高中數(shù)學(xué)-平面幾何中的向量方法教學(xué)課件設(shè)計(jì)

第二章平面向量

第五節(jié)平面向量應(yīng)用舉例

第一課時(shí)平面幾何中的向量方法因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限，如果不能運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)．由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題．回顧復(fù)習(xí)平面向量的運(yùn)算及幾何意義？如何判斷兩個(gè)向量的平行.垂直？

例1：（有關(guān)長(zhǎng)度的問(wèn)題）．ABCD猜想：長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？類(lèi)比猜想：平行四邊形有相似關(guān)系嗎？?jī)蓷l對(duì)角線的平方和等于兩鄰邊平方和的兩倍如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABCD分析：不妨設(shè)AB＝a，AD＝b．

則AC＝a＋b，DB＝a－b．a(chǎn)b遇到有關(guān)長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)，我們常常需要考慮向量的數(shù)量積．ABCD解：ab|AC|2＝AC·AC＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b

同理|BD|2＝|a|2－2a·b＋|b|2

．所以|AC|2

＋|BD|2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|AB|2＋|AD|2)．＝|a|2＋2a·b＋|b|2．

總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄?，把幾何?wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。

變式訓(xùn)練:用向量的方法證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO

如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量即

即，∠ACB=90°

1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；

3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：可簡(jiǎn)單的表述為：[形到向量]——[向量的運(yùn)算]——[向量和數(shù)到形]

例2：如圖，□ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE

、

BF分別與AC交于R

、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR

、

RT

、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR＝RT＝TCABCDEFRT解：第一步：[形到向量]設(shè)則AB＝a，AD＝b，AR＝r，AT＝t，AC＝a＋b．第二步：[向量的運(yùn)算]由于AR與AC共線，故設(shè)r=n(a+b)，n∈R．又因?yàn)镋R與EB共線，所以設(shè)ER＝m

EB＝m(a－b)，12ABCDEFRT因?yàn)锳R＝AE＋ER，所以r＝

b＋m(a－b)，1212因此

n(a+b)＝

b＋m(a－b)，1212

即(n－m)a

＋(n+

)b＝0m-12

由于向量a，b不共線，n－m＝0n＋＝0m-1213解得：n＝m＝．ABCDEFRT所以AR＝AC，13同理TC＝AC，13于是RT＝AC，13第三步：[向量和數(shù)到形]故AT＝RT＝TC．總結(jié)：本題選擇了恰當(dāng)?shù)幕蛄?，通過(guò)列向量方程，解方程組得到結(jié)論，體現(xiàn)了方程思想在向量解題中的運(yùn)用。例3（計(jì)算夾角的大?。┧伎?：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE，你認(rèn)為∠A的大小是否為定值？ABCDE思考2：設(shè)向量a，b，可以利用哪個(gè)向量原理求∠A的大??？ABCDEab思考3：以a，b為基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：將CD⊥BE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論？ABCDEab已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y=2x－6，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若RA＝2AP，求點(diǎn)P的軌跡方程．解：設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)所以，點(diǎn)P的軌跡方程為y＝2x．則RA＝(1-x1，-y1)，AP＝(x-1，y)，由RA＝2AP得(1-x1，-y1)＝2(x-1，y)即x1＝-2x+3，y1＝-2y代入直線l的方程得y＝2x．1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路：幾何問(wèn)題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化.小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么