隱零點問題-教師用卷

第第#頁,共6頁第第5頁，共6頁令?(x)m,(aVxVl),則E(x)=-e-x(x-2)xlnxVO,/、/、a+1+aInaa+1—ae(x)<?(a)=:<■—又f(1)三，max{f(1),f(x)}<"[i.【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到aex-x2=0有解，顯然a>0,令m(x)=aex-x2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h(x)=aex-x2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f(x)在(a,1)內(nèi)有唯一極大值點工0，從而f(x)三maxf(1),f(x0)}，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證出0max0結(jié)論即可.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題.6.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-lnx+1(aR)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)g(x)=ax2-ex+3，求證：f(x)>g(x)在(0,+w)上恒成立.1【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=ax2-lnx+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2ax-「x>0,當(dāng)a<0時，f(x)<0,f(x)遞減;當(dāng)a>0當(dāng)a>0時，由f(x)由f(x)則當(dāng)a<0時，f(x)的減區(qū)間為(0,+w),無增區(qū)間;當(dāng)a當(dāng)a>0時，f(x)的增區(qū)間為((2)證明：h(x)=f(x)-g(x)=ax2-lnx+1-(ax2-ex+3)=ex-lnx-2，h(x)的導(dǎo)數(shù)為h"(x)=ex4^——,由y=xex-1的導(dǎo)數(shù)為y"=(x+1)ex>0,對x>0恒成立，即有函數(shù)y=xex-1在x>0上遞增，且y>-1.設(shè)xex-1=0的根為x0，即有x0ex0=1,(0<xQ<1),則當(dāng)x>x0時，h"(x)>0,h(x)遞增；當(dāng)0<x<x0時，h"(x)<0,h(x)遞減.故當(dāng)x=x0時，h(x)取得最小值，且為ex0-lnx0-2,即有++x°-2>2^^-2=0,則h(x)>0恒成立，即有f(x)>g(x)在(0,+<?)上恒成立.另解：當(dāng)x>0時，由ex>x+1,lnx<x-1這兩個不等式知,

f(x)-g(x)=ex-lnx-2>x+l-x+l-2=0,即為f(x)>g(x)在(0,+w)上恒成立.【解析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，分a<0時，a>0時，判斷導(dǎo)數(shù)符號，可得單調(diào)性；(2)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=ax2-lnx+l-(ax2-ex+3)=ex-lnx-2，求出h(x)的導(dǎo)數(shù)為h'(x)=ex-「=d」，判斷xex-1在x>0上遞增，且y>-1.設(shè)xex-1=0的根為x0,即有x0ex0=1,(OVx0V1)，求出h(x)的最小值，判斷大于0,即可得證.本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題.7.已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+b在點(1,f(1))處的切線為3x-y-2=0.求函數(shù)f(x)的解析式；若kZ且對任意x>1,都有k<3成立，求k的最大值.【答案】解：(1)f(x)的定義域為(0,+8),f(x)=lnx+1+a,=a+1=3(a=2=a+Z)=l(b=—1f(x)=xlnx+2x-1.可化為kxlnx+2x—1可化為kx—1Axlnx+2x—lM.”、x—2—lnx令9(町=-，則k<g(x)罰，9(尤)=a—歹，x(1,+8)?令h(x)=x-2-lnx，則，二1—'二」0.h(x)在(1,+8)上為增函數(shù).又h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,故存在唯一的x0(3,4)使得h(x0)=0,即x0-2=lnx0.當(dāng)x(1,x0)時，h(x)<0,g'(x)<0,g(x)在(1,x0)上為減函數(shù)；當(dāng)x(x0，+8)時，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(x0，+8)上為增函數(shù).XqIttXq+2%q—1%q(%q—2)+2%q—1,k<x0+1.%(3,4),x0+1(4,5),kZ,k的最大值為4.【解析】(1)首先對f(x)求導(dǎo)，求出(1,f(1))點處的切線方程與3x-y-2=0相