【高中數(shù)學(xué)】充分條件與必要條件（第一課時(shí)） 2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第一章

集合與常用邏輯用語(yǔ)1.4.1充分條件與必要條件高中數(shù)學(xué)/人教A版/必修一知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.4.1充分條件與必要條件“地球有水”與“人類生存”

之間具有怎樣的關(guān)系？“開關(guān)A閉合”與“燈泡C亮”

之間具有怎樣的關(guān)系？

感悟生活條件之間的關(guān)系1感悟與歸納結(jié)論考察下列各組中p與q之間的關(guān)系：

(1)p:x=1,q:x2-4x+3=0(2)p:a2>4

,q:a>2

(3)p:兩個(gè)三角形全等

,q:兩個(gè)三角形面積相等(1)中p能推出q，但q推不出p;(2)中p不能推出q，但q能推出p;(3)中p能推出q，但q推不出p.充分條件與必要條件2基本概念“若p，則q”為真命題，表示由p可以推出q，

記作:pq

并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果“若p，則q”為假命題，表示由p不能推出q，

記作:pq此時(shí)，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.比如：x=1

是

x2-4x+3=0的充分條件，

同時(shí)，x2-4x+3=0是x=1的必要條件；

a2>4

不是

a>2

的充分條件，

同時(shí)，

a>2

不是a2>4的必要條件舉例

先哲對(duì)于“充分”與“必要”的闡釋有之則必然，無之則未必不然墨子(戰(zhàn)國(guó))充分條件無之則必不然，有之則未必然必要條件墨子(戰(zhàn)國(guó))用通俗語(yǔ)言闡釋“充分”與“必要”有這個(gè)條件就夠了！充分條件必不可少的條件！必要條件1.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些p是q的充分條件？練一練(2)若x,y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù);(4)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.(3)若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；(1)若x=1，則x2=1;(1)、(3)、(4)

若

，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.2.請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件.練一練這樣的充分條件唯一嗎？

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論的一個(gè)充分條件.結(jié)論3.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些q是p的必要條件？練一練(1)若x>1，則x>2;(3)若四邊形為矩形，則四邊形為正方形;(4)若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；(2)若a=b，則ac=bc;悟方法：判斷q是不是p的必要條件就是判斷p是不是q的充分條件(2)、(4)

若平面內(nèi)兩直線平行，則

.4.請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫“平面內(nèi)兩直線平行”的一個(gè)必要條件.練一練這樣的必要條件唯一嗎？

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論的一個(gè)必要條件.結(jié)論知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.4.1充分條件與必要條件(1)ab=0

a=0;1.用符號(hào)“”或“”填空：

(4)ab>0

a>0,且b>0;(5)四邊形對(duì)角線互相垂直

四邊形是菱形;(6)圓C上存在點(diǎn)到直線l的距離等于半徑

直線l與圓C相切;

問題方法核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析

+邏輯推理答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)數(shù)或式之間的關(guān)系，可先對(duì)條件進(jìn)行等價(jià)變形再判斷；也可以結(jié)合函數(shù)圖像來判斷；幾何條件的關(guān)系，往往借助于圖形判斷.感悟與歸納方法總結(jié)核心素養(yǎng)之

數(shù)學(xué)抽象+數(shù)學(xué)建模

ABx圖1QP圖2如圖1，“x∈A”

“x∈B”；“x∈A”是“x∈B”的

條件；(用符號(hào)“”或“”填空)(用“充分”或“必要”填空)如圖2，“x∈P”

“x∈Q”；“x∈P”是“x∈Q”的

條件；(用符號(hào)“”或“”填空)(用“充分”或“必要”填空)當(dāng)M?N時(shí)，“x∈M”是“x∈N”的

充分

條件;“x∈N”是“x∈M”的

必要

條件.問題方法核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析+邏輯推理

(2)已知p：x-a>0，

q：x>1.若p是q的充分條件，則實(shí)

數(shù)的取值范圍是

；

(3)已知A={x|a+1≤x≤2a+3},B={x|-1≤x≤4},若x∈A

是x∈B的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

；2.(1)已知A是數(shù)集，則“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”

的

條件；(用“充分”或“必要”填空)

(填“充分”或“必要”)當(dāng)M?N時(shí)，“x∈M”是“x∈N”的

充分

條件;“x∈N”是“x∈M”的

必要

條件.(B)p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根;

q：a+b+c=0.(A)

p：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

q：ac＜0.3.下列各選項(xiàng)中，p是q的充分但非必要條件的是()(C)p：平面內(nèi)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上;

q：PA=PB.

問題方法核心素養(yǎng)之

數(shù)學(xué)運(yùn)算+邏輯推理如果條件比較隱晦，可以先進(jìn)行等價(jià)變形，然后再進(jìn)行判斷；比如(A)中p:b2-4ac>0；(D)中p:

x＝２，ｑ：x＝２或－１問題方法總結(jié)核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析

+邏輯推理分析

當(dāng)有多個(gè)條件同時(shí)出現(xiàn)，關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，可以用“推出”或“推不出”將它們之間充分或必要的關(guān)系翻譯成符號(hào)語(yǔ)言，然后依符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行邏輯推理，得到目標(biāo)之間的邏輯關(guān)系.

(1)若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則r是p的

條件；

(2)若p是q的必要條件，r是q的充分條件，則r是p的

條件.4.用“充分”或“必要”填空：(1)由已知，有p→q，q→r;從而p→r，故r是p的必要條件；(2)由已知，有q→p，r→q;從而r→p，故r是p的充分條件.知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.4.1充分條件與必要條件

(2)“x+y=7”是“x2-y2-6x+8y=7”的

條件;(3)“a>b-1”是“a3>b3”的

條件；

1.用“充分”或“必要”填空：?jiǎn)栴}方法總結(jié)數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)化與化歸分析(4)“a2+b2+c2>ab+ac+bc”是“△ABC是直角三角形”的

條件（a,b,c是△ABC的三條邊）．(1)充分；(先分子有理化)(2)充分；(先分組配方)(3)必要；(先因式分解)(4)必要；(先分組配方)．條件隱晦時(shí)，先要進(jìn)行等價(jià)變形；常用的化歸方法有：分子或分母有理化、通分、因式分解、配方等等

．1)“a>b”是“a2>b2”的

條件；

(2)用“充分”、“必要”、“即充分又必要”或“即不充分又

不必要”當(dāng)中的一個(gè)填空：

2)“a>b”是“ac2>bc2”的

條件；2.(1)下面四個(gè)條件中，使a>b成立的一個(gè)必要條件是()

問題方法數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)化與化歸+數(shù)形結(jié)合判斷變量之間的關(guān)系時(shí)，可借助于數(shù)軸、坐標(biāo)系或函數(shù)圖像；也可以根據(jù)特殊數(shù)字的特性作直觀判斷．(1)D；

(2)1)即不充分又不必要；2)必要3)必要

4)

即不充分又不必要答案3.

以下選項(xiàng)中，既是“關(guān)于x的方程x2+2x-a=0有實(shí)數(shù)根”的充分條件，又是“關(guān)于x的方程x2+4x+2a=0無實(shí)數(shù)根”的必要條件的是（

）

(A)a≥-2(B)a≥0(C)a≥2(D)a≥4

數(shù)學(xué)思想之

函數(shù)與方程思想問題方法分析“關(guān)于x的方程x2+2x-a=0有實(shí)數(shù)根”的充分條件：{a|a≥-1}的子集；“關(guān)于x的方程x2+4x+2a=0無實(shí)數(shù)根”的必要條件：包含{a|a≥2