2022-2023學(xué)年四川省成都市高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）

2022-2023學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期期中考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

（1+i）z=-

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足>,則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

2.已知數(shù)列四/的前〃項(xiàng)和是〃2,則為+%=()

A.20B.18C.16D.14

3.設(shè)全集“=”葉(66)《。},集合"El*},八MM},貝FcQ/)=(

A.憶4}B,8"

?c.{I*}D.{024,6}

71兀

4,函數(shù)歹=(3'一歹加》在區(qū)間_2’2」的圖象大致為()

—一

_2L\0/2LXO2Lx

222

A.B.

rx,一

_匹\切\(zhòng)

,22LO\7/JL2x2Vyv/4x

c.

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（)

2

1

主視圖左視圖

俯視圖

2￡8-加—

8

-TB.3C.3D.3

6.已知命題p：在中，若cos/〉cos8,則4<8；命題伏向量值與向量B相等的充要條件是

同=網(wǎng)且々〃在下列四個(gè)命題中，是真命題的是（）

A.PZB.（「P）A（F）C.GP）MD.PA（F）

/（x）=/sir）3x+夕）A>0,a）>0,|^|<—

7.已知函數(shù)12J的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

A.直線》=乃是函數(shù)/（“）的圖象的一條對(duì)稱軸

（7t0]

B.函數(shù)/（“）的圖象的對(duì)稱中心為1122'）,keZ

3兀117T

C.函數(shù)/（“）在L2’6」上單調(diào)遞增

71

D.將函數(shù)/（*）的圖象向左平移F個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

8,數(shù)列也｝中，％=2,對(duì)任意外〃6叱4+““應(yīng)，若%+*+…+%。=2叫一2',則

()

A.2B.3C.4D.5

9.2020年，由新型冠狀病毒（SARS-CoV-2）感染引起的新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）在國(guó)內(nèi)和其他國(guó)

家暴發(fā)流行，而實(shí)時(shí)熒光定量PCR（RT-PCR）法以其高靈敏度與強(qiáng)特異性，被認(rèn)為是C。以LM9的確診

方法，實(shí)時(shí)熒光定量尸CR法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在尸擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)。取

實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，0M4的數(shù)量X"與擴(kuò)增次數(shù)〃滿足

lgX,一〃lg（l+p）=lgX。，其中°為擴(kuò)增效率，X）為。色的初始數(shù)量已知某樣本的擴(kuò)增效率

夕"0.495,則被測(cè)標(biāo)本的大約擴(kuò)增（）次后，數(shù)量會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的125倍.（參考數(shù)據(jù)：

10g|.4955B4）

A.10B.11C.12D.13

10.設(shè)a=2e5,b=&,，一3（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）

斡a<b<cB.c<a<bQh<a<cQc<b<a

11.已知正三棱柱'8C-44G的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，若球。的表面積為48%,則正三棱柱

ABC-的體積的最大值為（）

A12GB.15Gc246D.48G

12.已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線V=4x上，點(diǎn)"（2，°）為△48C的重心，直線力8經(jīng)過(guò)該拋物線

的焦點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（）

A.8B.6C.5D.4.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13,已知向量」』滿足，卜向=舊+'=1,則1％.

14.在二項(xiàng)式1X）的展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)之和為512,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為.

22

「一匕=1（〃>0）"p

15.已知雙曲線CQ3的左、右焦點(diǎn)分別為“，尸2,點(diǎn)尸是雙曲線。的右支上一點(diǎn)，若

tanN尸耳￡=—△尸產(chǎn)F

3,且八"苦2的面積為3,則雙曲線。的焦距為

/(x)=<e"2

16.已知函數(shù)1一尸工“<0,若關(guān)于工的方程尸(》)=2加[/卜)-2]有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

則整數(shù)機(jī)的值為.(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，

17.已知”，b,c為“8c的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊，向量而=(a_b,c_a))=(sin8,sin4+sinC),

且〃2_L〃

(1)求角C

(2)若sin8<sinC,b=4,。為8c的中點(diǎn)，4D=屈,求的面積.

18.全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽隆重舉行.為做好考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽

取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中加的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人,

再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記4為3人中成績(jī)?cè)赱80,90)的人數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望：

19.如圖，四棱柱44GA中，底面488是矩形，且Z°=2CO=2,"4=2,

71

ZA'AD~3,若O為4)的中點(diǎn)，且

4Di

B

(1)求證：4°，平面48C°；

兀

(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)尸，使得二面角。一4”一尸的大小為3?若存在，求出6P的長(zhǎng)；若不存

在，說(shuō)明理由.

20.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)'(一1'°)的距離和它到直線/：x=T的距離的比是常數(shù)萬(wàn)，過(guò)點(diǎn)尸作

不與x軸重合的直線與曲線C相交于Z,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作N尸垂直于直線/,交直線/于點(diǎn)P,直線尸8

與x軸相交于點(diǎn)

(1)求曲線C的方程；

(2)求△力8M面積的最大值.

m\x\x+n

21.已知函數(shù)."x在(L/°))處的切線方程為kL

(1)求實(shí)數(shù)加和〃的值；

(2)己知'3/(")),'("/⑹)是函數(shù)/(X)的圖象上兩點(diǎn)，且/(“)=/("),求證：

In(〃+〃)<In(")+1

1

x=-t

<2

y=-y/3+-^-t

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線/的參數(shù)方程為〔2(f為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸(取相同的長(zhǎng)度單位)，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若點(diǎn)尸的極坐標(biāo)為I'2直線/與曲線0相交于8兩點(diǎn)，求歸川歸倒的值.

23.已知函數(shù)/（、月2》+1卜卜+卜1,加為不等式/。）<0的解集

（1）求集合M；

（2）設(shè)a,beM,求證：|2。+1|-口一2同<|2ab+2|

2022-2023學(xué)年度上期高2023屆II月半期考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

(l+i)z=-

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足i則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（)

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

【答案】B

2.已知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和是〃1則4+%=

()

A.20B.18C.16D.14

【答案】C

3.設(shè)全集八上昨（＞6）40},集合人{(lán)1,3,5},5={0,2,4}；則爪口）=（

A24}B82,4}cUSD

【答案】A

717t

4.函數(shù)V=（3，-3）osx在區(qū)間［于5_|的圖象大致為（）

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

2

1

主視圖左視圖

俯視圖

2￡8-加—

B.3C.3D.3

【答案】A

6.已知命題p：在A/BC中，若cos4>cos8,則Z<8；命題伏向量"與向量石相等的充要條件是

同=忖且￡〃瓦在下列四個(gè)命題中，是真命題的是（）

A.PZB.（/）△（「"）口.P八（F）

【答案】D

/（%）=ZsinQx+e）A>0,69>0,|^|<—

7.已知函數(shù)I2J的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

A.直線》=乃是函數(shù)/（'）的圖象的一條對(duì)稱軸

1—工+竺o]

B.函數(shù)/（X）的圖象的對(duì)稱中心為I122'J,左eZ

3乃1\TI

C.函數(shù)/（X）在L2’6」上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)/G）的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

【答案】B

8,數(shù)列他}中，％=2,對(duì)任意m,n&N」a“,+“=a”,a“，若%+…+%。=2"4,則

k=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

9.2020年，由新型冠狀病毒（SARS-Co5感染引起的新型冠狀病毒肺炎（COHD-19）在國(guó)內(nèi)和其他國(guó)

家暴發(fā)流行，而實(shí)時(shí)熒光定量PCR（RT-PCR）法以其高靈敏度與強(qiáng)特異性，被認(rèn)為是COHD-19的確診

方法，實(shí)時(shí)熒光定量PCR法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在尸CR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)。心1

實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，的數(shù)量X"與擴(kuò)增次數(shù)〃滿足

lgX?-Mlg（l+p）=lgX0）其中p為擴(kuò)增效率，X。為。Ml的初始數(shù)量.已知某樣本的擴(kuò)增效率

2"0.495,則被測(cè)標(biāo)本的ov/大約擴(kuò)增（）次后，數(shù)量會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的125倍.（參考數(shù)據(jù)：

1嗚.4955R4）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

c~~

10.設(shè)a=2e5,b=&，c一3（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）

a<h<cB.c<a<bQh<a<cQc<b<a

【答案】D

11.已知正三棱柱"C-44G的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，若球。的表面積為48%，則正三棱柱

ABC-A}B}C}的體積的最大值為（）

A12百B1573c24^3D4873

【答案】C

12.已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線V=4x上，點(diǎn)“（2,0）為AZBC的重心，直線經(jīng)過(guò)該拋物線

的焦點(diǎn)，則線段15的長(zhǎng)為（）

A.8B.6C.5D.4.

【答案】B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13,已知向量"/滿足1"口回=1"+村=1,則分石=.

【答案】2

,+4”

14.在二項(xiàng)式IX)的展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)之和為512,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為_(kāi)__________.

【答案】135

?一?=1(。>°)FF

15.已知雙曲線C：a-3的左、右焦點(diǎn)分別為I2,點(diǎn)尸是雙曲線。的右支上一點(diǎn)，若

tan/.PFF=—/\pfp

X13,且八"蘆2的面積為3,則雙曲線C的焦距為.

【答案】2出

f(x)=<6X

16.已知函數(shù)1一尸〃1<0,若關(guān)于*的方程尸。)=2心(x)-2］有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

則整數(shù)m的值為.(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】5

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，

17.已知a,b,C為“8c的內(nèi)角48,C所對(duì)的邊，向量/=伍一女。一。)，］=(sin8,sin4+sinC),

且加_L〃

(1)求角C

(2)若.8<5由。力=4,。為80的中點(diǎn)，AD=yfUt求AMC的面積.

C=-

【答案】⑴3

⑵6G

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積為0,結(jié)合正余弦定理邊角互化即可求解,

(2)根據(jù)余弦定理可求8值，進(jìn)而可求“，根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槎?所以(a_b)xsin8+(sin4+sinC)(c_a)=0

由正弦定理得S一°)x人=伍+c)(”一c).

_a2+62-c21

2cosC=-----------二-

即。9-+"7-c=ab,由余弦定理得2ab2,

C=-

因?yàn)椤?lt;C<兀，所以3.

【小問(wèn)2詳解】

在三角形中，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosZACD,

即13=16+C￡)2-4CD,解得C0=1或CZ)=3,即a=2或a=6,

因?yàn)閟in8<sinC,故6<C,

C=-

因?yàn)?,所以4>C>8,故a>c>6,所以a=6,

S,\ABC=—^6sinC=—x6x4x—=6>/3

所以「222

18.全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽隆重舉行.為做好考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽

取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中用的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù);

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人,

再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記。為3人中成績(jī)?cè)赱80,90）的人數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望;

【答案】（1）m=0012,中位數(shù)68；

_9

（2）分布列見(jiàn)解析，U.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積為1,結(jié)合中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，9°°4+m+0022+°-03+0-028+0-004）x10=1,

解得加=0.012,

四屆人%+“0.004x10+0.022x10+（a-60）x0.3=0.5

設(shè)中位數(shù)為a,'）解得。-06；

【小問(wèn)2詳解】

???[70,80）,[80,90）,[90,100]的三組頻率之比為02&

0.12：0.04=7：3：I

，從[70,80）,[80,9。）,[90,100]中分別抽取7人，3人，|人

4所有可能取值為0，1，2,3,

尸口）得嚏皆年=2）=常P6=3）=旨=+

故4的分布列為:

0123

562881

P

1655555165

E0=0x至+lx型+2X§+3X-L-

故v7165555516511

19.如圖，四棱柱48co中，底面”CD是矩形，且4）=2。。=2,34=2,

71

NA^AD=—/^r\14c

3,若。為/o的中點(diǎn)，且

(1)求證：平面N8CZ)；

71

(2)線段8C上是否存在一點(diǎn)尸，使得二面角。一4“一尸的大小為5?若存在，求出8尸的長(zhǎng)；若不存

在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】⑴由已知得“明。為等邊三角形，再由4”CQ,能證明4名平

面/BCD.

2

(2)過(guò)。作以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系°一型，利用向量法能求出當(dāng)8P的長(zhǎng)為3時(shí),

二面角。_"/一尸的值為？

7t

Z-AAD——jj=AD=2

【詳解】（1）證明：:X3,且44一4〃一2

，.41AD為等邊三角形

...°為ZD的中點(diǎn)

,1AD

??，

又CO_L4。且CZ）n/Q=0,

4。J■平面Z8CO.

(2)過(guò)。作8,以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系°一型(如圖)

則4(0,TO),4(0,0,囪)

平面4，尸的法向量為々=(x/，z),

.刀=(o,i,G)17=(1,加+1,0)

%?AA}=y+\/3z=0

且nx-AP=%+(/%+1)y=0

取z=l,得"i=(/w+1),—VJ,1)

平面4NOR的_個(gè)法向量為〃2=（L°，°）

V3(/M+1)

73(W+1)2+3+1x1

由題意得

15a,12

m=——m=——BP=1——=—

解得3或3（舍去），此時(shí)33

271

???當(dāng)BP的長(zhǎng)為5時(shí)，二面角°一4'一產(chǎn)的值為3.

20.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)/（—1'°）的距離和它到直線/：尤=-4的距離的比是常數(shù)過(guò)點(diǎn)尸作

不與X軸重合的直線與曲線C相交于48兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作/尸垂直于直線/,交直線/于點(diǎn)P,直線尸8

與x軸相交于點(diǎn)機(jī)

（1）求曲線C的方程；

（2）求“BM面積的最大值.

*V

---1---—1

【答案】(1)43

9

（2）4

【解析】

【分析】（1）由題意列出曲線方程化簡(jiǎn)即可求解：

（2）設(shè)直線Z8的方程為"=〃少T,'（4凹），8（乙，8），表示出尸，聯(lián)立直線與橢圓方程消去x,

表示出關(guān)于y的韋達(dá)定理，結(jié)合民尸求出直接尸8的方程，令y=°,求出加坐標(biāo)，進(jìn)而得到由

s△刖=」五Ml乂-％|

2求出面積，結(jié)合換元法和對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求面積的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（XJ）,

7（%+1）2+/_i《+曰=]

由題意，得卜+4|2,即43，所以曲線C的方程為43.

【小問(wèn)2詳解】

由題意,設(shè)直線”的方程為“=叼一1，，以/，必），則°（一4，%）

x=my—1,

*x2y2_

a—、37+~?=1'（3加2+4%2_6叼—9=0c,A=144佃2+1）＞0

聯(lián)立方程143得IL“，則V）,

6m-9

所以"23m?+4,""3〃/+4,所以-2加M%=3（%+為）

%=第f曰（x+4）

又因?yàn)槌?4,所以直接尸8的方程為馬+4

X—..&+4）=、叩防+3/：彳2」—必）_們3_5

22

令y=o,貝qy2-y1必一弘外一,,

\FM\=—

所以I2九2.

因?yàn)镮乂一%|=J（乂一%了=4出+%）2-4%為=

16m￥/_9]12dm2+i

\{3m2+4J\3m2+4J3m2+4

2

=:四||乂川312,加？+19dm+1

。公ABM2

所以43加2+43m+4

&_9/_9

?△，用”_3/+「i

令/=J/?2i

+才21,則t

＜（0=-^9

又因?yàn)?+/在［L+00）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)f=1時(shí)，）nwc—4,

9

故4ABM面積的最大值為a.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為&'凹）'。2，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或了）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為％+%、%i%2（或乂+外、乂必）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

z、—加lnx+〃

21.已知函數(shù)，、x在（L/。））處的切線方程為歹=1.

（1）求實(shí)數(shù)加和”的值；

（2）已知'（"（"）），是函數(shù)/W的圖象上兩點(diǎn),且/（。）=/0）,求證:

ln（Q+b）＜In（"）+1

【答案】（1）〃?="=1

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）先求導(dǎo),由/'（1）=°J（1）=1可求對(duì)應(yīng)的加和〃的值；

=0-＜a＜\＜b—fl-111—^=

（2）設(shè)0＜。＜6,由",可判斷e，由°＜。＜6得aJ八〃，設(shè)

11-t—1-/In/

7A，,aW，得玉(l-lnxjf?！?114),代換整理得*r-1,原不等式要

證ln（a+6）＜ln（"）+l,只需證全部代換為關(guān)于1的不等式得（/-1）歷（/+1）_//＜0

2

設(shè)S（r）=（l）ln（/+1）一叫j由導(dǎo)數(shù)得S'(t)=in1+-

包再證m（x+l）f放縮得

1

It）tt+1,進(jìn)而得證.

【小問(wèn)1詳解】

m\nx+n

由"/'（》）=m-m\nx-n

x，得x2

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在處的切線方程為

所以/'(1)=加一〃=0,/(1)="=1,貝甲=〃=1；

【小問(wèn)2詳解】

證明：由（1）可得，八）x,/（“）一下一

所以當(dāng)xc（°，l）時(shí)，/（X）單調(diào)遞增；

當(dāng)—時(shí),5。,/（x）單調(diào)遞減

因?yàn)镹（“J（a））,8（8/0））是函數(shù)/（X）的圖象上兩點(diǎn)，且=

°—<a<\<b

不妨設(shè)°＜。＜6,且，所以e

lna+1_InZ>+1

由/⑷="）,得-11—In1-lni

ab，即久b

11

、￡-—=%2

設(shè)方,a

設(shè)》2=1,貝卜>1,所以玉(lTnxJ=X2(iTnx?),

1I/11-/In/

即lTnX|=，(l_ln/_lnx)故也萬(wàn)一”].

要證山（》）＜1“仍）+1,只需證%/＜e

即證玉+*2<e,即證C+l)X|<e,即證111(7+1)+111須<1

i/1\-l—fln,

即證n'++I<，即證(l)ln(/+l)-lnf<0

令S(/)=(-l)ln(f+l)-lnf,,>

t-I.1

5,(/)=ln(r+l)+-------1-In/=In

則r+1

證明不等式ln（x+l）?x

設(shè)〃(x)=ln(x+l)—x,貝J'(X)=77TT=77T,

所以當(dāng)一1<X<0時(shí)，/（x）>°；當(dāng)x>0時(shí)，/（x）<0,

所以"（x）在（T，°）上為增函數(shù)，在（&+"）上為減函數(shù)，

故”（%）皿="0）=0,所以ln（x+l）〃成立.

,八1V12

由上還不等式可得，當(dāng)時(shí)，It）t'+1,故‘恒成立，

協(xié)s?）（1,+8）?+、甘n料M[S?）<S（1）=0

故'，在7t/上為減函數(shù)，則v7,

所以（I）1n（'+1）一"n，<°成立，即X+Z<e成立

綜上所述，ln（"b）<ln3）+l.

.1

X——t

<2

y=~4?>+^-t

22.在平面直角坐標(biāo)系宜勿中，已知直線/的參數(shù)方程為12（f為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸（取相同的長(zhǎng)度單位），建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

.it

p=4cosl6n*-y

（1）求直線/的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程;

111

直線/與曲線C相交于48兩點(diǎn)，求歸H戶4的值.

（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為

［答案］(］)y~y/3,x2+y"—2x—2.>j3y=0