線性代數(shù)實(shí)踐教師班第講

線性代數(shù)實(shí)踐教師班第講第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.1矩陣運(yùn)算的規(guī)則在MATLAB入門中已講過的，不再重復(fù)。由于其乘法不符合交換律，有些公式不能亂用；單列向量與單行向量的左右兩種乘法要加區(qū)別，而且往往有特別的用途。例如向量長度（范數(shù)）的計(jì)算；例如二維坐標(biāo)網(wǎng)格的生成；

X=ones(21,1)*[-10:10],Y=[-10:10]’*ones(1,21)矩陣的乘冪An,eA和(I-A)-1的級數(shù)展開，都要求A是方陣。第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三矩陣乘法不滿足交換律有許多我們習(xí)慣的公式，其中隱含地包含了交換律，這些公式在矩陣運(yùn)算中也不能直接使用。比如：正確的做法是展開時(shí)不交換次序第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三平面上網(wǎng)格坐標(biāo)系的產(chǎn)生第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三用列矩陣乘行矩陣生成網(wǎng)格坐標(biāo)這兩個(gè)矩陣都是21行21列的，都有441個(gè)元素，如何快捷地輸入呢？這時(shí)可以用到列乘行的乘法運(yùn)算?？捎孟旅娴恼Z句：h10:10;lhlength(h) %輸入均分行向量%用全么列乘均分行生成XXones(lh,1)*h%用均分列乘全么行生成YYh‘*ones(1,lh)第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.2初等變換乘子矩陣的生成行交換E1gen(n,i,j)：使n行矩陣中的第i,j兩行交換functionE=E1gen(n,i,j)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=0;E(j,j)=0;E(i,j)=1;E(j,i)=1;乘子矩陣E2gen(n,i,k),使n行矩陣中的第i行乘以kfunctionE=E2gen(n,i,k)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=k;E3gen(n,i,j,c)使n行矩陣中的第i行乘以k加到第j行上functionE=E3gen(n,i,j,k)n=size(A);E=eye(n);E(j,i)=k;第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三初等變換乘子矩陣示例E=E1gen(8,4,6)E2=E2gen(8,4,6)E3=E3gen(8,4,6,5)例如E3=E3gen(3,1,3,4)第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例7.2.4求消元所需的乘子矩陣要消去下列矩陣的A(2,1),求乘子矩陣E3在第二行加以第一行乘A(2,1)/A(1,1)3，故令BE3gen（A,1,2,3）第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三行階梯生成等價(jià)于矩陣左乘因此，整個(gè)行階梯形式U的生成過程，可以看作把原矩陣左乘以一系列的初等變換矩陣E1和E3。把這些初等矩陣的連乘積寫成Ex，設(shè)其逆為L:

從而有 L*UA

（7.10）就是說，A可以分解為一個(gè)準(zhǔn)下三角矩陣L和一個(gè)上三角（即行階梯）矩陣U的乘積。MATLAB提供了三角分解的函數(shù)lu，它的調(diào)用方法是：

[L,U]lu(A)第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三lu分解是求行階梯的一個(gè)方法用lu函數(shù)求出的U實(shí)際上就是A的行階梯形式（不是簡化行階梯形式）。所以，求簡化行階梯形式用rref函數(shù)，而求行階梯形式可以用lu函數(shù)。不過，它和我們用消元運(yùn)算所得U的數(shù)據(jù)不一定相同，盡管得出的階次和階梯形狀相同。但因?yàn)樾须A梯形式可以有無數(shù)種，用不同步驟算出的結(jié)果也不同。只有變成簡化行階梯形式，才能進(jìn)行比較，看它是不是惟一的。第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.3行列式的定義和計(jì)算兩種定義方法：1。按全排列求和定義，其中tj為第j種排列的逆序數(shù)。第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三行列式第2種定義方法2。按解的分母項(xiàng)，從低階到高階用歸納法定義

二階：三階：第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三兩種定義方法的比較第一種定義的兩個(gè)數(shù)學(xué)難點(diǎn)‘全排列’和‘逆序數(shù)’，是絕大多數(shù)工科學(xué)生一生不會(huì)用的。第二種定義方法自然地得出了行列式按行（或按列）展開的公式。美國教材都用第二種定義方法。兩種方法都不能用來計(jì)算，因?yàn)槠溆?jì)算效率都極低，25×25矩陣要算上萬年。第8章將指出，行列式的幾何意義是面積或體積，可否從這方面探索，因?yàn)樗挠猛竞軉我唬褪桥袛嗥娈愋?，連正負(fù)號都不必關(guān)心。第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三行列式的計(jì)算方法計(jì)算行列式的最好方法還是行階梯法，可以利用lu分解

[L,U]lu(A)把A分解為一個(gè)準(zhǔn)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積。因?yàn)閐et(L)1，所以U和A的行列式相等。det(A)det(U)而三角矩陣U的det(U)很好求。只要把U的主對角線元素連乘就可得到它的行列式。此法所需的乘法次數(shù)僅為定義1法的10-23

第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三行列式計(jì)算實(shí)例7.3.1程序如下[l,u]lu(A), dudiag(u) Dprod(du) 結(jié)果為du10 –4.8 10.625 9.4824

1.2349D5.9720e0035972第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.4矩陣的秩和矩陣求逆按定義，矩陣的秩是矩陣A中行列式不等于零的最高階子式的階次。是用以衡量聯(lián)立方程中有效方程數(shù)目的指數(shù)。按照定義來計(jì)算矩陣的秩，可能遇到的問題也是子矩陣的數(shù)量很大，每個(gè)矩陣的行列式計(jì)算又非常麻煩，其計(jì)算量也將是不可接受的天文數(shù)字。計(jì)算矩陣的秩的最好方法仍然是行階梯法，如第6章所述，行階梯化簡后非全為零的行數(shù)，就是該矩陣的秩。用MATLAB函數(shù)rrank(A)可以檢驗(yàn)A的秩，rank函數(shù)對A是否是方陣沒有要求，即可以有m≠n。第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三矩陣求逆對于nn方陣A，當(dāng)rn時(shí)，稱A是滿秩的，若rn，必有det(A)0，稱A是欠秩的或奇異的。奇異矩陣不可以求逆。矩陣求逆的最簡單方法也是行階梯化簡，其方法是設(shè)定一個(gè)由A和I組成的增廣矩陣C[A,I]，求C的簡化行階梯形式UCrref([A,I])，得出UC

[I,V]。V就顯示出這個(gè)逆矩陣的內(nèi)容。第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例7.6求逆矩陣示例求A的逆陣解：程序ag706。A[3,0,3,6;5,1,1,5;3,1,4,9;1,3,4,4];C[A,eye(4)]U0Crref(C)VU0C(:,5:8)第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三程序運(yùn)行結(jié)果右邊四列就是其逆陣：矩陣求逆命令：V=inv(A),

第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三用inv函數(shù)求逆求A的逆陣程序ag707為：A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],V=inv(A)運(yùn)行結(jié)果：Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=6.042030e-018.第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三條件數(shù)—衡量奇異程度的量在用數(shù)值方法計(jì)算矩陣的逆時(shí)，由于計(jì)算中的誤差，人們不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩陣是否奇異，并不是那么絕對的。為了評價(jià)矩陣接近‘奇異’的程度，采用了‘條件數(shù)’（ConditionNumber）作為常用的衡量指標(biāo)。它永遠(yuǎn)大于1。其數(shù)值愈接近于1，計(jì)算誤差愈?。籑ATLAB中，條件數(shù)用cond(A)計(jì)算，它達(dá)到104以上時(shí)，求逆的誤差就可能相當(dāng)可觀。像現(xiàn)在，條件數(shù)達(dá)到1016（注：條件數(shù)是逆條件數(shù)RCOND的倒數(shù)），結(jié)果是根本不能用的。第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.5用矩陣‘除法’解線性方程如果mn，則線性代數(shù)方程

Axb

（7.21）中的A是方陣，設(shè)det(A)≠0，則它的逆陣存在。將上式左右同乘以inv(A)，由于inv(A)*AI，得到

xinv(A)*b（7.23）MATLAB創(chuàng)立了矩陣除法的概念，因?yàn)閕nv(A)相當(dāng)于將A放到分母上去，所以可以把上式寫成

xA\b

（7.24）‘\’就稱為左除，因?yàn)閕nv(A)是乘在b的左方。第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三左除’\’解線性方程的擴(kuò)展左除‘\’的功能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了矩陣求逆函數(shù)inv，inv(A)函數(shù)要求A必須是方陣，所以（7.23）式只能用來解‘適定’方程，而（7.24）式并不要求A為方陣，在A是mn階且mn（欠定）時(shí)，它只要求A與b的行數(shù)相等且A的秩為m。所以（7.24）式也可以用來解欠定方程，在下例中可以看出。此外，運(yùn)算符‘\’還能用來解超定方程，第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三左除’\’解欠定方程例7.8用矩陣算法解例6.5.1A[3,4,3,2,1;0,6,0,3,3;4,3,4,2,2;…1,1,1,0,1;2,6,2,1,3];b[2;3;2;0;1];x=A\b得到x=inf，無解。改用行階梯方法找有效行。左除要求的是系數(shù)矩陣的行數(shù)與秩相同，B[A,b],r=rank(B),[UB,ip]rref(B);U0UB(1:r,1:5);dUB(1:3,6);xU0\d第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三本例運(yùn)行結(jié)果r=3,及 它是此欠定方程的一個(gè)特解。第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.6.1

網(wǎng)絡(luò)的矩陣分割和連接在電路設(shè)計(jì)中，經(jīng)常要把復(fù)雜的電路分割為局部電路，每一個(gè)電路都用一個(gè)網(wǎng)絡(luò)‘黑盒子’來表示?！诤凶印妮斎霝閡1，i1，輸出為u2，i2，其輸入輸出關(guān)系用矩陣A來表示（如圖7.1所示）：A是22矩陣，稱為該局部電路的傳輸矩陣第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)兩個(gè)串接的子網(wǎng)絡(luò)。第一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)包含電阻R1，第二個(gè)子網(wǎng)絡(luò)包含電阻R2，列出第一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的電路方程為：由得矩陣方程第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）由第二網(wǎng)絡(luò)：寫成矩陣方程為：整個(gè)電路的傳輸矩陣為兩者的乘積第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.6.2

用逆陣進(jìn)行保密編譯碼在英文中有一種對消息進(jìn)行保密的措施，就是把英文字母用一個(gè)整數(shù)來表示。然后傳送這組整數(shù)。這種方法是很容易根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率來破譯，例如出現(xiàn)頻率特別高的數(shù)字，很可能對應(yīng)于字母E?？梢杂贸艘跃仃嘇的方法來進(jìn)一步加密。假如A是一個(gè)行列式等于±1的整數(shù)矩陣，則A

1的元素也必定是整數(shù)。而經(jīng)過這樣變換過的消息，同樣兩個(gè)字母對應(yīng)的數(shù)字不同，所以就較難破譯。接收方只要將這個(gè)消息乘以A

1就可以復(fù)原。第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.6.3

減肥配方的實(shí)現(xiàn)設(shè)脫脂牛奶的用量為x1個(gè)單位（100g），大豆面粉的用量為x2個(gè)單位，乳清的用量為x3個(gè)單位，表中的三個(gè)營養(yǎng)成分列向量為：使這個(gè)合成的營養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，得到

第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三7.6.4

彈性梁的柔度矩陣設(shè)簡支梁如圖7.3所示，在梁的三個(gè)位置分別施加力f1，f2和f3后，在該處產(chǎn)生的綜合變形為圖示的y1