2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章6.2均值不等式核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析訓(xùn)練含解析新人教B版

PAGE9-第6章核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一利用均值不等式求最值

命題精解讀考什么：(1)考查求最值，證明不等式等問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的【核心素養(yǎng)】.怎么考：求式子的最值，證明不等式、與函數(shù)結(jié)合考查求函數(shù)的值域，與解析幾何結(jié)合求面積等幾何量的最值.新趨勢(shì)：與函數(shù)相結(jié)合求值域.學(xué)霸好方法1.求最值的解題思路(1)拼湊法：拼湊成積或和為定值，利用均值不等式求相應(yīng)的最值.(2)構(gòu)造法：通過(guò)對(duì)已知條件的變形，構(gòu)造定值，代入后利用均值不等式求值.(3)消元法：當(dāng)要求最值的式子中含有多個(gè)字母時(shí)，應(yīng)考慮利用已知條件減少字母的個(gè)數(shù)，以達(dá)到利用均值不等式求最值的目的.2.交匯問(wèn)題與方程、不等式交匯時(shí)，涉及恒成立問(wèn)題、參數(shù)的范圍等.通過(guò)拼湊定值求最值【典例】已知a,b>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為_(kāi)_________.

【解析】因?yàn)閍,b>0,方法一:原式=QUOTE+1+QUOTE-1=QUOTE+QUOTE-1≥2QUOTE-1=4-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,a=b時(shí)取等號(hào).方法二:所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+1+QUOTE-1≥2QUOTE-1=3,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE+1=QUOTE,即a=b時(shí)取等號(hào).答案:3本例不能直接運(yùn)用均值不等式時(shí)怎么辦？提示：通過(guò)分子分母同除以a統(tǒng)一式子的結(jié)構(gòu)或直接加1變形，再觀察拼湊定值利用均值不等式求最小值.通過(guò)常值代換求最值【典例】(2019·深圳模擬)已知a>1,b>0,a+b=2,則QUOTE+QUOTE的最小值 ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTE C.3+2QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選A.已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-1>0,則QUOTE+QUOTE=[(a-1)+b]QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE+QUOTE;當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,a+b=2時(shí)取等號(hào).則QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE+QUOTE.將條件進(jìn)行變形目的是什么？提示：將已知條件變形，變形的方向是要證明的式子，特別是與式子分母相關(guān)的定值，將定值變?yōu)?后相乘，再利用均值不等式求最值.通過(guò)消元求最值【典例】(2020·武漢模擬)若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則QUOTE的最大值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x+4y-xy=0,所以y=QUOTE>0,解得x>4,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x-4=QUOTE,x=6時(shí)等號(hào)成立,所以QUOTE的最大值為QUOTE.將其中一個(gè)字母利用另一個(gè)字母表示，代入后的變形方向如何？提示：構(gòu)造定值以利用均值不等式求最值.構(gòu)造二次不等式求最值【典例】(2019·重慶模擬)已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),且ab+2a+b=6,則2a+b的最小值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閍,b,c均為正實(shí)數(shù),且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=QUOTE×2ab≤QUOTE,所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時(shí)取等號(hào),所以2a+b的最小值為4.答案:4本題利用均值不等式，將已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)換的目標(biāo)是什么？提示：轉(zhuǎn)化成關(guān)于2a+b的二次不等式，通過(guò)解不等式求最值.1.設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則QUOTE的最小值為()A.-9 B.9 C.10 D.02.(2020·廈門模擬)已知0<x<1,當(dāng)QUOTE+QUOTE取得最小值時(shí)x= ()A.2-QUOTE B.QUOTE-1 C.QUOTE D.QUOTE3.(2019·嘉興模擬)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,則a+2b的最小值為()A.5+2QUOTE B.8QUOTE C.5 D.94.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是 ()A.1 B.3 C.6 D.12【解析】1.選B.QUOTE=5+QUOTE+x2y2≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)xy=±QUOTE時(shí),上式取得等號(hào),可得最小值為9.2.選D.因?yàn)?<x<1,所以1-x>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(x+1-x)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時(shí)取等號(hào),所以QUOTE+QUOTE取得最小值時(shí)x=QUOTE.3.選A.因?yàn)閍>0,b>0,且2a+b=ab-1,所以a=QUOTE>0,所以b>2,所以a+2b=QUOTE+2b=2(b-2)+QUOTE+5≥5+2QUOTE=5+2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)2(b-2)=QUOTE,即b=2+QUOTE時(shí)取等號(hào).所以a+2b的最小值為5+2QUOTE.4.選B.因?yàn)閤2+2xy-3=0,所以y=QUOTE,所以2x+y=2x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=3.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=1時(shí)取等號(hào).1.已知點(diǎn)A(1,2)在直線ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在滿足該條件的a,b,使得不等式QUOTE+QUOTE≤m2+8m成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-∞,-1]∪[9,+∞) B.(-∞,-9]∪[1,+∞)C.[-1,9] D.[-9,1]【解析】選B.點(diǎn)A(1,2)在直線ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,QUOTE+QUOTE=(a+2b)QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時(shí)取得等號(hào),即QUOTE+QUOTE的最小值為9,則9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.2.以點(diǎn)(-1,-1)為圓心且與曲線C:xy=1(x>0)有公共點(diǎn)的圓稱之為C的“望圓”,則曲線C的所有“望圓”中半徑最小值為 ()A.4 B.QUOTE C.8 D.2QUOTE【解析】選D.根據(jù)題意,設(shè)QUOTE為曲線C上任意一點(diǎn),“望圓”的半徑為r,若“望圓”與曲線C有公共點(diǎn),則r2=(t+1)2+QUOTE=t2+QUOTE+2QUOTE+2≥2QUOTE+2×2QUOTE+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)t=QUOTE時(shí),等號(hào)成立,則r的最小值為2QUOTE.考點(diǎn)二均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

【典例】經(jīng)測(cè)算,某型號(hào)汽車在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油量y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為y=QUOTE當(dāng)該型號(hào)汽車的速度為_(kāi)_______km/h時(shí),每小時(shí)耗油量最少,最少為每小時(shí)________L. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】當(dāng)x∈[50,80)時(shí),y=QUOTE(x2-130x+4900)=QUOTE[(x-65)2+675],所以當(dāng)x=65時(shí),y取得最小值,最小值為QUOTE×675=9.當(dāng)x∈[80,120]時(shí),函數(shù)y=12-QUOTE單調(diào)遞減,故當(dāng)x=120時(shí),y取得最小值,最小值為12-QUOTE=10.因?yàn)?<10,所以當(dāng)x=65,即該型號(hào)汽車的速度為65km/h時(shí),可使得每小時(shí)耗油量最少,最少為每小時(shí)9L.答案:659有關(guān)實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用均值不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊,兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi),成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn),產(chǎn)品的月銷量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3-QUOTE.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元,產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元,若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和,則該公司最大月利潤(rùn)是________萬(wàn)元.

【解析】由題意知t=QUOTE-1(1<x<3),設(shè)該公司的月利潤(rùn)為y萬(wàn)元,則y=QUOTEx-32x-3-t=16x-QUOTE-3=16x-QUOTE+QUOTE-3=45.5-QUOTE≤45.5-2QUOTE=37.5,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE時(shí)取等號(hào),即最大月利潤(rùn)為37.5萬(wàn)元.答案:37.5考點(diǎn)三均值不等式的交匯應(yīng)用

【典例】1.已知A,B是函數(shù)y=2x的圖象上不同的兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B到直線y=QUOTE的距離相等,則點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是 ()A.(-∞,-1) B.(-∞,-2)C.(-∞,-3) D.(-∞,-4)2.已知等差數(shù)列{an}中,a3=7,a9=19,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則QUOTE的最小值為_(kāi)_______. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由A,B是圖象上兩點(diǎn),想到設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo);由點(diǎn)A,B到直線距離相等想到構(gòu)造等式條件2由a3,a9想到基本量的運(yùn)算,由Sn,an想到求出代入【解析】1.選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨設(shè)x1<x2.函數(shù)y=2x為單調(diào)增函數(shù)，若點(diǎn)A，B到直線y=QUOTE的距離相等，則QUOTE-y1=y2-QUOTE，即y1+y2=1，即QUOTE+QUOTE=1.由均值不等式得1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=-1時(shí)取等號(hào)，則QUOTE≤QUOTE，解得x1+x2<-2(因?yàn)閤1≠x2，所以等號(hào)取不到).2.因?yàn)閍3=7，a9=19，所以d=QUOTE=QUOTE=2，所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1，所以Sn=QUOTE=n(n+2)，因此QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE×2QUOTE=3，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào).故QUOTE的最小值為3.答案:3關(guān)于均值不等式與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯利用其他知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化，表示出要求最值的式子，根據(jù)條件，利用均值不等式求最值.1.已知a>b>1,且2logab+3logba=7,則a+QUOTE的最小值為 ()A.3 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.令logab=t,由a>b>1得0<t<1,2logab+3logba=2t+QUOTE=7,得t=QUOTE,即logab=QUOTE,a=b2