線性代數(shù)非齊次線性方程組

線性代數(shù)非齊次線性方程組第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三對于m個方程n個未知數(shù)的線性方程組b=0,齊次線性方程組b≠0,非齊次線性方程組第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三一、非齊次線性方程組有解的判定條件定理1第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三不妨設(shè)r(A)=r,利用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形

證明：第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三必要性:若（*）有解，則dr+1=0,即得r(A)=r(A|b)

充分性:若r(A)=r(A|b)

，即dr+1=0,則（*）有解。并令個自由未知量任意取值，rn-即可得方程組的一個解．

其余個作為自由未知量,

把這

行的第一個非零元所對應(yīng)的未知量作為非自由未知量,第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三推論解.可逆時,方程組有唯一，即AnAr=)()1(時，方程組無解或無窮多解.）（nAr<)(2定理1’此乃第三章的精華所在(Cramer法則)第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三例1求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣進(jìn)行初等變換，故方程組無解．第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三為求解非齊次線性方程組，只需將增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，再將行階梯形矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解。第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三二、線性方程組的解法例2求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣進(jìn)行初等變換第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三為什么選為非自由未知量？選行最簡形矩陣中非零行首非零元1所在列！第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三所以方程組的通解為第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三例3

證方程組的增廣矩陣為對增廣矩陣進(jìn)行初等變換，第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三由此得通解：第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三定理1’而且通解中有n-r(A)個任意常數(shù).結(jié)論：兩方程組同解，則系數(shù)矩陣的秩相同第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三例4設(shè)有線性方程組解一第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三且其通解為第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三這時又分兩種情形：第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三對非齊次線性方程組下面我們來看齊次線性方程組解的情況第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三定理2

對于n元齊次線性方程組nAr<?)(2有非零解））方程組有無窮解（即（推論2

當(dāng)m<n時，齊次線性方程組必有非零解.推論1

m=n時，對方程組第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三

為求齊次線性方程組的解，只需將系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解。第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三齊次線性方程組的解法例1

求解齊次方程組的通解解對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等變換第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三故方程組有非零解，且有為什么選為非自由未知量？選行最簡形矩陣中非零行首非零元1所在列！第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三得方程組的通解為第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解法一因?yàn)橄禂?shù)矩陣為含參數(shù)的方陣，故可考慮使用“行列式”法，而例2當(dāng)取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三通解為第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三解法二用“初等行變換”（法）把系數(shù)矩陣化為階梯形第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三例3已知三階非零矩陣B的每一列都為齊次線性方程組求Ax=0的解，其中(1)的值；(2)(3)一個矩陣B解：(1)由題意可知，Ax=0有非零解，因此即因此，第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三(2)將A化為行最簡形矩陣相應(yīng)的線性方程組為第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三因此，通解為所以B的任兩列對應(yīng)成比例，從而(3)由B的列為Ax=0的解向量，可得B可取為第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三本章概要一、矩陣的秩二、齊次線性方程組的解三、非齊次線性方程組的解第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三一矩陣的秩1.

矩陣秩的概念2.

矩陣秩的結(jié)論非零子式的最高階數(shù)行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．(1)(2)(3)(4)(5)(6)第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三說明若A為n階可逆矩陣，則1.(非奇異矩陣或非退化矩陣)2.(滿秩陣)3.A的標(biāo)準(zhǔn)形是單位陣In.4.第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三(2)初等變換法3.

矩陣秩的計(jì)算(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三定理二齊次線性方程組的解1.解的理論2.解法把系數(shù)矩陣化成行階梯形矩陣，由定理1分析齊次線性方程組解的情況，若r(A)<n，則將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣，寫出相應(yīng)的齊次線性方程組，然后選取自由未知量，并求出其通解.第四十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三三非齊次線性方程組的解1.解的理論對非齊次線性方程組第四十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期三把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)