師說數(shù)學(xué)必修第一冊教版課件

6．4.2

用樣本估計(jì)總體的離散程度成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．學(xué)科核心素養(yǎng)通過實(shí)例，了解極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念．(數(shù)學(xué)抽象)會(huì)利用標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體的離散程度．(數(shù)據(jù)分析)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一 極差將一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值統(tǒng)稱為極值，將

最大值

與

最小值

之差稱為極差，也稱全距，用R表示．要點(diǎn)二 方差用x?表示這n個(gè)數(shù)據(jù)的均值，則稱s2＝總體方差：若設(shè)y1，y2，…，yN是總體的全部個(gè)體，μ是總體均值，則稱σ2＝

????

??

????

????

????

?為總體方差或方差．?總體方差σ2刻畫了總體中的個(gè)體向總體均值μ的集中或離散的程度：方差越小，表明個(gè)體與均值μ的距離越近，個(gè)體向μ集中得越好．總體方差σ2也刻畫了總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)的程度：方差越小，表明個(gè)體越整齊，波動(dòng)越?。畼颖痉讲睿喝魪目傮w中隨機(jī)抽樣，?

獲得n個(gè)觀測數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，?

[(x1－??)2＋(x2－??)2＋…＋(xn－??)2]為這n個(gè)數(shù)據(jù)的樣本方差，也簡稱為方差．樣本方差s2刻畫了樣本數(shù)據(jù)相對于樣本均值x?

集中或離散的程度．要點(diǎn)三 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根．s＝?

?x?

?

??

?

+ x?

?

??

?

+

?

+ x?

?

??

?

.如果σ2是總體方差，則稱σ＝σ?是總體標(biāo)準(zhǔn)差；如果s2是樣本方差，則稱s＝

s?是樣本標(biāo)準(zhǔn)差．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)方差越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越強(qiáng)．(

×

)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.(

√

)標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散．(

×

)在兩組數(shù)據(jù)中，平均值較大的一組方差較大．(

×

)2．下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()B．中位數(shù)

D．眾數(shù)A．平均數(shù)

C．方差答案：C解析：由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度．故選C.3．在教學(xué)調(diào)查中，甲、乙、丙三個(gè)班的數(shù)學(xué)測試成績分布如圖1、2、3，假設(shè)三個(gè)班的平均分都是75分，s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三個(gè)班數(shù)學(xué)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有(

)A．s3＞s1＞s2C．s1＞s2＞s3B．s2＞s1＞s3D．s3＞s2＞s1答案：D解析：所給圖是成績分布圖，平均分是75分，在圖1中，集中在75分附近的數(shù)據(jù)最多，圖3中從50分到100分均勻分布，所有成績不集中在任何一個(gè)數(shù)據(jù)附近，圖2介于兩者之間．由標(biāo)準(zhǔn)差的意義可得s3＞s2＞s1.故選D.4．已知五個(gè)數(shù)據(jù)3，5，7，4，6，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為

2

．?解析：因?yàn)??＝?×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，?所以s＝

?

?

?

3

?

5

?

+

?

+

?6?

5???＝

2.題型探究課堂解透題型1

方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算例1

從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高：甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.試計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．甲???解析：x?

＝

×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，????s甲＝

×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝

104.2≈10.208.乙???x?

＝

×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，乙同理s?

＝128.8，s乙＝

128.8≈11.349.方法歸納標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過極差．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．跟蹤訓(xùn)練1(1)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3.若)A．

B．??

?C．

2

D．2該樣本的平均數(shù)為1，則樣本的方差為(

D?(2)為了考察某校各班參加課外小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為

7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為

10

．?解析：(1)由平均數(shù)為1可得?????????＝1，解得a＝－1.所以樣本的方差s2＝(????)??(???)??(???)??(???)??(???)?＝2.故選D.?(2)設(shè)樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，x4，x5，則平均數(shù)??＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7，方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.從而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35

①，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20

②.由題意可知，樣本數(shù)據(jù)均為整數(shù)，若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，不妨設(shè)x5＝11，則②式變?yōu)?x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，因此這是不可能成立的．若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10，代入驗(yàn)證知①②式均成立，此時(shí)樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10.題型2

方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用例2

一次數(shù)學(xué)知識(shí)競賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212經(jīng)計(jì)算，兩組的平均分都是80分，請根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這次競賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀，并說明理由．解析：從不同的角度分析如下：①甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)甲這一角度看，甲組成績好些．②s?

＝???????????????×[2×(50－80)2＋

5×(60

－

80)2

＋

10×(70

－

80)2

＋

13×(80

－

80)2

＋

14×(90

－

80)2

＋乙

甲

乙6×(100－80)2]＝172.同理得s?

＝256.因?yàn)閟?

＜s?

，所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定．③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好．④從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分的有24人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多．同時(shí)，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績較好．方法歸納要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后，組織好正確的語言作出結(jié)論．在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對和錯(cuò)的問題，也不存在唯一解的問題，而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的．跟蹤訓(xùn)練2

甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 mm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100①分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；②根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．甲解析：①x?

＝??(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，乙??x?

＝

(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s?甲

?＝?

[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－?100)2＋(103－100)2]＝?，乙s??＝?

[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－甲

乙100)2＋(100－100)2]＝1.②兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又s?

>s?

，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．易錯(cuò)辨析 忽略方差的統(tǒng)計(jì)意義出錯(cuò)例3

甲、乙兩種冬小麥實(shí)驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量(單位：t/km2)如下：第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植，給出你的建議．解析：由題意得x?甲??＝

×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，乙??x?

＝

×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，s?甲

?＝?×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，乙s??＝?×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都為10 t/km2，且??甲

乙?<

???，所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥，故推薦引進(jìn)甲種冬小麥大量種植．【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得本題容易在求出平均產(chǎn)量x?甲，平均數(shù)反映的是樣本的平均水平，x?乙后，得到“甲、乙兩種冬小麥方差和標(biāo)準(zhǔn)差則反映了樣本的波的平均產(chǎn)量都為10

t/km2，所以引動(dòng)、離散程度．對于形如“誰發(fā)進(jìn)兩種冬小麥的任意一種都可以揮更好”“誰更優(yōu)秀”的題目，”的錯(cuò)誤結(jié)論．原因是只比較了除比較數(shù)據(jù)的平均值外，還應(yīng)該兩種冬小麥的平均產(chǎn)量，而忽略比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差的大小，以作了對冬小麥產(chǎn)量穩(wěn)定性的討論．出更為公正、合理的判斷．課堂十分鐘1．在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表：班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲20x?甲2乙30x?乙3其中x?甲＝x?乙，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差為(

)A.3C.2.6B．2D．2.5答案：C解析：由題意可知兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績平均數(shù)為??＝x?甲＝x?乙2???2甲

乙，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差為s

＝

{20[2＋(x?

－??)

]＋30[3＋(x?

－??)2]}＝2.6，故選C.2．甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)x?8.38.88.88.7方差s2