拉格朗日插值

-xk--xk-1 kk+1)…(xk-x)每一個(gè)基函數(shù)都是零點(diǎn)多項(xiàng)式lk(xj)=1j=；,(j=0,1 n)j豐k拉格朗日插值繪制龍格現(xiàn)象一、問(wèn)題敘述龍格反例l/(l+xj)說(shuō)明高次代數(shù)插值會(huì)導(dǎo)致誤差很大。在區(qū)間［-5,5］上取等距結(jié)點(diǎn)構(gòu)造10次拉格朗日插值多項(xiàng)式用計(jì)算機(jī)繪制圖形顯示龍格現(xiàn)象。二、理論分析拉格朗日插值：假設(shè)有(n+1)個(gè)拉格朗日插值結(jié)點(diǎn)x<x<<x，已知函數(shù)值01ny0=f%)必=f(卩，yn=fW)TOC\o"1-5"\h\z求n次多項(xiàng)式L(x)使其滿(mǎn)足插值條件f(xy=y(j=0,1, ,n)n j j類(lèi)似于二次插值方法，根據(jù)插值結(jié)點(diǎn)構(gòu)造(n+1)個(gè)拉格朗日插值基函數(shù)(x-x)…(x-x)(x-x)…(x-x)l(x)= 0 k- 屮 n—k (x-x)…(x-x)(xk0 kL(x)滿(mǎn)足插值條件L(x)=f(x)(j=0,1, ,n)n nj jnjj=0拉格朗日插值基函數(shù)：l(x)=H(x-xj)拉格朗?日插值多項(xiàng)式:k (xnjj=0jj=0kkj切比雪夫插值：n階切比雪夫多項(xiàng)式定義為T(mén)(x)=cos(narccosx),(n=0,1,),xg[-1,1]n若令0=arccosx，則有T=cosn0。由余弦函數(shù)性質(zhì)，有ncos(n+1)0+cos(n-1)0=2cos0cosn0所以有遞推關(guān)系T(x)=2xT -T(x),(n=h2)，又有T=1,T=x，所以n階切TOC\o"1-5"\h\zn+1 n(x) n-1 0 12k+1比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)為x=cos兀,(k=0,1, ,n?-?1)。k 2nHermite插值 …如果f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)可導(dǎo)，x,x,Lxg［a,b］是互異的，那么存在唯0 1 n一的多項(xiàng)式H (x)滿(mǎn)足多項(xiàng)式在這些點(diǎn)上的值與函數(shù)f(x)的值相等、多項(xiàng)式在這些點(diǎn)的2n+1一階導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值相等。這個(gè)多項(xiàng)式可以表示為

H (x)=》f(x)[1-2(x-x)l'(x)l2(x)2n+1 i ii ii=0+工f'(x)(x-x)l2(x)iii=0rr-jj(x一x)rr-jjj,i=0,1,L,n(x一x)rr-jj0k,i=rr-jj0k,i=0,1,L,nx一xij三、算法MATLAB實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值描繪龍格現(xiàn)象，代碼如下functionf=Language(x,y,x0)symstl;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y維數(shù)不相等');return;endh=sym(0);for(i=1:n)l=sym(y(i));for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;h=h+l;endsimplify(h);if(nargin==3)f=subs(h't',x0);elsef=collect(h);f=vpa(f,6);end主程序x1=-5:1:5;x2=-5:2:5;x3=-5:2/3:5;y11=1./(1+x1〃2);%10次拉格朗日插值y12=1./(1+x2〃2);%5次拉格朗日插值y13=1./(1+x3〃2);%15次拉格朗日插值x0=-5:0.001:5;%調(diào)用拉格朗日函數(shù)y1=Language(x1,y11,x0);y2=Language(x2,y12,x0);y3=Language(x3,y13,x0);y0=1?/(1+x0?八2);plot(x0,y0);holdonplot(x0,y2,'r');holdonplot(x0,y1,'k');holdonplot(x0,y3,'g');holdonxlabel('x');ylabel('y');title('原函數(shù)f(x)=1/(1+xT)等距拉格朗日插值');legend('原函數(shù)','5次拉格朗日插值’，’10次拉格朗日插值','15次拉格朗日插值’)；gridon插值效果如下：圖1等距拉格朗日插值圖1分別進(jìn)行5次、10次、15次拉格朗日插值，可以看出5次插值擬合效果不是很好，10次插值在插值區(qū)間的邊界處出現(xiàn)很大波動(dòng)，明顯偏離原函數(shù)，15次插值看到波動(dòng)情況加強(qiáng)故得出結(jié)論：拉格朗日插值次數(shù)不宜過(guò)高。高次插值邊界出現(xiàn)這種波動(dòng)現(xiàn)象叫做龍格現(xiàn)象。為避免上述現(xiàn)象，分別采用切比雪夫插值，埃米特插值和樣條插值來(lái)避免龍格現(xiàn)象切比雪夫插值：用切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)代替等距結(jié)點(diǎn)，其他基本不變x1=-5:1:5;y11=1?/(1+x1?八2);x0=-5:0.001:5;y1=Language(x1,y11,x0);y0=1?/(1+x0?八2);k=0:1:10;xx=5*cos((2*k+1)*pi/22);%用切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)代替等距結(jié)點(diǎn)yy=1?/(1+xx?八2);y4=Language(xx,yy,x0);plot(x0,y0,'k');holdonplot(x0,y1,'r');holdonplot(x0,y4,'b',xx,yy,'ob');插值效果如下：圖2切比雪夫插值由圖2可以看出10次切比雪夫插值很好的和原函數(shù)擬合，并且波動(dòng)較小，說(shuō)明偽振蕩現(xiàn)象得到控制。樣條插值：樣條插值直接采用MATLAB插值函數(shù)spline()，代碼如下：x=-5:1:5;y=1?/(1+x〃2);xx=-5:0?01:5;yy=spline(x,y,xx);%使用樣條插值方法x0=-5:0?001:5;y0=1./(1+x0.人2);plot(x,y,'ok',xx,yy,'r',x0,y0,'b');插值效果如下：圖3樣條插值由圖3可以看出樣條插值擬合效果最好，與原函數(shù)基本一致，但樣條插值處理1/(l+25*x'2)函數(shù)時(shí)，還是有波動(dòng)的，故不能完全說(shuō)明樣條是最好的插值方式(4)Hermite插值：根據(jù)埃米特插值表達(dá)式寫(xiě)出代碼如下：functionyy=Hermite(x,y,dy,xx)n=length(y);m=length(x);l=length(dy);k=length(xx);ifm~=n,error('向量長(zhǎng)度不一致’)；end;ifn~=l,error('向量長(zhǎng)度不一致');end；z=zeros(1,k);forj=1:ks=0;fort=1:m;a=0;b=1;fori=1:n;ifx(t)~=x(i)a=a+1/(x(t)-x(i));b=b*((xx(j)-x(i))/(x(t)-x(i)));endends=s+(y(t)*(1-2*(xx(j)-x(t))*a)*b八2+dy(t)*(xx(j)-x(t))*b八2);end

z(j)=s;endyy=z;插值效果如下：由圖4