【高中數(shù)學(xué)】二項分布（課件） 2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步課件(人教A版2019選擇性必修第三冊)

7.4.1二項分布第七章

隨機變量及其分布離散型隨機變量的方差：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，方差的性質(zhì)：則稱為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ(X).隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入本節(jié)將研究兩類重要的概率模型---二項分布和超幾何分布.(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)(當A與B互斥時);(3)P(AB)=P(A)·P(B|A)

前面我們學(xué)習(xí)了互斥事件、條件概率、相互獨立事件的意義,這些都是我們在具體求概率時需要考慮的一些模型,吻合模型用公式去求概率簡便.那么求概率還有什么模型呢？

特別地：

當A與B相互獨立時，P(AB)=P(A)·P(B)新知探究問題1下列一次隨機試驗的共同點是什么？試驗出現(xiàn)的結(jié)果共同點1、擲一枚硬幣2、檢驗一件產(chǎn)品3、飛碟射擊4、醫(yī)學(xué)檢驗正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脫靶陰性；陽性只包含兩個結(jié)果我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.概念生成伯努利試驗我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗(Bernoullitrials).

在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結(jié)果.例如，檢驗一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗結(jié)果為陽性或陰性等.（還記得我們之前的0-1分布嗎？）概念生成

n重伯努利試驗

我們將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征:(1)每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；(2)每次試驗是在同樣條件下進行的；(3)各次試驗中的事件是相互獨立的；(4)每次試驗，某事件發(fā)生的概率是相同的?！爸貜?fù)”意味著各次試驗的概率相同典例解析問題2下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?如果是，那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大?重復(fù)試驗的次數(shù)是多少?(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.(2)某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.(3)一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.隨機試驗伯努利試驗事件AP(A)重復(fù)試驗的次數(shù)n各次試驗是否獨立關(guān)注的隨機變量X(1)(2)(3)擲硬幣正面朝上0.510是正面朝上的次數(shù)射擊中靶0.83是中靶的次數(shù)有放回抽產(chǎn)品抽到次品0.0520是抽到次品的件數(shù)

在伯努利試驗中，我們關(guān)注某個事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗中，我們關(guān)注事件A發(fā)生的次數(shù)X.進一步地求它的概率分布列.新知探究問題3

某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，用下圖的樹狀圖表示試驗的可能結(jié)果：試驗結(jié)果X的值3次獨立重復(fù)試驗的結(jié)果兩兩互斥，每個結(jié)果都是由3個相互獨立事件的積.則X的概率分布列為:P(X=0)你能求出剩下的概率嗎？新知探究問題3

某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，則X的概率分布列為:P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)=3×0.8×0.22=3×0.82×0.2=0.83于是,中靶次數(shù)X的分布列可簡寫為:

問題4

如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些?寫出中靶次數(shù)X的分布列.新知探究（1）連續(xù)射擊4次，中靶次數(shù)X＝2的結(jié)果有共6個.(2)中靶次數(shù)X的分布列為

中靶次數(shù)X的分布列可簡寫為：二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

二項分布如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).概念生成概念辨析問題5

對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯(lián)系嗎?如果把p看成b

，1-p看成a

，則就是二項式定理[(1-p)+p]n的展開式的第k＋1項，由此才稱為二項分布.服從二項分布的事件A恰好發(fā)生k次的概率正好是二項式定理展開式的第k＋1項，故有追問

二項分布和兩點分布有什么聯(lián)系？兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；二項分布可以看做兩點分布的一般形式.概念辨析二項分布的分布列如下表當n=1時，可以得到兩點分布的分布列如右表：典例解析例1

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.解：設(shè)A＝“正面朝上”，則P(A)＝0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(10,0.5).(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)等價于4≤X≤6，于是所求概率為(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率為隨機變量X服從二項分布的三個前提條件：(1)每次試驗都是在同一條件下進行的；(2)每一次試驗都彼此相互獨立；(3)每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.只有這三個條件均滿足時才能說明隨機變量X服從二項分布，其事件A在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率可用下面公式計算.典例解析問題6

如何判斷一個隨機變量X是否服從二項分布？鞏固練習(xí)解：課本77頁3.判斷下列表述正確與否，并說明理由:(1)12道四選一的單選題，隨機猜結(jié)果，猜對答案的題目數(shù)X~B(12,0.25)；(2)100件產(chǎn)品中包含10件次品，不放回地隨機抽取6件，其中的次品數(shù)Y~B(6,0.1).每道題猜對答案與否是獨立的，且每道題猜對答案的概率為0.25，故猜對答案的題目數(shù)X服從二項分布，即X~B(3,0.6).(1)正確.理由如下：每次抽到次品的概率為0.1，但由于是不放回抽樣，所以每次是否抽到次品不獨立，不滿足二項分布的條件.(2)錯誤.理由如下：例2如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0,1,2,???,10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.

X的概率分布圖如右圖所示：于是，X的分布列為典例解析例3甲、乙兩選手進行象棋比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?解1：若采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2:0或2:1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因為每局比賽的結(jié)果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3:0,3:1或3:2.因為每局比賽的結(jié)果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為因為p2>p1，所以5局3勝制對甲有利.實際上，比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利.典例解析解2：若采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局數(shù)，則X~B(3,0.6)，所以甲最終獲勝的概率為同理，若采用5局3勝制，則X~B(5,0.6)，所以甲最終獲勝的概率為

例3甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?思考

為什么假定賽滿3局或5局，不影響甲最終獲勝的概率?采用3局2勝制賽滿3局時,若前2局獲勝,那第3局的勝負并不影響甲獲勝;同樣,采用5局3勝制賽滿5局,若前3局獲勝,那后2局的勝負并不影響甲獲勝,若前4局勝3局,那第5局的勝負也不影響甲獲勝.典例解析方法歸納一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下:

(1)明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；

(2)確定重復(fù)試驗的次數(shù)n，并判斷各次試驗的獨立性；

(3)設(shè)X為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p).鞏固練習(xí)課本77頁解：2.雞接種一種疫苗后,有80%不會感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗,求:(1)沒有雞感染病毒的概率；(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.新知探究：二項分布的均值與方差問題7

假設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?對于一個離散型隨機變量，除了關(guān)心它的概率分布外，我們還關(guān)心它的均值和方差等數(shù)字特征.因此,一個服從二項分布的隨機變量，其方差和均值也是我們關(guān)心的.我們知道，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有100×0.5＝50次正面朝上.

根據(jù)均值的含義，對于服從二項分布的隨機變量X,我們猜想E(X)＝np.

新知探究：二項分布的均值與方差從簡單開始,先考察n較小的情況.服從二項分布的隨機變量X,我們猜想：E(X)＝np.

(1)當n＝1時,X服從兩點分布,X分布列為

則有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝pD(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p)(2)當n＝2時,X分布列為

P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2pD(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,由此可猜想,

若X~B(n,p),則有新知探究：二項分布的均值與方差如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).下面對均值進行證明.證明：鞏固練習(xí)課本77頁解：1.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù).(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.解：5.某射手進行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標的概率為0.6，且每次射擊的結(jié)果互不影響，已知射