3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用

3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用高二數學選修2-3章統(tǒng)計案例獨立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。在日常生活中，我們常常關心分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？性別是否對于喜歡數學課程有影響？等等。

吸煙與肺癌列聯表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965為了調查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了9965人，得到如下結果（單位：人）列聯表分類變量1．下面是一個2×2列聯表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a、b的值分別為(

)A．94、96B．52、50C．52、54D．54、52C

吸煙與肺癌列聯表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965為了調查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了9965人，得到如下結果（單位：人）列聯表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

吸煙者和不吸煙者都可能患肺癌，吸煙者患肺癌的可能性較大0.54%2.28%分類變量42/7817通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關：等高條形圖在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

0.54%2.28%

上面我們通過分析數據和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。

現在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關”，為此先假設

H0：吸煙與患肺癌沒有關系.不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把表中的數字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯表

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關系”等價于“吸煙與患肺癌獨立”，即假設H0等價于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；

|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強。不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應該有不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+dn=a+b+c+d獨立性檢驗在不吸煙者中不患肺癌的比重是

在吸煙者中不患肺癌的比重是

H0：假設吸煙和患肺癌沒有關系獨立性檢驗H0：假設吸煙和患肺癌沒有關系構造隨機變量(卡方統(tǒng)計量)

作為檢驗在多大程度上可以認為“兩個變量有關系”的標準。

若H0(吸煙和患肺癌沒有關系)成立，則K2應該很小.獨立性檢驗H0：假設吸煙和患肺癌沒有關系

吸煙與肺癌列聯表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965隨機變量-----卡方統(tǒng)計量0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表0.1%把握認為A與B無關1%把握認為A與B無關99.9%把握認A與B有關99%把握認為A與B有關90%把握認為A與B有關10%把握認為A與B無關即在成立的情況下，K2

大于6.635概率非常小，近似為0.01

現在的K2≈56.632的觀測值遠大于6.635，小概率事件的發(fā)生說明假設H0不成立！0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828臨界值表獨立性檢驗H0：假設吸煙和患肺癌沒有關系所以吸煙和患肺癌有關！1．對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k，說法正確的是(

)A．k越大，“

X與Y有關系”可信程度越小B．k越小，“

X與Y有關系”可信程度越小C．k越接近于0，“X與Y無關”程度越小D．k越大，“X與Y無關”程度越大B獨立性檢驗基本的思想類似反證法(1)假設結論不成立,即“兩個分類變量沒有關系”.(2)在此假設下隨機變量K2

應該很能小,如果由觀測數據計算得到K2的觀測值k很大,則在一定程度上說明假設不合理.(3)根據隨機變量K2的含義,可以通過評價該假設不合理的程度,由實際計算出的,說明假設合理的程度為99.9%,即“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信度為約為99.9%.反證法原理與假設檢驗原理反證法原理：在一個已知假設下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設不成立。假設檢驗原理：在一個已知假設下，如果一個與該假設矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設不成立。在H0成立的條件下，構造與H0矛盾的小概率事件；2.如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，則H0不成立，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有發(fā)現樣本數據與H0相矛盾的證據。求解思路假設檢驗問題：例1.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷是否有關?你所得的結論在什么范圍內有效?患心臟病不患心臟病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437在禿頂中患心臟病的比重是

在不禿頂中患心臟病的比重是

55.01%43.03%例1.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷是否有關?你所得的結論在什么范圍內有效?患心臟病不患心臟病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437

根據聯表的數據，得到所以有99%的把握認為“禿頂與患心臟病有關”。注意：因為這組數據來自住院的病人，因此所得到的結論適合住院的病人群體．2、本例中的邊框中的注解：1、在解決實際問題時，可以直接計算K2的觀測值k進行獨立檢驗，而不必寫出K2的推導過程；

主要是使得我們注意統(tǒng)計結果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）A所以根據列聯表的數據，可以有

%的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系。97.5由獨立性檢驗隨機變量值的計算公式得：

跟蹤訓練1．(2011·廣東執(zhí)信中學)某中學一位高三班主任對本班50名學生學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行長期的調查，得到的統(tǒng)計數據如下表所示：積極參加班級工作不太主動參加班級工作合計學習積極性高18725學習積極性一般61925合計242650完成課本97頁練習(1)如果隨機調查這個班的一名學生，那么抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少？抽到不太積極參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少？(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學生的積極性與對待班級工作的態(tài)度有關系？所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度”有關系．1．（2013·深圳二模）2013年3月14日，CCTV財經頻道報道了某地建筑市場存在違規(guī)使用未經淡化海砂的現象.為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關，某大學實驗室隨機抽取了60個樣本，得到了相關數據如下表：混凝土耐久性達標混凝土耐久性不達標總計使用淡化海砂25530使用未經淡化海砂151530總計402060（1）根據表中數據，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關？（2）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，現從這6個樣本中任取2個，則取出的2個樣本混凝土耐久性都達標的概率是多少？參考數據：P（k2≥k）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解析：（1）提出假設H0：使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標無關.根據表中數據，求得K2的觀測值∴能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關.（2）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取6個，其中應抽取“混凝土耐久性達標”的為×6=5，“混凝土耐久性不達標”的為6-5=1，“混凝土耐久性達標記”為A1,A2,A3,A4,A5”;“混凝土耐久性不達標”的記為B.在這6個樣本中任取2個，有以下幾種可能：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,A4）,（A1,A5）,（A1,B）,（A2,A3）,（A2,A4）,（A2,A5）,（A2,B）,（A3,A4）,（A3,A5）,（A3,B）,（A4,A5）,（A4,B）（A5,B）,共15種.設“取出的2個樣本混凝土耐久性都達標”為事件A，它的對立事件A為“取出的2個樣本至少有1個混凝土耐久性不達標”，包含（A1,B）,（A2,B）,（A3,B）,（A4,B）,（A5,B），共5種可能.2．(2011·揭陽一模)某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在(495,510]的產品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本頻數分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．產品重量/克頻數(490,495]6(495,500]8(500,505]14(505,510]8(510,515]4表1甲流水線樣本頻數分布表(1)根據上表數據作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；(2)若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線分別任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率分別是多少；(3)由以上統(tǒng)計數據完成下面2×2列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關？甲流水線乙流水線合計合格品a＝b＝不合格品c＝d＝合計n＝附：下面的臨界值表供參考：p(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：(2)由表1知甲樣本中合格品數為8＋14＋8＝30，由圖1知乙樣本中合格品