高考分類匯編02三角函數解三角形平面向量教師版紙間書屋

專題二三角函數、解三角形、平面向量第1講 級，兩角和（差）的正弦、余弦及正切（C級；二倍角的正弦、余弦及正切（B級）. －6（ 【解析】T

105y＝Asi（ωx＋φ（Aωφ象如圖所示，則ω＝ 【解析】T，T ，所以3 23PP方法二由函數圖象得A 2,T7，所以T，

,2 2

f(x)

),f(0)

2 質 3

3

2 ByAsin(xA級要求，這些都是三角函數的重 4，則

【解析】方法一∵αcos＋6＝5，∴α＋6∈63 π ∴sin2α＋12＝sin2＋6－4＝sin2α＋6cos4－cos2α＋6sin 3 12 7 17＝2sin＋6cosα＋6－22cosα＋6－1＝2×5×5－22×5－1＝25－50＝50 )22()2 )22()21636 因為cos(2)03

)3

2411725.因為sin(2)sin[(2]sin(2coscos(2sin17. 方法三∵為銳角，即0<<2) ))6)5 6536)6)5 653665 3

4，∴sin(

3.∴sin(2

)2sin(

)cos(

)=2

=∴cos(2 ∴sin(2)=sin(2)=sin(2)coscos(2)sin

=24 7 2= 2

，∴ω＝2， y＝sin（2x＋φ（0≤φ＜π 則φ的值 π φ∈[0，π，∴φ＝61 【解析】方法一∵tan

tanα＋tanβ＝－2＋tanβ＝1tan 1＋2tanβ tanαtanβ方法二tantan(tan(

1 17

（k＝0，1，2，...，12k的值 3【答案】3【解析】20a (cosk,sinkcosk)(cos(k1),sin(k1)cos(k1) k cossin2kcoskcos(k1)33sin2k1cos(2k 因 akak1k

331234311.（2016.江蘇.9）定義在區(qū)間[0，3π]上的函數y＝sin2x的圖象與y＝cosx.【答案】【解析】在區(qū)間[0，3π]y＝sin2xy＝cosxy1y1xO tan 7

tanα－π 1 4＋4 【解析】tan 13（218.fx＝si（2x＋φ

φ的值 6

）－2＜φ＜2 所以k0π6 2A，BA，B兩點的橫坐標分別是10，5y【分析】先由已知條件得cos

2cos25，第（1）問求tan( 式；第（2）問求2的值，先求出tan(2 2,cos25，因為銳角，故sin0 從而sin

72，同理可得sin 5，因此tan7,tan1.所7tan()＝tantan 3 1723 1(3)2

1又00 故02

，從而由tan(2)1，得2 h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.E H h H ＝ ＝ 因為 H＋ H，解得 ＝d＝d由AB＝AD－BD＝H－h(huán)＝125－4，得 ＝d 2當且僅當

55＝555時，上式等號成立.所以，當d＝555時，tan（α－β）最大.因為 d＝555時，α－β最大 π，sinα

π

＝5求 （6 【解析】方法一（1）α∈2，π，sinα＝5cosα＝－1－sinα＝－5 2 2 sin4＋α＝sin4cosα＋cos4sinα＝2×－52×5＝－105 2 （2）由（1）sin2α＝2sinαcosα＝2×5×－5＝－5，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×5 3 1 cos6－2α＝cos6cos2α＋sin6sin2α＝2×5＋2×－5＝－

4.（2017.江蘇.16）a＝（cosx，sinx），b＝（33），x∈[0，π【分析】（1）先由向量平行的坐標表示得3cosx3sinxx5π；（2）先由向量數量積的坐標表示并結合配 得f(x)23cos(xπ)，再根據x的取值6【解析】（1）因為a(cosxsinxb3,3)，a∥b，所以

3cosx3sinx若cosx0，則sinx0，與sin2xcos2x ，故cosx0.于是tanx 3x∈[0，π]x5π6（2）f(x)ab(cosx,sinx)(3,3)3cosx 3sinx23cos(xπ)6xππ [6,6]，從而1cos(x6)2xππ

取到最大值3；當xπ6

x5π時 取到最小值 6【名師點睛】（1）a∥bx1y2x2y1a∥bb0RabBAACOA

；（2）向量垂直：abab0xxyy01 1

1 1

）＝－5【解析】（1）方法一因為tan4tansin，所以sin4cos 因為sin2cos21，所以cos29 2因此cos22cos2 2

2方法二因為，為銳角，tan4，所以sin4，cos3 2 所以cos22cos2 2

2cos22cos21也可以等價表示為12sin2cos2sin2方法三因為tan4，，為銳角，所以cos2cos2sin21tan2 43

2

1tan2方法一因為1cos2又因為cos5．所以sin1cos2 因此tan2．因為tan4，所以tan22tan24 2 1tan2 所以tantan2 tan2 21ta

25方法 因為，為銳角所以0，，又因為cos551cos2所以sin1cos2因此tan

2．由（1）知cos2

，且為銳角，所以sin2 2411cos2因此tan2sin224 2cos 所以tantan2tan2 21ta

25方法 因為，為銳角所以0，，又因為cos551cos2所以sin1cos2因此tan2．因為tan4，所以tantantantan22tan

tantan1tantan

2

1tan

25方法四因為，為銳角，，所以0，，又因為cos551cos2所以sin1cos2因此tan2tan4tantantan23所以tan2 2

1tantantan

tantan1tantan

2

25方法五因為，為銳角，，所以0，，又因為cos55所以sin 2又由（1）知sin4cos3 1sin2所以sinsinsincoscossin 所以cos1sin25所以tansin2．又因為tan4，因此tantantan 2

1tantan 2方法六因為cos 5，及（1）中sin4，cos3，所以3cos4sin5，…2 又因為sin2cos21為銳角，所以sin25cos5

5 25所以tansin2．又因為tan4，因此tantantan 2

1tantan 25方法七因為，為銳角，，所以0，，又因為cos551cos2所以sin1cos2由（1）知sin4cos33cos4sin5，4cos3sin25 所以sin25cos5

5 25所以tansin2．又因為tan4，因此tantantan 2

2

1tantan方法八因為cos 5，及（1）中sin4，cos3，所以3cos4sin5，…2 又因為sin2cos21為銳角，所以sin25cos5

5 25所以sin所以cos

sincoscossin25coscossinsin115 2因此tansin 2cos 方法九因為1cos2又因為cos5．所以sin1cos2 由（1）中sin4cos33cos4sin54cos3sin25 所以sin2cos 2又因為tan4，因此tansinsincoscossin 2 cos

2分14分.6.（2018.江蘇.17）OMPN（P為此圓弧的中C，D均在圓弧上.設OCMN所成的角為θ.θABCD和△CDP的面積，并確定sinθθ（1）POMNHPH⊥MN2 （osn取值范圍是140＋co，∈0，22f′(cos2sin2sin(2sin2sin1(2sin1)(sin1＝ ＝

θ∈（θ0

，， ，，66第2 1.（2008.江蘇.13）滿足條件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面積的最大值 【答案】 【解析】方法一BC＝xAC＝2x11cos2 得S1cos22

ABBCsinB AB2BC2 4x2 4根據余弦定理得cosB 4x24x2

128x2128x22解得

，22x 2

最大值 方法二因為AB＝2（定長），可以以ABxyA(1,0),B(1,0)，設C(x,y(x1)22(x1)2由AC 2BC可 ，化簡得(x(x1)22(x1)22 2

1AB

tan tanA＋tan 【解析】方法一a＋b＝6cosC?6abcosC＝a＋b ＝a＋b，a＋b＝2tan tan sinCcosBsinA＋sinBcos sinC tanA＋tanB＝cos sinAsin ＝cosC·sinAsinB＝cosC·sinAsinba b2 a2b2ba 6

ab c2tanCtanCsinC(cosAcosBsinC(cosAsinBsinAcosBtan tan cosCsin sin cos sinAsinsinCsin(A sin2 2 4cosCsinAsin sinAsinBcos

ab

a2b2 1 【考點】解三角形中的正、余弦定理（

3.（2014.江蘇.14）若△ABC的內角滿足sinA＋2sinB＝2sinC，則cosC的最小值 6－ 【解析】∵sinA＋2sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋2b＝2c，即 a＋

26ab－2 6－cos

＝3a＋2b－22ab≥

6－，即

【解析】方法一在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin（B＋C）＝2sinBsinC.∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinCA，B，C全為銳角，兩邊同時除以cosBcosC得：tanB＋tanC＝2tanBtanC.tanA＝－tan（B＋C）＝tanB＋tanC＝tanB＋tanC1－tan tanBtan∴tanA（tanBtanC－1）＝tanB＋tanCtanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tan∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥22tanAtanBtan∴tanAtanBtanC≥22，∴tanAtanBtan方法二由sinAsinπAsinBCsinBcosCcosBsinCsinA2sinBsinC，可得sinBcosCcosBsinC2sinBsinC（*），ABC為銳角三角形，則cosB0,cosC0在（*）式兩側同時除以cosBcosCtanBtanC2tanBtanC又tanAtanπAtanBCtanBtan1tanBtan則tanAtanBtanCtanBtanCtanBtanC1tanBtan

tanBtanC 由tanBtanC2tanBtanC可得tanAtanBtanC 1tanBtan令tanBtanCtAB,C為銳角可得tanA0,tanB0,tanC0 1 由(#)得1tanBtanC0，解得t1，tanAtanBtanC1t 1，t2tt24 由t1則0111tanAtanBtanC最小值8，當且僅當t2時取到等號，此時tanBtanC4 tanBtanC2，解得tanB2 2,tanC22,tanA4（或tanB,tanC互換），此時A,B,C均為銳角交AC與點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為 1acsin1201a1sin601c1sin60，化簡得acac111 4ac4ac115c4a5

c 當且僅當c2a3時取等號，則4acπ

1

6

cosAsin6

2cosA,從而sinA 所以cosA0,tanA 3，因為0A，所以A 3（2）由cosA1b3c，及a2b2c22bccosA，得b2a2c2，所以ABCB

，所以sinCcosA1

→→＝→5

cosC＝5A5由cosC5，可求tanC，由三角形三角關系，得到tanAB，從而根據兩角和的正切公式和（1）的結論即可求得A的值.5由正弦定理，得

=sin

，∴sinBcosA=3sinAcosB0ABcosA0，cosB0sinB=3sinA即tanB3tanA （2）∵cosC 50<C<，∴sinC5

1(55

=25.∴tanC25tanAB2，即tanAB2.∴tanAtanB2 1tanAtan（1， 2，解得tanA=1，tanA=1.∵cosA>0，∴tanA=1.∴A=13tan2 量共線成立的條件.本題綜合性較強，轉化思想在解題中靈活運用，注意兩角和與差的三角的運用，3＝5

得到k的值，即可確定出AB的長；MN取最小值時x的值；【解析】方法一（1）在△ABC中，因為cos cos sin sin 從而sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC 53 124 AB＝AC，得AB＝AC×sin 1260

由正弦定理sinCsin sin ＝63所以由余弦定理得d2＝（100＋50t）2＋（130t）2－2×130t×（100＋50t）12 1 ≤130， ）由正弦定理BC＝AC，得BC＝AC×sin 12605 sinAsin sin ＝63502＋）5（ 3，解得1≤v－50

1250

方法二（1）∵cosA＝，cosC＝，∴tanA＝，tanC＝，如圖作BD⊥CA于點D，設BD＝20k，則DC＝15k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，解得：k＝20，則AB＝52k＝1040m；（min（min，（min，（m/min；（min，（min，為500÷＝（m/min，則乙步行的速度控制在[，]范圍內. 7，所以BC＝

AB＝

2sin sinCsin

＝因為AB＜BC，所以C為銳角，則cosC＝ 2.因此sin2C＝2sinC·cos 212 4.

－7＝72×7×7＝ ＝5，AB（2）cos（A【解析】方法一（1）因為cos

22 2＝

5 sin

3＝55A＝π－（B＋C 4＝－cosBcos4＋sin又cos ＝5，sinB＝5cosA＝－5×2＋5×2＝－10因為0＜A＜π，所以sinA＝ ＝10

72 72－因此，cos－6＝cosAcos6＋sinAsin6＝－10×2＋10 方法二（1）由cos B∈（0，π， 又

?AB＝52sin 2 cos sinC＝cos

＝2則sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsin 7＝10 72－A＝－cosB＋C＝（cosC＝－ cos（A＋B）＝－cosC，以及在△ABC中，A＞B?sinA＞sinB第3 標表示（B級，平面向量的概平行與垂直（B級（C級，平面向量的應用（A級） 5ab25ab)225a2b210ab251210131324925ab2.（2009.江蘇.2）ab30°，|a|＝2，|b|＝3aba 【解析】ab2 32

k的值 5【答案】4

3e1，e2是夾角為2π3s＝s＝

方法二由ab0得(e2e)(kee)0,k 2k()20,k C級要求，中檔題.單位向量及向量的夾角都是4.（2012.江蘇.9）ABCD中，AB＝，BC＝2EBCFCD→ →AB·AF＝2AE·BF的值是 2【解析】方法一由ABAF 2，得|AB||AF|cosFAB 2AFcosFAB=DFAB ，∴2DF 2DF1CF 1AEBF之間的夾角為AEBFBC，則BC2，EBCBE 2212 方法二AFBCDF ABAFAB(BCDF)ABBCABDFABDFABDFcos0 DF

1AEADDFBFBCCF AEBF(ADDF)(BCCF) 00DFCFcos180 方法三依題意得→ → → → →AB,AD

，BE ，若→＝1→＋2 λ λ 1【解析】方法一如圖，

1 2 1 1 2 方法二

，則 2→ 1→ 1→ 2→ 2→ 共線，所以λ1＝1－2，λ2＝2λ1＋λ2＝1. ＝＝＝＝， ，結

→→＝2，則→→的值

A 1 3 3→ 1→ 3 → 1→ 3→ 1→→—3×64，解得

7.（2015.江蘇.6）a＝（2，1，b＝（1，－2ma＋nb＝（9，－8（m，nR，m－n a（21b（12

14.（＝（coskπ，sinkπ＋coskπ（k＝0，1，2，...，12 → （ak˙ak＋１）的值 k【答案】9【解析】20a (cosk,sinkcosk)(cos(k1),sin(k1)cos(k1) k cossin2kcoskcos(k1)33sin2k1cos(2k 因 akak1k

3312343 → ＝－1，則→→的值7 【解析】方法一設→＝a＝b，則→ 又∵DBC中點，E，FAD則 2 1 → 1 2 2 2 則BF·CF＝－3a＋3b3a－3b＝－9a－9b＋9a·b＝－9（a＋b）＋9×4＝－1a＋b＝2又 → 1 5 5 則BE·CE＝－6a＋6b6a－6b＝－36（a＋b）＋36a·b＝－362A DFa，DBb，則DCb，DE2a，DA3aBAa3b，CA3ab，BE2ab CE2abBFabCFabBACA9abBFCFabBECE4ab，BACA4BFCF1可得9a2b24a2b21，因此a2 BECE4a2b245137 10.（201712）如圖，在同一個平面內，向量1， 為α，且tanα＝7，→與→的夾角為45°.若→＝→＋→（m，n∈R A（1，0， 由tanα＝7，α∈，2，得sinα＝52，cos C（xC，yC，B（xB，yB又 sin（α＋45°）＝ ）＝5

5 5 5 由OC＝mOA＋nOB，可得 方法二由tanα＝7，α0

sin

7，cosα＝1，則cos（α＋45°）＝1×1－7

5 5

55 ―→ 5

－5，所以OB·OC＝1×2×2＝1，OA·OC＝1× ＝5，OA·OB ―→ OC＝mOA＋nOBOC·OA＝mOA＋nOB·OA，即 OC·OB＝mOA·OB＋nOB 方法三由tan7可得sin72cos

22n 2m2

5nm

5,n易得

，即 7

，即得m 所以mn3

n

m

5n7m → 【答案】[－5P（x，y， PA·PB

結合圖象，可得－52≤x≤1P的橫坐標的取值范圍是[－5→ 方法二設P（x，y，由PA·PB≤20，易得2x－y＋5≤0，由 或 x＋y 圖象知，P的橫坐標的取值范圍為[－5A（，1（2，2B（5，0AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若→→＝0，則點A的橫坐標

a 【解析】方法一設Aa,2aa0，則由圓心C為AB中點得C ,a2 AB5a2aCD1a52a 2 ABCD0得5a1a52a2a0，a22a30，a3或a1，因為a0 2 所以aab－2c垂直，求tan(|b＋c|tantan16正弦與余弦，考查運算和證明得基本能力.【解析】（1）因為a與b2cab2c0，即ab2ac0，即4sin()8cos()0tan()2；bc(sincos，4cos4sin)|bc|sin22sincoscos216cos232sincos16sin21730sincos1715sin2，最大值為32，所以|bc|的最大值為 tantan16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0ab.A（－1，－2，B（2，3，C（－2，－1）t滿足（→－）＝0t t C CA【解析】AB35)AC1,1)AB、ACACDBD(xyBDx2,y3)ACBDx2y3

x1yD(1,

AD(2,6),BC(4,AD210,AD210,BC4210, （2）OC(2,1)，（ABtOC）OC(32t,5t)(2,1)115t0，t113.（2012.江蘇.15）在