，則下列結論正確的是()A.N?M B.N∩M＝?C.M?N D.M∩N＝R(2)(2016·山東卷)設集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，則?U(A∪B)＝()A.{2，6} B.{3，6}C.{1，3，4，5} D.{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M?N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此?U(A∪B)＝{2，6}.答案(1)C(2)A[思想方法]1.集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經常用到.解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉化.2.對連續(xù)數集間的運算，借助數軸的直觀性，進行合理轉化；對已知連續(xù)數集間的關系，求其中參數的取值范圍時，要注意單獨考察等號能否取到.3.對離散的數集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖.這是數形結合思想的又一體現.[易錯防范]1.集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數集、點集還是其他類型集合)，要對集合進行化簡.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，防止漏解.3.解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系.4.Venn圖圖示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心.基礎鞏固題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1.(2015·全國Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，則()A.A＝B B.A∩B＝?C.AB D.BA解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1?B，∴BA.答案D2.(2016·全國Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，則A∩B＝()A.{－2，－1，0，1，2，3} B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3} D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.答案D3.(2017·肇慶模擬)已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，則()A.A∩B≠? B.A∪B＝R C.B?A D.A?B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，則a的取值范圍是()A.(－∞，－1] B.[1，＋∞)C.[－1，1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因為P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范圍是[－1，1].答案C5.(2016·山東卷)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝()A.(－1，1) B.(0，1)C.(－1，＋∞) D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，則A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案C6.(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，則(?UP)∪Q＝()A.{1} B.{3，5}C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}解析∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴?UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴(?UP)∪Q＝{1，2，4，6}.答案C7.若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是伙伴關系集合，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數是()A.1 B.3 C.7 D.解析具有伙伴關系的元素組是－1，eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴關系的集合有3個：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2)).答案B8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在數軸上表示如圖.∴?U(A∪B)＝{x|0<x<1}.答案D二、填空題9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數a的取值范圍是________.解析∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案(－∞，1]10.(2017·寧波調研)集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，則A∩B＝________；A∪B＝________；?BA＝________.解析A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，則A?B，∴|x|＝1，∴A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1}，?BA＝{－1}.答案{0，1}{－1，0，1}{－1}11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x?B}，則A－B＝________.解析由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).答案[－1，0)12.(2017·湖州質檢)已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A?B，則實數m的取值范圍是________.解析由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A?B，所以m＋1>2017，則m>2016.答案(2016，＋∞)13.(2017·金華模擬)設集合A＝{x∈N|eq\f(6,x＋1)∈N}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，則A＝________，B＝________，A∩(?RB)＝________.解析當x＝0，1，2，5時，eq\f(6,x＋1)的值分別為6，3，2，1，當x∈N且x≠0，1，2，5時，eq\f(6,x＋1)?N，∴A＝{0，1，2，5}，由x－1>0，得x>1，∴B＝{x|x>1}，?RB＝{x|x≤1}，∴A∩(?RB)＝{0，1}.答案{0，1，2，5}{x|x>1}{0，1}能力提升題組(建議用時：10分鐘)14.(2016·全國Ⅲ卷改編)設集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則(?RS)∩T＝()A.[2，3] B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3) D.(0，＋∞)解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴?RS＝(2，3)，因此(?RS)∩T＝(2，3).答案C15.(2016·黃山模擬)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴?UB＝[1，＋∞)，A∩(?UB)＝[1，2).因此陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}.答案B16.(2017·南昌十所省重點中學模擬)設集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N|\f(1,4)≤2x≤16))，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，則A∩B中元素的個數是________.解析由