中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)題型09 二次函數(shù)綜合題 類型三 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型三二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1.已知二次函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)SKIPIF1<0，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)求證：二次函數(shù)SKIPIF1<0的頂點(diǎn)在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動，平移后所得函數(shù)的圖像與SKIPIF1<0軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析(3)最大值為SKIPIF1<0【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，然后分別證明頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；（3）設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點(diǎn)在直線SKIPIF1<0上推出SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，可以推出SKIPIF1<0,由此即可求解．(1)解：將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0符合題意，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴二次函數(shù)SKIPIF1<0的頂點(diǎn)在第三象限．(3)解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的負(fù)半軸上，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面積有最大值，最大值為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與x軸交于點(diǎn)．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，與y軸交于點(diǎn)C．（1）SKIPIF1<0________，SKIPIF1<0________；（2）若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖像上，且SKIPIF1<0，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）-2，-3；（2）（SKIPIF1<0，6）或（SKIPIF1<0，6）；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出△ABC的面積，設(shè)點(diǎn)D（m，SKIPIF1<0），再根據(jù)SKIPIF1<0，得到方程求出m值，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在二次函數(shù)SKIPIF1<0圖像上，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故答案為：-2，-3；（2）連接BC，由題意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），SKIPIF1<0，∴S△ABC=SKIPIF1<0=6，∵S△ABD=2S△ABC，設(shè)點(diǎn)D（m，SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：x=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得：y值都為6，∴D（SKIPIF1<0，6）或（SKIPIF1<0，6）；（3）設(shè)P（n，SKIPIF1<0），∵點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分，∴n＜-1或n＞3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，即n＜-1，可知點(diǎn)C到AP的距離小于點(diǎn)B到AP的距離，∴SKIPIF1<0，不成立；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即n＞3，∵△APC和△APB都以AP為底，若要面積相等，則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等，即BC∥AP，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+p，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則設(shè)直線AP的解析式為y=x+q，將點(diǎn)A（-1，0）代入，則-1+q=0，解得：q=1，則直線AP的解析式為y=x+1，將P（n，SKIPIF1<0）代入，即SKIPIF1<0，解得：n=4或n=-1（舍），SKIPIF1<0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，平行線之間的距離，一次函數(shù)，解題的難點(diǎn)在于將同底的三角形面積轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．3.已知：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，在SKIPIF1<0上方以SKIPIF1<0為邊作正方形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時(shí)，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說明理由；（2）真接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)（用含SKIPIF1<0的式子表示）；（3）若SKIPIF1<0，經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0的拋物線SKIPIF1<0頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求拋物線的解析式．【答案】（1）BE⊥AB，理由見解析；（2）（SKIPIF1<0）；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，則可判斷△AOB是等腰直角三角形，然后結(jié)合正方形的旋轉(zhuǎn)可證明△AOC≌△BOE（SAS），可得∠OBE=∠OAC=45°，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）作輔助線如圖1（見解析），根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△MOC≌△NEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的結(jié)論可得AC=BE=t，然后解等腰直角△ACM，可求出SKIPIF1<0，進(jìn)而可得答案；（3）由拋物線過點(diǎn)A結(jié)合已知條件可求出拋物線的對稱軸是直線x=2，然后由（2）可求出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)k=1，進(jìn)一步即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是問題可求解．【詳解】解：（1）BE⊥AB，理由如下：對于直線y=-x+1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，∴B（0，1），A（1，0），∴OA=OB=1，∴∠OBA=∠OAB=45°，∵四邊形OCDE是正方形，∴OC=OE，∠COE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAC=45°，∴∠EBC=∠EBO+∠OBA=45°+45°=90°，即BE⊥AB；（2）作CM⊥OA于點(diǎn)M，作EN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖1，則∠CMO=∠ENO=90°，∵∠EON+∠NEO=∠EON+∠COM=90°，∴∠NEO=∠COM，又∵OC=OE，∴△MOC≌△NEO，∴CM=ON，OM=EN，在△ACM中，∠CMA=90°，∠MAC=45°，AC=BE=t，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)E在第二象限，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（SKIPIF1<0）；（3）∵拋物線過點(diǎn)A（1，0），∴a+b+c=0，∵SKIPIF1<0，∴消去c可得b=-4a，∴拋物線的對稱軸是直線x=2，如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由（2）可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即k=1，∴△POA的面積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵a＞0，∴頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-1，∴點(diǎn)P（2，-1），設(shè)SKIPIF1<0，把點(diǎn)A（1，0）代入，可求得a=1，∴拋物線的解析式是SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，具有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0的圖象與坐標(biāo)軸相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)，其中SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．動點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，在線段SKIPIF1<0上以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位長度向點(diǎn)SKIPIF1<0做勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，在線段SKIPIF1<0上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)SKIPIF1<0做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接SKIPIF1<0，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為SKIPIF1<0秒．（1）求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0運(yùn)動的過程中，當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，四邊形SKIPIF1<0的面積最小，最小值為多少？（3）在線段SKIPIF1<0上方的拋物線上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以點(diǎn)SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P的運(yùn)動可知：AP=SKIPIF1<0，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE=SKIPIF1<0=t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，AC=SKIPIF1<0，AB=4，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t=SKIPIF1<0=2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為SKIPIF1<0=4；（3）∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，SKIPIF1<0，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動點(diǎn)，連接PA，PD，求SKIPIF1<0面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線SKIPIF1<0沿射線AD平移SKIPIF1<0個(gè)單位，得到新的拋物線SKIPIF1<0，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為SKIPIF1<0的對稱軸上任意一點(diǎn)，在SKIPIF1<0上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，過程見解析【分析】（1）將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得出拋物線的對稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設(shè)P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；

（3）通過平移距離為SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），拋物線y=x2-3x-4的對稱軸l為SKIPIF1<0

∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b；

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，

設(shè)P（m，m2-3m-4），

作PE∥y軸交直線AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)m=1時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大，最大值為：8（3）∵直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，∴拋物線沿射線AD方向平移平移SKIPIF1<0個(gè)單位，相當(dāng)于將拋物線向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平移后的坐標(biāo)分別為（3，-4），（8，-4），

設(shè)平移后的拋物線的解析式為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴平移后y1=x2-11x+20，∴拋物線y1的對稱軸為：SKIPIF1<0，∵P（1，-6），

∴E（5，-10），∵以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：設(shè)G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（SKIPIF1<0，y），①當(dāng)DE為對角線時(shí)，平行四邊形的對角線互相平分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0②當(dāng)EF為對角線時(shí)，平行四邊形的對角線互相平分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0③當(dāng)EG為對角線時(shí)，平行四邊形的對角線互相平分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．5.如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知△BAC的面積是6．（1）求a的值；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△ABP＝S△ABC．若存在請求出P坐標(biāo)，若不存在請說明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積，解出a＝﹣3；（2）根據(jù)題意P的縱坐標(biāo)為±3，分別代入解析式即可求得橫坐標(biāo)，從而求得P的坐標(biāo)．【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，則y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由圖象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴12（1﹣a）（﹣解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+7或x＝﹣1?∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1+7，﹣3）或（﹣1?7，6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1（2）拋物線的對稱軸為x=?74，當(dāng)PC（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=12PH【解析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（12，0）、（0，﹣則y＝a（x+4）（x?12）＝a（x2+72x﹣2）＝ax故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+72x（2）拋物線的對稱軸為x=?7當(dāng)PC∥AB時(shí)，點(diǎn)P、C的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)函數(shù)的對稱性得點(diǎn)P（?74，（3）過點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y=?12x則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×（?12x﹣2﹣x∵﹣2＜0，∴S有最大值，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P（﹣2，﹣5）．8.若一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過A，B，C三點(diǎn)，如圖（1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖（1），過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在拋物線上（y軸左側(cè)），若BC恰好平分∠DBE．求直線BE的表達(dá)式；（3）如圖（2），若點(diǎn)P在拋物線上（點(diǎn)P在y軸右側(cè)），連接AP交BC于點(diǎn)F，連接BP，S△BFP＝mS△BAF．①當(dāng)m=1②求m的最大值．【分析】（1）函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）證明△BCD≌△BCM（AAS），則CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點(diǎn)M（0，﹣1），即可求解；（3）過點(diǎn)P作PN∥x軸交BC于點(diǎn)N，則△PFN∽△AFB，則AFPF=ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，則【解析】（1）一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得0=a?b+c0=9a+3b+cc=?3，解得a=1b=?2c=?3，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2（2）設(shè)直線BE交y軸于點(diǎn)M，從拋物線表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為x＝2，∵CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，故點(diǎn)D（2，﹣3），由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)知，直線BC與AB的夾角為45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點(diǎn)M（0，﹣1），設(shè)直線BE的表達(dá)式為：y＝kx+b，則b=?13k+b=0，解得k=故直線BE的表達(dá)式為：y=13x（3）過點(diǎn)P作PN∥x軸交BC于點(diǎn)N，則△PFN∽△AFB，則AFPF而S△BFP＝mS△BAF，則AFPF=1①當(dāng)m=1設(shè)點(diǎn)P（t，t2﹣2t﹣3），由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)知，直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，當(dāng)x＝t﹣2時(shí)，y＝t﹣5，故點(diǎn)N（t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故點(diǎn)P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m=14PN=14[t﹣（t2﹣2t）]=?14∵?14＜9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0），直線BC的解析式為y=?（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動點(diǎn)．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用直線BC的解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=（2）四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）直線BC的解析式為y=?23x+2，令y＝0，則x＝3故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（32，0）、（0，2）；則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22a﹣即﹣6a＝2，解得：a=1故拋物線的表達(dá)式為：y=?13x2+2（2）如圖，過點(diǎn)B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，則設(shè)直線AD的表達(dá)式為：y=?23（x+2聯(lián)立①②并解得：x＝42，故點(diǎn)D（42，?10由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為：y=?2當(dāng)x＝32時(shí)，yBC=?23x+2＝﹣2，即點(diǎn)H（32，設(shè)點(diǎn)E（x，?13x2+2則四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（?13x2+223x+2+2∵?22＜0，故S有最大值，當(dāng)x=322時(shí)，S的最大值為（3）存在，理由：y=?13x2+223x+2=?13（x?2）2則新拋物線的表達(dá)式為：y=?13x2點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為（?2，0）、（322，52）；設(shè)點(diǎn)M（2，m），點(diǎn)N（n，s），s=?①當(dāng)AE是平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)A向右平移522個(gè)單位向上平移52個(gè)單位得到E，同樣點(diǎn)M（N）向右平移5即2±52則s=?13n2+8故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（722，?112）或（②當(dāng)AE是平行四邊形的對角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：?2+322s=?13n2故點(diǎn)N的坐標(biāo)（?22，綜上點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（722，?112）或（?32210.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得?4=9?3b+cc=?1，解得b=4故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1；（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+t，則?4=?3k+tt=?1，解得k=1故直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣1，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+4x﹣1），則H（x，x﹣1），△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）∵?32＜0，故S有最大值，當(dāng)x=?（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，則平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝x2﹣5，聯(lián)立上述兩式并解得：x=?1y=?4，故點(diǎn)C（﹣1，﹣設(shè)點(diǎn)D（﹣2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；①當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，同樣D（E）向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，當(dāng)點(diǎn)D在E的下方時(shí)，則BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，當(dāng)點(diǎn)D在E的上方時(shí)，則BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，聯(lián)立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故點(diǎn)E（﹣1，3）；聯(lián)立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±6，故點(diǎn)E（1，﹣4+6）或（1，﹣4?②當(dāng)BC為菱形的的對角線時(shí)，則由中點(diǎn)公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，此時(shí)，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，故點(diǎn)E（1，﹣3），綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+6）或（﹣3，﹣4?6）或（1，11.已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)．①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連結(jié)PB，求35【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點(diǎn)E（5?34t，t），點(diǎn)②根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH【解析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵tan∠CBD=4∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得a=?4∴二次函數(shù)的解析式為y=?49(x+1)(x?5)=?4（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴0=5k+b，4=2k+b.解得k=?即直線BC的解析式為y=?4令y＝t，得：x=5?3∴點(diǎn)E（5?3把x=5?34t代入y=?即F(5?3∴EF=(2t?1∴△BCF的面積=12×EF×BD=32∴當(dāng)t＝2時(shí)，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴sin∠ACD=AD過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?sin∠ACD=3∴35過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH≥BH，∴線段BH的長就是35∵S△ABC又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為12.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，設(shè)△PBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；（3）點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），進(jìn)而可得出PF的長度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值；（3）分兩種不同情況，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)C上方或下方時(shí)，畫出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：a?b+6=09a+3b+6=0，解得：a=?2∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．（2）過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，如圖1所示．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：3k+c=0c=6，解得：k=?2∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6．∵點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S△PB