用向量坐標(biāo)法求夾角與距離

用向量坐標(biāo)法求夾角與距離第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：則：①②③④⑤當(dāng)時(shí)⑥一、復(fù)習(xí)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：則：⑦⑧⑨AB的中點(diǎn)第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三二、講解新知識(shí)：

①②③④第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三⑧求平面法向量的方法：待定系數(shù)法。

⑤⑥平面α的法向量：若，則稱叫做平面α的法向量。⑦第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三棱長為4的正方體中，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，且⑴求BE與DF的夾角θ

解：⑴[方法1]：

在線段AB上取中點(diǎn)G，則GE//DF，∴∠GEB為所求的角，

GH在△GEB中：GB=2，

∴

∴∠GEB=arccos

第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三棱長為4的正方體中，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，且⑴求BE與DF的夾角θ

xzy解：⑴[方法2]：如圖建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz,（分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸）∵AB=4∴B(4,4,0),D(0,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)

∴

∴

∴

第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三棱長為4的正方體中，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，且⑵求A到EF的距離d

xzy⑵解∵A(4,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)∴

∴

∴

∴

第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三棱長為4的正方體中，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，且⑶求A到平面BEF的距離mxzy⑷求AF與平面BEF的夾角φ。

⑶解∵B(4,4,0),E(4,3,4),F(0,1,4)

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為

∴

令y=4得

又∵

∴

∴

⑷由⑶得:

∴

∴

又∵

第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)

⑴求BD與AE的夾角θ

F解：⑴[方法1]：

在線段BC上取中點(diǎn)F，則ED//FB且ED=FB∴∠AEF或其補(bǔ)角中最小的為所求的角，

∵

∴∴∴第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)

xzy⑴求BD與AE的夾角θ

⑴[方法2]：

如圖建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz,（分別以CA、CB、CC1為x、y、z軸）

∴A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),D(1.5,1.5,1),E(1.5,0,1)

∵

∴

∴

∴

第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)

xzy⑵求A到BE的距離d⑵解∵A(3,0,0),B(0,3,0),E(1.5,0,1)∴

∴

∴

∴

第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)

xzy⑶求A到平面BDE的距離

m⑶解∵DE//BC∴平面BDE也就是平面BCE，

設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為

∵A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),E(1.5,0,1)

∴

∴

∴

令x=2得

∴

且第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三已知：△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△的位置，且，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)

xzy⑷求AB與平面BDE的夾角φ

⑷解：由⑶得:⑶求A到平面BDE的距離

m又∵

∴

∴

∴

第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三四、小結(jié)1、用用向量坐標(biāo)法解題的步驟：①建立o-xyz直角坐標(biāo)系，②求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，③求相應(yīng)向量的坐標(biāo)，④應(yīng)用向量性質(zhì)與公式求解或證明。

2、求異面直線AB與CD的夾角θ：

3、求點(diǎn)A到直線BC的距離d：

①

②

第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三4、求點(diǎn)P到平面ABC的距離d：①求平面ABC的一個(gè)法向量：（方法：待定系數(shù)法）

②求（A是平面ABC中的任一點(diǎn)），

③

5、求AP與平面ABC的夾角θ：

由4得：

6、數(shù)學(xué)思想：①立體圖形平面化，②幾何問題代數(shù)化

第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三六、作業(yè)（金榜第49頁第10（2）題）（用向量坐標(biāo)法解曾解過的題目）已知：棱長為a的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是