提分專練06特殊四邊形相關(guān)的證明與計算

#提分專練(六)特殊四邊形相關(guān)的證明與計算|類型1|與平行四邊形有關(guān)的證明與計算1.[2019?揚(yáng)州]如圖T6J,在平行四邊形ABCD中,A￡平分/。45,已知CE=6,BE=8,DE=10.⑴求證:/BEC=90°;(2)求cosNDAE.圖T6J圖T6J2.[2019-本溪]如圖T6-2,在四邊形ABCD中,AB〃CD,AD±CD，/B=45°,延長CD到點(diǎn)E,使DE=DA,連接AE.⑴求證:四邊形ABCE是平行四邊形；(2)若AB=3,CD=1,求四邊形ABCE的面積.圖T6-圖T6-2.[2017?石景山二模]如圖T6-3,四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AD邊上，點(diǎn)F在AD的延長線上，且BE=CF.⑴求證:四邊形EBCF是平行四邊形；(2)若/BEC=90°,NABE=30°,AB=73,求ED的長.圖T6-3.[2018?房山一模]如圖T6-4,在4ABC中,/ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是BC,AB的中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F,使EF=2。及連接CEAF(1)證明:AF=CE;(2)若NABC=30°AC=2,連接BF,求BF的長.F圖T6-4|類型2|與矩形有關(guān)的證明與計算.[2017?海淀一模]如圖T6-5,在。ABCD中AE±BC于點(diǎn)E,延長BC至點(diǎn)F使CF=BE,連接AF,DE,DF.⑴求證:四邊形AEFD是矩形；(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的長.ADBEC圖T6-5.[2019?平谷二模]如圖T6-6,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,AE±BC交CB延長線于E,CF〃AE交AD延長線于點(diǎn)F.⑴求證:四邊形AECF是矩形;(2)連接OE,若cosZBAE=4,AB=5,求OE的長..[2019?東城二模]如圖T6-7,在4ABC中AB=AC,D為BC中點(diǎn)AE〃BD，且AE=BD.(1)求證:四邊形AEBD是矩形；(2)連接CE交AB于點(diǎn)F,若ZABE=30°,AE=2,求EF的長.圖T6-7.[2018?石景山一模]如圖T6-8,在四邊形ABCD中,/A=ZBCD=90°,BC=CD=2V10,CE±AD于點(diǎn)E.(1)求證:AE=CE;(2)若tanD=3,求AB的長.A E圖T6-8|類型3|與菱形有關(guān)的證明與計算.[2018?房山二模]已知:如圖T6-9,四邊形ABCD中,AD〃BC,AD=CD,E是對角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形；(2)如果ZBDC=30°,DE=2,EC=3,求CD的長.圖T6-9.[2018?順義期末]已知:如圖T6-10,四邊形ABCD中,AD〃BC,對角線BD平分/ABC,且BD±DC,E為BC的中點(diǎn)、AB=DE.(1)求證:四邊形ABED是菱形；(2)若/C=60°,CD=4,求四邊形ABCD的面積.R圖T6J0.[2019?宿遷]如圖T6J1，矩形ABCD中,AB=4,BC=2,點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，且BE=DF=3.⑴求證:四邊形AECF是菱形;(2)求線段EF的長..[2018?懷柔一模]直角三角形ABC中,/BAC=90°,D是斜邊BC上一點(diǎn)，且AB=AD，過點(diǎn)C作CE±AD,交AD的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F.⑴求證:/ACB=ZDCE;(2)若NBAD=45°,AF=2+V2,過點(diǎn)B作BG±FC于點(diǎn)G,連接DG.依題意補(bǔ)全圖形，并求四邊形ABGD的面積.圖T6J2|類型4|與正方形有關(guān)的證明與計算.[2019?仙桃]如圖T6J3,E,F分別是正方形ABCD的邊CB,DC延長線上的點(diǎn)，且BE=CF,過點(diǎn)E作EG〃BF,交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)G,連接GF.求證：(1)AE±BF;(2)四邊形BEGF是平行四邊形.圖T6J3.[2016.門頭溝一模]如圖T6J4,在矩形ABCD中,A￡平分/BAD，交BC于E過E作EF±AD于F,連接BF交AE于P,連接PD.(1)求證:四邊形ABEF是正方形;.[2018?東城期末]正方形ABCD中,點(diǎn)P是邊CD上的任意一點(diǎn)，連接BP,O為BP的中點(diǎn)，作PE±BD于E,連接EO,AE.(1)若NPBC=a,求/POE的大小(用含a的式子表示)；(2)在⑴的條件下，用等式表示線段AE與BP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.圖T6J5.[2018?通州一模]如圖T6J6，直線l是線段MN的垂直平分線，交線段MN于點(diǎn)0,在MN下方的直線l上取一點(diǎn)P,連接PN,以線段PN為邊，在PN上方作正方形NP4注射線MA交直線l于點(diǎn)C,連接BC.(1)設(shè)NONP=a，求NAMN的度數(shù)；(2)寫出線段AM,BC之間的等量關(guān)系，并證明.圖T6J6【參考答案】.解:(1)證明:???四邊形ABCD是平行四邊形,???AB=DC=DE+CE=16,AD=BC,DC//AB,AZDEA=ZEAB.,?AE平分ZDAB,AZDAE=ZEAB,AZDAE=ZDEA,AAD=DE=10,ABC=10.■:CE2+BE2=62+82=102=BC2,A△BCE是直角三角形,ZBEC=90°.(2)VAB/CD,AZABE=ZBEC=90°,AAE=7AB2+BE2=V162+82=8gAcosZDAE=cosZEAB=AB=%=芯.AE8/5 5.解:(1)證明:?;AD±CD,AB/CD,AZADE=ZDAB=90°.*；AD=DE,AZE=ZDAE=45°,AZEAB=135°.VZB=45°,AZB+ZEAB=180°,AAE/BC,A四邊形ABCE是平行四邊形.(2)由(1)知AB=CE,VCD=1,AB=3,ADE=2.VAD=DE,AAD=2,AS =3x2=6.四邊形ABCE3.解:(1)證明:V四邊形ABCD是矩形，AZA=ZCDF=90°,AB=DC,AD=BC.在RtABAE和RtACDF中，AB=DC,

BE=CF,?.RtA5AZT=RtACZ)/^：.Z1=ZF.：.BE//CF.又,：BE=CF,???四邊形EBCF是平行四邊形.(2)I?在RQA4￡^,Z2=3Q°,AB=V3,AE=AB-tanN2=1,BE=-^-=2,Z3=60°.cosz2在RtABEC^,BC=-^~=」一二4.cosz3cos60°：.AD=BC=4.：.ED=AD-AE=4-1=3.4.解:⑴證明:分別是5cA5的中點(diǎn),；?DE為AABC的中位線，：.DE//ACAC=2DE.又，：EF=2DE,：.EF=AC,???四邊形ACEF為平行四邊形，：.AF=CE.(2)ZACB=90°,ZABC=30°AC=2,：.BC=2^,DE=1,ZEDB=9Q°.???。為5C中點(diǎn)，：.BD=43.丈：EF=2DE,：.EF=2.：.DF=3.在RtABDF中,由勾股定理得BFZBD2+。方2=2遍.5.解:⑴證明:〈CM及：.CF+EC=BE+EC,^EF=BC.^ABCD中小?！?。且：.AD//EF^AD=EF.???四邊形AEFD是平行四邊形.\'AE±BC,：.ZAEF=90°.???四邊形4￡尸。是矩形.(2)四邊形4￡尸。是矩形,?！?8,,\AF=DE=S.'：AB=6,BF=^,：.452+4^2=62+82=1QQ=BF2,：.ZBAF=90°.'：AELBF,：.AABF的面積」484b=5廣4￡.2 2?人石71F—6x8—24BF10 5'6.解:⑴證明：：四邊形45。。是菱形,：.AD//BC.,/CF//AE,??四邊形AECF是平行四邊形.\'AE±BC,??平行四邊形A￡Cb是矩形.(2)：cosNA4￡=；,A5=5,：.AE=4,BE=3.\'AB=BC=5,：.CE=S..*.AC=4V5.??對角線交于點(diǎn)O,：.AO=CO=2y[5.：.OE=2yf5.7.解:(1)證明:???A￡〃5Q,A￡=5。，???四邊形AEBD是平行四邊形.,?N5=AC,。為中點(diǎn)，：.AD.LBC,：.ZADB=90°,是矩形.(2)二,四邊形AEBD是矩形,AZAEB=90°.VZABE=30°,AE=2,ABE=2V3,BC=4.AEC=2巾.VAE//BC,???△AEFs'BCF.?巫=隹=1.CFBC2AEF=1EC=2/7.3 38.解:(1)證明:(法一)過點(diǎn)B作BH±CE于H，如圖.VCE±AD,AZBHC=ZCED=90°,Z1+ZD=90°.VZBCD=90°,AZ1+Z2=90°,AZ2=ZD.又BC=CD,A△BHC0'CED.ABH=CE.VBH±CE,CE±AD,ZA=90°,A四邊形ABHE是矩形，AAE=BH.AAE=CE.(法二)過點(diǎn)C作CH±AB交AB的延長線于H.圖略,證明略.(2)V四邊形ABHE是矩形，AAB=HE.V在Rt△CED中,tanD=二=3,DE

設(shè)DE==x,CE=3x,??CD=V10x=2V10.??x=2.???DE=2,CE=6.:CH=DE=2.??AB=HE=6-2=4..解:(1)證明:在^ADE與八CDE中,rEA=EC,■AD=CD,、DE=DE,:.△ADE必CDE(SSS),AZADE=NCDE.,?AD//BC,AZADE=ZCBD,AZCDE=ZCBD,ABC=CD,,?AD=CD,ABC=AD,又,?*/BC,A四邊形ABCD為平行四邊形.,?AD=CD,A四邊形ABCD是菱形.(2)作EF±CD于F.VZBDC=30°,DE=2,AEF=1,DF=V3.VCE=3,ACF=2V2,ACD=2V2+V3..解:(1)證明:VBD±DC,E為BC中點(diǎn),ABE=ED=EC,AZDBE=ZBDE.

又AD〃BC,AZADB=ZDBE,AZADB=ZBDE.,?AB=AD,AZABD=ZADB,AZBDE=ZABD,ADE〃AB.又,「AD〃BC,即AD〃BE,A四邊形ABED為平行四邊形.又AB=AD,A平行四邊形ABED為菱形.(2)由(1)得,BE=EC=AD=DE,「ZC=60°,A△DEC為等邊三角形.作DF±BC于F,則UDF=魚DC=2百，BC=2CE=2CD=8,AS確*ABCD=1AD+BC).DF=1x(4+8)x2曲=12V3.梯形ABCD2 2.解：(1)證明:「?在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,ACD=AB=4,AD=BC=2,CD〃AB,ZD=ZB=90°.「BE=DF=3,ACF=AE=4-3=5,AF=CE=722+(3)AAF=CF=CE=AE=5,A四邊形AECF是菱形.(2)過(2)過F作FH±AB于H,則四邊形AHFD是矩形,AAH=DF=3,FH=AD=2,???EH=2-2=1,EF=7FH2+HE2=62+12=V5.12.解:(1)證明:?「AB=AD,AZABD=ZADB.VZADB=ZCDE,AZABD=ZCDE.「ZBAC=90°,AZABD+ZACB=90°.VCE±AE,AZDCE+ZCDE=90°.AZACB=ZDCE.(2)補(bǔ)全圖形，如圖所示：VZBAD=45°,ZBAC=90°,AZBAE=ZCAE=45°,ZF=ZACF=45°.*/AE±CF,BG±CF,AAD//BG.VBG±CF,ZBAC=90°且ZACB=ZDCE,AAB=BG.VAB=AD,ABG=AD,A四邊形ABGD是平行四邊形.VAB=AD,A平行四邊形ABGD是菱形.設(shè)AB=x，則BG=GD=AD=x,ABF=V2BG=V2x.AAB+BF=x+V2x=2+V2,Ax=V2.過點(diǎn)B作BH±AD于H,ABH上AB=1.2AS四邊形ABGD=MH=①13.證明:(1)延長FB父AE于H,??四邊形ABCD是正方形，??AB=BC,/ABC=NBCD=90°,AZABE=/BCF=90°.義:BE=CF,A△ABE^ABCF,AZFBC=ZEAB.VZFBC+ZABH=180°-ZABC=90°,AZABH+ZHAB=90°,AZAHB=90°,AAE±BH,即AE±BF.(2)設(shè)CG父BF于O,CO平分/BCF,A—=S&BOC=區(qū)0FSaoc)VEG//BF,?CO—BC—BC?BO—COOGBECFOFOG,XVZBOC=ZFOG,A△BOCsAFOG,AZCBO=ZGFO,ABC/GF,A四邊形BEGF是平行四邊形..解:(1)證明:V四邊形ABCD是矩形,AZFAB=ZABE=90°,AF/BE.VEF±AD,AZAFE=90°,

，四邊形ABEF是矩形.,?AE平分/BAD,AF//BE,AZFAE=ZBAE=ZAEB，,AB=BE,???四邊形ABEF是正方形.(2)過點(diǎn)P作PH±AD于H，如圖所示.???四邊形ABEF是正方形,ABP=PF,BA±AD,ZPAF=45°,AAB/PH.,?AB=4,AAH=PH=2,,?AD=7,ADH=AD-AH=7-2=5,在RtAPHD中,ZPHD=90°.AtanZADP=也=2.HD5.解:(1)在正方形ABCD中,BC=DC,ZC=90°,AZDBC=ZCDB=45°.VZPBC=a,AZDBP=45°-a???PE±BD,O為BP的中點(diǎn),AEO=BO,AZEBO=ZBEO,AZPOE=ZEBO+ZBEO=90°-2a.BP=V2AE.證明:連接OC,EC,在正方形ABCD中,AB=BC,ZABD=ZCBD,BE=BE,??△ABE必CBE,AAE